摘要：有效數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的產(chǎn)生，需要教師研究教科書提供的具體知識(shí)內(nèi)容，再基于教材分析得到關(guān)于某數(shù)學(xué)知識(shí)的具體特點(diǎn)，揣摩學(xué)生發(fā)生這種特點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理特點(diǎn)，最后基于教材分析與學(xué)情分析進(jìn)行教學(xué)法分析，作出合適教學(xué)設(shè)計(jì).本文以“三項(xiàng)分析”指導(dǎo)下的“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，旨在為教師教學(xué)提供新的策略與視角.

關(guān)鍵詞：教材分析；學(xué)情分析；教學(xué)法分析；“勾股定理”

數(shù)學(xué)教學(xué)是一項(xiàng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性工程，教師則是這項(xiàng)工程的設(shè)計(jì)師，需要為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)制定藍(lán)圖，這里的“藍(lán)圖”就是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì).教師要想設(shè)計(jì)出行之有效的教學(xué)，必須以教材分析為基礎(chǔ)，再輔之以學(xué)情分析，最后在二者的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)法分析，從而因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與情境材料產(chǎn)生新知，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中收獲滿意的效果.

1有效數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)組成

數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的知識(shí)類別繁多，學(xué)生個(gè)體之間也存在認(rèn)知與個(gè)性的差異，這就決定了教師進(jìn)行“三項(xiàng)分析”需要采取不同的方式和途徑.正所謂教無(wú)定法，不可能存在一個(gè)放之四海皆準(zhǔn)的教學(xué)模式來(lái)幫助教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，唯有具體問(wèn)題具體分析，才能設(shè)計(jì)出真正適合學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)方案.本文給出了教材分析、學(xué)情分析和教學(xué)法分析的內(nèi)涵及呈現(xiàn)方式，旨在幫助教師在教學(xué)前合理進(jìn)行“三項(xiàng)分析”以便形成有效的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方案.

1.1教材分析

所謂教材分析就是教師對(duì)教學(xué)材料進(jìn)行研究的思辨過(guò)程.對(duì)于教師和學(xué)生而言，教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅包含了人類經(jīng)由認(rèn)識(shí)而獲得的確定性成果，也內(nèi)含了知識(shí)原創(chuàng)者在攻克數(shù)學(xué)難題時(shí)思維展開的認(rèn)知方式，以上皆要由教師對(duì)教材的反復(fù)解讀，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為課堂中影響學(xué)生的資源，幫助學(xué)生將萌生的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為規(guī)范性的表達(dá).教材分析包括對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析、對(duì)教材編寫者編寫意圖的分析.［1］知識(shí)結(jié)構(gòu)是指呈現(xiàn)在教材中的知識(shí)點(diǎn)及其相互的邏輯關(guān)系，從知識(shí)維度可以分為宏觀和微觀；對(duì)于編寫教材的過(guò)程而言，教材編寫者編寫意圖的分析則是一項(xiàng)逆向的心理分析，教師需以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為憑依，解讀教材編寫者在提煉和概括數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的基本理念和設(shè)計(jì)意圖等，有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生形成符合社會(huì)發(fā)展需要的技能、技巧.此外，教師需注意教材是就知識(shí)論知識(shí)，它只關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)的外顯表象，而沒(méi)有突出知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在本質(zhì).因此，教師在利用教材作為教學(xué)順序和教學(xué)目標(biāo)的參考時(shí)，也要?jiǎng)?chuàng)造性地對(duì)教材進(jìn)行二次加工，深入挖掘教材所體現(xiàn)的知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì).

