摘要：邏輯推理涉及歸納、類比推理和演繹推理.代數(shù)和幾何問題的解決都需要?dú)w納、類比和演繹推理，代數(shù)教學(xué)的主線是歸納與類比，幾何教學(xué)的主線是演繹.本文以《冪的運(yùn)算性質(zhì)》單元教學(xué)為例，詳細(xì)闡述歸納與類比推理在其中是如何發(fā)揮主線作用的.

關(guān)鍵詞：歸納；類比；代數(shù)教學(xué)；冪的運(yùn)算性質(zhì)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)是一個(gè)不斷通過合情推理提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索證明思路，通過演繹推理作出證明的過程，合情推理和演繹推理相輔相成，共同推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的順利發(fā)展.本文以《冪的運(yùn)算性質(zhì)》單元教學(xué)為例，談?wù)勅绾我詺w納與類比為主線進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì).

1《冪的運(yùn)算性質(zhì)》單元教學(xué)流程

1.1溫故知新，抽象出相同因數(shù)的乘法的結(jié)構(gòu)特征

問題能不能用更簡(jiǎn)潔的方法表示出算式2×2×2×2？把2換成a呢？

生：24，a4.

追問1在24后面再乘3次2，你會(huì)如何計(jì)算？還有其他方法計(jì)算嗎？

生：24×2×2×2，24×23.

追問2在a4后面再乘3次a，你又會(huì)如何計(jì)算？還有其他方法計(jì)算嗎？

生：a4×a×a×a，a4×a3.

追問3仔細(xì)觀察上面兩個(gè)算式有什么共同特征？

生：底數(shù)相同，指數(shù)相加.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）引導(dǎo)學(xué)生回顧乘方的意義，并通過有步驟、有依據(jù)的計(jì)算，為探索同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)做好知識(shí)和方法的鋪墊.（2）底數(shù)從數(shù)字2變?yōu)樽帜竌，讓學(xué)生感悟數(shù)式通性，感悟由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.（3）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

1.2類比學(xué)習(xí)，歸納猜想同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)

問題類比從24×23到a4×a3的一般化進(jìn)程，進(jìn)一步一般化，我們將研究怎樣的算式？

師：既然可以把底數(shù)由數(shù)字一般化為代表數(shù)字的字母，那么指數(shù)也可以由數(shù)字一般化為字母，我們將研究算式am·an（m，n都是正整數(shù)）.

追問1am和an分別表示什么意義？

生：m個(gè)a相乘，n個(gè)a相乘.

追問2你能猜想出am·an的結(jié)果嗎？說說你是怎么想的？

生：am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）.

追問3你能用文字語言描述這個(gè)算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

追問4你會(huì)證明這一歸納猜想嗎？

學(xué)生探索和討論，學(xué)生板演或教師板書證明過程.

追問5更一般地，如果多個(gè)同底數(shù)冪相乘，即am·an·ak（m，n，k都是正整數(shù)），結(jié)果會(huì)怎樣？

生：am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、抽象的過程，概括得出同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的本質(zhì)特征，并歸納猜想出其運(yùn)算性質(zhì)，即am·an＝am＋n，體現(xiàn)歸納的思想.（2）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（3）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到歸納猜想得出的結(jié)論，須通過嚴(yán)格的演繹推理加以論證，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.（4）學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)式通性和不斷推進(jìn)的一般化（先是底數(shù)的一般化，然后是指數(shù)的一般化，最后是同底數(shù)冪個(gè)數(shù)的一般化）的數(shù)學(xué)思想方法.（5）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.3拓展延伸，類比得出冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)

問題將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）中的n，k都換成m，得到怎樣的算式？

生：（am）3＝a3m（m是正整數(shù)）.

追問1類比前面經(jīng)歷兩次一般化得到性質(zhì)am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）的推進(jìn)歷程，你能將算式（am）3＝a3m（m是正整數(shù)）進(jìn)一步一般化嗎？

生：（am）n＝（an）m（m，n是正整數(shù)）.

追問2你能用文字語言描述這個(gè)一般化后算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

追問3怎樣證明這一歸納猜想？

學(xué)生探索和討論，學(xué)生板演或教師板書證明過程.

追問4類比同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算性質(zhì)，冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)還可以進(jìn)一步一般化嗎？即［（am）n］k＝（）（m，n，k都是正整數(shù)）.

生：［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數(shù)）.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）中的n，k都換成m，得到（am）3＝a3m，體現(xiàn)了特殊化的數(shù)學(xué)思想方法；類比am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）得到（am）n＝（an）m（m，n是正整數(shù)）；類比am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）得到［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數(shù)），學(xué)生繼續(xù)感悟數(shù)式通性和類比的思想和一般化思想.（2）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（3）繼續(xù)鞏固證明的意識(shí)，提升學(xué)生邏輯推理能力.（4）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.4提出問題，歸納發(fā)現(xiàn)積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)

問題我們已經(jīng)知道對(duì)于底數(shù)相同的冪am和an相乘，可以用同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)相乘，那么對(duì)于指數(shù)相同的冪an和bn相乘，有對(duì)應(yīng)的性質(zhì)嗎？

師：完成以下題目.

（1）a2·b2＝a·a·b·b＝（ab）·（ab）＝（ab）（）.

（2）a3·b3＝a·a·a·b·b·b＝（）·（）·（）＝（）（）.

