求圓中陰影部分的面積是計(jì)算題的一種重要類型.此類問(wèn)題中陰影部分的圖形一般是不規(guī)則圖形，同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)，要注意觀察和分析圖形，學(xué)會(huì)分解和組合圖形，將圖形的陰影部分通過(guò)割補(bǔ)、和差變換、等積代換等方式轉(zhuǎn)化成扇形、三角形、弓形等規(guī)則圖形，然后再運(yùn)用相應(yīng)面積公式計(jì)算.

一、公式法

當(dāng)所求陰影部分的面積是規(guī)則圖形，且求解所需條件，如線段、角度等都容易求得時(shí)，可以直接用圓形、扇形或多邊形的面積公式進(jìn)行求解.

例1如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，⊙O的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是________.

分析：作OD⊥AB于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，解直角三角形求出OD、AD，再根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算出結(jié)果.

解：作OD⊥AB于D，如圖1，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∵OA=OB，OD⊥AB，

故答案為3π.

二、和差法

當(dāng)陰影部分是不規(guī)則圖形時(shí)，可將不規(guī)則圖形看成是幾個(gè)規(guī)則圖形的組合，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和差來(lái)進(jìn)行求解.通過(guò)將規(guī)則圖形的面積相加或相減得到陰影部分的面積.

例2如圖2，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外切于圓。，則陰影部分的面積為（）.

A.2π-4 B.2π+4 C.15 D.14

解：如圖3，連接HO，延長(zhǎng)HO交BC于點(diǎn)P，

∵正方形ABCD外切于⊙O，

∴∠A=∠B=∠AHP=90°，

∴四邊形AHPB為矩形，

∴∠OPB=90°，

又∠OFB=90°，∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合

∴HF為⊙O的直徑，同理EG為⊙O的直徑，

由∠D=∠OGD=∠OHD=90°且OH=OG知，四邊形GOHD為正方形，

同理，四邊形OGCF、四邊形OFBE、四邊形OEAH均為正方形，

∴DH=DG=GC=CF=2，

∠HGO=∠FGO=45°，

故選B項(xiàng).

說(shuō)明：通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可以把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為半圓面積和三角形面積之和來(lái)求解.

三、割補(bǔ)法

若由于圖形不規(guī)則造成直接求陰影部分面積較為困難，可對(duì)圖形進(jìn)行合理的分割或填補(bǔ)，將不規(guī)則的多邊形或有圓弧的圖形整合成一個(gè)規(guī)則圖形，然后再結(jié)合圖形的面積公式，逐一求解.

例3如圖4，在⊙O中，直徑AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，則陰影部分的面積為_(kāi)______.

解：連接AD，如圖5所示：

∵CA是⊙O的切線，∴AB⊥AC，

∴∠BAC=90°，

∵∠C=45°，∴∠B=90°-45°=45°，

∴AC=AB=2，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，∴CD=BD，

故答案為1.

說(shuō)明：證明陰影部分的面積等于△ADC的面積是解答本題的關(guān)鍵.通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可以把陰影部分的面積分割拼湊為三角形的面積進(jìn)行計(jì)算.利用割補(bǔ)法解題時(shí)需注意兩點(diǎn)：一是避免分割過(guò)于分散；二是割補(bǔ)過(guò)程需確保面積相等.

四、等積代換法

等積代換法就是對(duì)所求圖形進(jìn)行等面積變化，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為與它等面積的規(guī)則圖形來(lái)進(jìn)行計(jì)算，如利用“同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等”以及“平移、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀與大小”等進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)換，再結(jié)合面積公式求解.

例4如圖6，⊙O的直徑EF為20cm，弦AB，CD位于直徑EF的異側(cè)，長(zhǎng)度分別為12cm，16cm，AB∥EF∥CD，點(diǎn)G在線段EF上，則圖中陰影部分面積之和為_(kāi)______cm2.

解：連接AO，BO，延長(zhǎng)BO交⊙O于H，連接AH，如圖7，則∠HAB=90°，

∵AB=12，BH=EF=20，

連接OC，OD，則S扇形AOH=S扇形COD，

∵CD∥EF，∴S△OCD=S△CDG，

∴S陰影DCG=S扇形COD，∴S陰影DGC=S扇形AOH，

同理，S△ABE=S△AOB，S陰影ABE=S扇形AOB

故答案為50π.

說(shuō)明：通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，利用三角形全等、同底等高的三角形面積相等，可以把不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積來(lái)計(jì)算.

五、方程法

當(dāng)圖形的構(gòu)造較為復(fù)雜，用一般方法求解陰影圖形的面積比較麻煩時(shí)，可以通過(guò)設(shè)元，建立方程組求解.有些圖形的局部具有等面積和對(duì)稱的性質(zhì)，這時(shí)可把陰影部分面積、整體面積以及非陰影部分面積的關(guān)系用方程組表示出來(lái)，通過(guò)解方程組求出陰影圖形的面積.

例5如圖8，正方形ABCD中，有一個(gè)以正方形的中心為圓心，以一邊長(zhǎng)為直徑的圓， 分別以A，B，C，D為圓心，以邊長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)四條弧.若正方形邊長(zhǎng)為2a，求所圍成的陰影部分的面積.

分析：圖中含有形狀不同的三類圖形，分別設(shè)為x、y和z，由圖形特征知4個(gè)x和1個(gè)y組成一個(gè)圓，一個(gè)x和z組成一個(gè)扇形，而四個(gè)x、4個(gè)z和1個(gè)y組成一個(gè)正方形.

解：設(shè)圖9中一個(gè)月形面積為x，中間空白部分面積為y，圓外四個(gè)空白中的一個(gè)空白部分面積為z，則有

說(shuō)明：本題考查了圓、扇形及正方形的面積等知識(shí).當(dāng)圖形的構(gòu)造較復(fù)雜，用整合、變換的方法難以奏效時(shí)，可以另辟蹊徑，利用方程組求解.

綜上，通過(guò)分析與圓有關(guān)陰影部分面積問(wèn)題的五種解法，可為解答陰影部分面積問(wèn)題提供一些思路，同時(shí)也可提升解題效率.