1.2學(xué)情分析

學(xué)情分析中的“學(xué)情”主要包括智力因素與非智力因素兩個(gè)方面.教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前，既要分析學(xué)生的智力水平，又要了解學(xué)生的情感狀態(tài).在智力因素方面，教師需要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)技能基礎(chǔ)，如學(xué)生對(duì)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理的理解水平，以及由這些內(nèi)容所反映出的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.同時(shí)，教師也要關(guān)注學(xué)生的非智力因素.醫(yī)學(xué)中講究“對(duì)癥下藥”，醫(yī)者先通過(guò)“望、聞、問(wèn)、切”探清病因，再針對(duì)不同的病因選取合適的藥理.教學(xué)亦如此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)可能會(huì)對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸情緒，所以教師需要尋找學(xué)生產(chǎn)生抵觸情緒的原因來(lái)“對(duì)癥下藥”，從而利用合適的教學(xué)方法化解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理障礙.［2］

學(xué)情分析需要引起教師的重視.教師進(jìn)行學(xué)情分析時(shí)要避免出現(xiàn)以下三種失誤：其一，“經(jīng)驗(yàn)主義”，即教師以對(duì)學(xué)生的主觀認(rèn)識(shí)來(lái)代替學(xué)情分析；其二，“本本主義”，即教師認(rèn)為學(xué)生在教材中接觸過(guò)的就是已經(jīng)掌握的，未在教材中接觸的就一定全然不知，單純地以教材分析取代學(xué)情分析；其三，“形式主義”，即割裂教材內(nèi)容與學(xué)情分析的聯(lián)系，將學(xué)情分析看成形式上的程序，這就失去了學(xué)情分析真正的意義.

1.3教學(xué)法分析

教學(xué)法分析是在教材分析和學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，預(yù)設(shè)具體的教學(xué)流程.在選擇教學(xué)法來(lái)設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，教師需要有辯證的思想，把握平衡，杜絕極端，既要注意落實(shí)對(duì)學(xué)生“四基”的培養(yǎng)，又要注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和實(shí)踐創(chuàng)新精神；既要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程，又要利用合適的教學(xué)情境為學(xué)生營(yíng)造自主探究的機(jī)會(huì)，從而促進(jìn)理解新知，鞏固舊知.教師要在此基礎(chǔ)上，合理選擇教學(xué)方法輔助教學(xué)，以達(dá)到令人滿意的教學(xué)效果.

2基于“三項(xiàng)分析”的“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)示例

本文選取北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)》中第一章《勾股定理》的第1節(jié)《探索勾股定理》為例設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，并圍繞教材分析、學(xué)情分析和教學(xué)法分析來(lái)闡述教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要的準(zhǔn)備工作.

2.1“勾股定理”數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)組成

教學(xué)設(shè)計(jì)需要以教材分析、學(xué)情分析和教學(xué)法分析三部分組成.

其一，教材分析.從宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)分析勾股定理，本節(jié)屬于數(shù)學(xué)定理教學(xué).就定理教學(xué)的結(jié)果來(lái)看，教師要著重讓學(xué)生掌握定理所包含的條件和結(jié)論，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，并引導(dǎo)學(xué)生掌握從條件到結(jié)論的證明方法，必要時(shí)能對(duì)定理作推廣，即勾股定理的逆定理.就定理教學(xué)的過(guò)程來(lái)看，教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從定理的背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想、論證并獲得定理的過(guò)程；從微觀知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，教材先引導(dǎo)學(xué)生作任意直角三角形并度量長(zhǎng)度，再求出各邊的平方來(lái)推動(dòng)等量關(guān)系的猜想與發(fā)現(xiàn)，恰恰直角三角形各邊

平方的代數(shù)意義就是小正方形的面積值，兩個(gè)小正方形的面積和與大正方形的面積相等，這種基于面積法構(gòu)造幾何圖形的方式，曾在北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)》“和與差的完全平方公式”中出現(xiàn)過(guò).教材在構(gòu)造和的完全平方公式時(shí)以實(shí)例和圖1引導(dǎo)學(xué)生歸納出結(jié)論，因此，舊知由圖形幫助學(xué)生生成可以使用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的思想意識(shí)，利用圖形加以解釋的“和與差的完全平方公式”與“勾股定理”有著密切聯(lián)系.對(duì)教材進(jìn)行教材編寫意圖分析，教師需引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程而不僅僅是知曉結(jié)論，在學(xué)生觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