追問1你能歸納發(fā)現(xiàn)一般化后的算式嗎？

生：an·bn＝（ab）n（n是正整數(shù)）.

追問2如何證明這一歸納發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生板書證明過程.

追問3我們經(jīng)常需要將以上算式逆過來運(yùn)用，即（ab）n＝an·bn（n是正整數(shù)），你能用文字語言描述這個(gè)一般化后的算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得冪相乘.

追問4類比同底數(shù)冪相乘和冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)還可以進(jìn)一步一般化嗎？

生：（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數(shù)）.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）從同底數(shù)冪相乘am·an到同指數(shù)冪相乘an·bn，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，這里重在提出問題.（2）再次增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力和引導(dǎo)學(xué)生感悟一般化的思想方法.（3）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，再次培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（4）再次提升學(xué)生的證明意識(shí).（5）引導(dǎo)學(xué)生把（ab）n＝an·bn（n是正整數(shù)）一般化為（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數(shù)），學(xué)生再次感悟類比和一般化思想.（6）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.5鞏固應(yīng)用，通過辨析特征加深對(duì)性質(zhì)的理解和運(yùn)用

例題計(jì)算以下式子.

（1）x2·x5.（2）（103）4.（3）（2x）4.

（4）a·a6.（5）（an）3.（6）（－5x）3.

師生共同分析解答，教師板書（1）（2）（3），學(xué)生板書（4）（5）（6）.教師著重讓學(xué)生說明該算式符合哪種運(yùn)算特征，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合適的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，在積累解題經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，體會(huì)三種冪的運(yùn)算的特征，并促使學(xué)生能正確選擇合適的運(yùn)算性質(zhì)解題，發(fā)展其數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

1.6課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

教師設(shè)置以下兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，從而幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

問題1今天我們一起探究了冪的哪些運(yùn)算性質(zhì)？我們是怎樣探究的？我們進(jìn)行探究的最根本的依據(jù)是什么？

問題2你認(rèn)為我們后面還可能會(huì)探究哪些運(yùn)算性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和探究過程兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，把握本節(jié)課的核心內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并在追問中反思與感悟?qū)W習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)的重要性，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)與式的通性，以及從具體到抽象、從特殊到一般再到特殊的思想方法在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用.

2教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

2.1落實(shí)課標(biāo)理念，踐行單元整體教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》倡導(dǎo)單元整體教學(xué).對(duì)于冪的性質(zhì)新授課來說，適合開展單元整體教學(xué)，筆者將《冪的運(yùn)算性質(zhì)》單元教學(xué)的目標(biāo)構(gòu)思如下.

學(xué)生經(jīng)歷同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的探究過程，體驗(yàn)通過歸納與類比提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論和探索證明思路的思維活動(dòng)過程，感悟從特殊到一般、從特殊到特殊的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).學(xué)生理解冪的三個(gè)運(yùn)算的性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)特征，建構(gòu)冪的運(yùn)算的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的冪的運(yùn)算，體會(huì)數(shù)式通性，感悟從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

2.2預(yù)設(shè)追問互動(dòng)，發(fā)展學(xué)生推理素養(yǎng)

有研究者在關(guān)于“數(shù)學(xué)意識(shí)的培育過程”的研究中曾指出：“在知識(shí)維度上，從觀察具體實(shí)例進(jìn)階至建構(gòu)概念內(nèi)涵；在方法維度上，從表述生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)階至領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想；在信念維度上，從著意學(xué)習(xí)體驗(yàn)進(jìn)階至濡染理性精神.”［1］對(duì)于本文中《冪的運(yùn)算性質(zhì)》教學(xué)來說，筆者在教學(xué)過程中預(yù)設(shè)大量的“追問”，有效促進(jìn)了師生、生生之間的對(duì)話互動(dòng)，發(fā)展學(xué)生推理素養(yǎng).此外，在這節(jié)課中，筆者特別強(qiáng)調(diào)了合情推理的訓(xùn)練.合情推理又包括歸納與類比推理，歸納是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理，類比是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤耐评?歸納是從特殊到一般的推理，類比是從特殊到特殊的推理，演繹是從一般到特殊的推理.

2.3重視反思回顧，促進(jìn)學(xué)生深刻理解

涂榮豹教授在關(guān)于“反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的研究中曾指出：“要求學(xué)生對(duì)活動(dòng)中有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思，對(duì)解題思路、推理的過程、運(yùn)算的過程、語言的表述進(jìn)行反思.”［2］在課例最后階段，筆者預(yù)設(shè)了課堂小結(jié)問題，組織學(xué)生對(duì)本課所學(xué)內(nèi)容、涉及研究方法等進(jìn)行了反思與回顧，并且讓學(xué)生展望后續(xù)可能會(huì)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容.設(shè)計(jì)這類展望式小結(jié)的意圖還在于讓學(xué)生基于研究方法和路徑對(duì)后續(xù)所學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)確預(yù)判.從課堂教學(xué)效果來看，學(xué)生都能基于代數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，展望后續(xù)可能學(xué)習(xí)更多的冪的運(yùn)算性質(zhì)以及整式乘除等內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)

［1］崔皓翔，寧連華.數(shù)學(xué)意識(shí)的培育：從直觀感受到理性感悟［J］.課程·教材·教法，2024（2）：119－124.

［2］涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（4）：17－21.

*基金項(xiàng)目：江蘇省南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘自學(xué)·議論·引導(dǎo)’的初中數(shù)學(xué)板書實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：ZX2021006）.