其二，學(xué)情分析.認(rèn)識(shí)論曾提出“歷史發(fā)生原理”的假設(shè)，即“個(gè)體知識(shí)的發(fā)生遵循人類知識(shí)發(fā)生的過(guò)程”.［3］因此，以數(shù)學(xué)史來(lái)分析學(xué)情，預(yù)設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)心理活動(dòng)不失為良策.希臘哲學(xué)家希伯斯（Hippasus）指出正方形邊長(zhǎng)與對(duì)角線是不可公度的.這個(gè)結(jié)論使得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派持有的“萬(wàn)物皆數(shù)”觀點(diǎn)瞬間遭到抨擊，于是，希臘人開始害怕甚至幾乎放棄代數(shù)學(xué)［4］，在驗(yàn)證與解釋代數(shù)學(xué)中的公式時(shí)盡可能地借用幾何圖形，對(duì)代數(shù)學(xué)的演繹性推導(dǎo)始終持有質(zhì)疑.借鑒數(shù)學(xué)史我們認(rèn)識(shí)到希臘人對(duì)于無(wú)理數(shù)的恐懼，由此推測(cè)，勾股定理產(chǎn)生的源頭，就是人們想要利用幾何圖形解釋“兩數(shù)和與差的完全平方公式”所連帶的分支.因?yàn)?，古希臘人使用圖1來(lái)解釋“兩數(shù)和的完全平方公式”時(shí)，自然會(huì)進(jìn)一步用圖形嘗試“兩數(shù)差的完全平方公式”（如圖2）.這時(shí)只要順次連結(jié)矩形對(duì)角線，就離直角三角形更進(jìn)一步（如圖3），進(jìn)一步抽象出由直角三角形拼接而成的正方形（如圖4）.正方形的面積可用兩種方式表示：一是（a－b）2＋4×12ab＝a2－2ab＋b2＋2ab＝a2＋b2；二是c2.綜合得a2＋b2＝c2，即勾股定理的一般形式.基于上述分析，從智力因素來(lái)看，這里將教材分析后教師歸納出的“兩數(shù)差的完全平方公式”和“勾股定理”間的聯(lián)系確定為如下關(guān)系，即“兩數(shù)差的完全平方差公式”為學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程提供合適的根據(jù).從非智力因素來(lái)看，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是自己去發(fā)現(xiàn)，多數(shù)初中生已漸漸從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向?yàn)樽晕抑鲃?dòng)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)發(fā)展.教師應(yīng)圍繞學(xué)生學(xué)習(xí)“勾股定理”的最近發(fā)展區(qū)，再提供給學(xué)生多樣化的教學(xué)情境材料來(lái)應(yīng)用和拓展，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

其三，整合教材分析與學(xué)情分析的結(jié)果進(jìn)行教學(xué)法分析.教材提供給學(xué)生自學(xué)的便捷途徑，學(xué)生也可以由環(huán)環(huán)緊扣的問(wèn)題環(huán)節(jié)及實(shí)際操作猜想出勾股定理，但是教師若在課堂教學(xué)時(shí)完全照搬教材會(huì)扼殺學(xué)生拓寬思維的可能.這是因?yàn)榉礁窦堉谐尸F(xiàn)的例圖無(wú)論是等腰直角三角形還是特殊直角三角形，都是課本或教師提供的，并非學(xué)生提出來(lái)的.再者，向直角三角形的三邊外各做正方形，也并不是由學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感和頓悟推進(jìn).綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)并不僅僅是教師提供關(guān)鍵環(huán)節(jié)和參考資料的單向活動(dòng)，而是要教師既關(guān)注教材能夠進(jìn)行二次創(chuàng)造，又尊重學(xué)情有所憑依，拋出合理的“初始問(wèn)題”進(jìn)行互動(dòng)的師生雙向活動(dòng).

2.2“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)示例

再好的教學(xué)理念若得不到實(shí)踐的檢驗(yàn)，注定是不結(jié)果實(shí)的花朵，不具備推廣的價(jià)值.下面的內(nèi)容是在以上三項(xiàng)分析基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)的一種勾股定理課堂教學(xué)活動(dòng)的引入環(huán)節(jié).

情境1根據(jù)已學(xué)習(xí)過(guò)的“兩數(shù)和的完全平方公式”，請(qǐng)同學(xué)們來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形，用該幾何圖形的面積來(lái)表示（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.

師生活動(dòng)：教師拋出的問(wèn)題正是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“兩數(shù)和的完全平方公式”的合適根據(jù)地，由（a＋b）2＝（a＋b）×（a＋b）這個(gè)整體提示該幾何圖形為正方形，學(xué)生只要構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為a＋b的正方形即可（如圖1）.

情境2類比上述使用“兩數(shù)和的完全平方公式”表示幾何圖形的面積，你還可以提出新問(wèn)題并解答嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生可基于上述問(wèn)題順勢(shì)思考，提出新的問(wèn)題——是否可以用“兩數(shù)差的完全平方公式”構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，用它的面積來(lái)表示（a－b）2＝a2－2ab＋b2，并將上圖進(jìn)行改造（如圖2）.

情境3給定一個(gè)直角三角形，如果要研究它的直角邊a、b，斜邊長(zhǎng)c三者之間的數(shù)量關(guān)系，可以借助上述兩個(gè)圖形進(jìn)行推理嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行小組討論.借助圖2中的線段a、b，連結(jié)四個(gè)矩形的對(duì)角線，就可以構(gòu)造出四個(gè)直角三角形.設(shè)對(duì)角線的長(zhǎng)度為c，可得到圖3，抽象出其中的大正方形可得到圖4，那么想要求解圖形的面積，可以用兩種方式分別表示，整體或者局部相加，即得到c2＝4×12ab＋（a－b）2＝a2＋b2.［5］

【設(shè)計(jì)意圖】中國(guó)古算中有“出入相補(bǔ)”的原理，劉徽在其所注釋的《九章算術(shù)》中就利用了上述原理證明勾股定理，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)到的勾股定理則是趙爽在《周髀算經(jīng)》中注釋的“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股自差自乘為中黃實(shí)，加差實(shí)亦成”.［6］為了方便教師施教，教科書在學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，直接給出了趙爽構(gòu)造出來(lái)的結(jié)論，即圖5.教師也就依此方式如法炮制，由此便損害了知識(shí)點(diǎn)本身蘊(yùn)含的教育價(jià)值.因此，教師要明確認(rèn)識(shí)到，為學(xué)生創(chuàng)造并選擇一個(gè)新知產(chǎn)生的教學(xué)活動(dòng)的培養(yǎng)不是一件便捷容易的事.數(shù)學(xué)教師要酌情考究數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史源頭，例如，在本次“勾股定理”的教學(xué)引入設(shè)計(jì)中，需站在知識(shí)點(diǎn)本身的構(gòu)成及來(lái)源，思考勾股定理靈感的原創(chuàng)者是怎樣產(chǎn)生“勾股圓方圖”的真實(shí)心理過(guò)程.

3結(jié)語(yǔ)

教師要想設(shè)計(jì)出行之有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，就需要在教學(xué)設(shè)計(jì)之前進(jìn)行“三項(xiàng)分析”.教材分析是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).教師只有基于理論基礎(chǔ)與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)將教材提供的教學(xué)材料分解開，并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)每個(gè)部分、每個(gè)層次的要素，才能夠思考并總結(jié)知識(shí)板塊間的關(guān)聯(lián)，為教學(xué)設(shè)計(jì)的完成打下基礎(chǔ).學(xué)情分析是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的重要前提.教師唯有充分了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和情感狀態(tài)，才能量體裁衣，設(shè)計(jì)出有益于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).教師需要整合教材分析和學(xué)情分析的結(jié)果進(jìn)行教學(xué)法分析，選取適合學(xué)生學(xué)習(xí)和方便教師施教的教學(xué)方法，預(yù)設(shè)師生共同參與的課堂教學(xué)活動(dòng)流程，才能做到“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”.

參考文獻(xiàn)

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