摘要:圓錐曲線的題目內容豐富,其中求有關的最大值與最小值問題特點明顯,此類問題的求解方法雖然有一定難度,但有規(guī)律可循.本文通過典型問題的分析與點評,旨在探索解題策略,研究最值的通解通法,供
教師參考.
關鍵詞:圓錐曲線;最值;解題策略
圓錐曲線中的最值問題是一類常見的綜合題型,此類問題的解決涉及多方面的數學知識,既可以抓住圓錐曲線的定義,運用幾何分析直接得到特殊的極限位置,從而判斷出最值點;也可以利用條件建立目標函數,將題目轉化為一個函數求最值問題來解決;還可以對建立的相關式子進行整體變換,然后運用基本不等式解決最值問題.
1抓住曲線定義
圓錐曲線的有關定義是解決最值問題的重要依據,如果問題中還有曲線上的點與焦點線段問題時,用定義去思考可能得到重大突破.
例1已知點P是拋物線y2=4x上一點,設點P到此拋物線準線的距離為d1,到直線l:x+2y-16=0的距離為d2,求d1+d2的最小值.
解析:從圖形的位置關系去思考,如圖1所示.
由拋物線定義知,P到拋物線準線的距離d1等于P到焦點F的距離PF,則當P、F、R(設PR⊥l于R)三點在一條直線上時,d1+d2取得最小值,即為點F(1,0)到直線l的距離FN的長,故(d1+d2)min=d=|1+2×0-16|5=35.
點評:本題解法是利用幾何圖形的直觀性,將復雜的代數問題轉化為簡單的幾何問題,體現了“多動腦,少動手”的考試要求,對培養(yǎng)學生直覺思維很有益處.
例2已知A(4,0),B(2,2)是橢圓x225+y29=1內的點,P是橢圓上的動點,求|PA|+|PB|的最大值和最小值.
解析:由于A(4,0)為橢圓的右焦點,則左焦點為A′(-4,0).
直線AB、A′B交橢圓于點P、P′(如圖2),則P使|PA|+|PB|為最小,P′使|P′A|+|P′B|為最大.
設M為橢圓上異于P或P′的任一點,則|MA|+|MB|+|A′B|>|MA′|+|MA|=2a(a為半長軸),而|PA|+|PB|+|A′B|=2a,故|PA|+|PB|<|MA|+|MB|,同理可證P′為所求,容易求得最大值為2a+|A′B|=10+210,最小值為2a-|A′B|=10-210.
點評:由于動點P在橢圓上,故在求點P到焦點距離問題時,運用橢圓的定義解題是一個比較明智的選擇,而相關的距離求最大值與最小值時,就是某個特殊的幾何位置.
2運用二次函數
圓錐曲線是一類特殊的二次曲線,其中的最值問題很可能與二次函數相關,這要求學生要善于觀察,挖掘內涵,機智靈活地
尋找突破口.
例1已知拋物線E:x2=-2y,過拋物線上第四象限的點A作拋物線的切線,與x軸交于點M.過M作OA的垂線,交拋物線于B、C兩點,交OA于點D(如圖3).若已知MA·MC≥2,求|AD|·|AO|的最小值.
解析:由題意知,拋物線E:x2=-2y,即y=-12x2,求導可得y′=-x,又點A在拋物線上,可設A(2t,-2t2)(t>0),則kAM=-2t,所以直線AM的方程為y+2t2=-2t(x-2t),所以可得M(t,0),又kOA= -2t22t=-t,所以kBC=1t,易得直線BC的方程為y=1tx-1.將此直線方程與拋物線方程x2=-2y聯立,消去y得,x2+2tx-2=0.設B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-2t,x1x2=-2,
則可得MB·MC=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t·(x1+x2)+t2+14x21x22=1+t2≥2,所以t2≥1.
又由|AD|=1t×2t+2t2-11+1t2=t(2t2+1)t2+1,|AO|=(2t)2+(-2t2)2=2tt2+1,所以|AD|·|AO|=t(2t2+1)t2+1·2tt2+1=2t2+122-14,因為t2≥1,所以當t2=1,即t=1時,|AD|·|AO|的最小值是6.
點評:本題用參數t表示出拋物線上的一動點,激活了整個解題思路,最后將待求的距離乘積也表示成參數t的二次函數,這是一個成功的關鍵一步.
例2如圖4所示,點A、B分別是橢圓x236+y220=1長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.
(1)求點P的坐標.
(2)設M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
解析:(1)由已知可得點A(-6,0),F(4,0),設點P(x,y),則AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),由于PA⊥PF,所以AP·FP=0,即(x+6)(x-4)+y2=0,將此方程與橢圓方程x236+y220=1聯立,可得x=32,y=532,所以點P的坐標是32,532.
(2)由(1)可得直線AP的方程是x-3y+6=0,點B(6,0).設點M的坐標是(m,0),則點M到直線AP的距離是|m+6|2,于是|m+6|2=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.
由橢圓上的點(x,y)到點M的距離為d,得d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49×x-922+15,由于-6≤x≤6,所以當x=92時,d取最小值,最小值為15.
點評:本題的求解關鍵就是將待求的距離d表示出來,其中求出點M的坐標就是解題核心,必須注意到橢圓上點的變化范圍.
3運用基本不等式
在一些待求問題的表達式中,會顯露出可以運用基本不等式求最值的機會,要及時地抓住,但必須注意完全滿足“一正、二定、三相等”的條件.
例1如圖5所示,
過拋物線y2=4x的焦點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線AB與CD,求
AD·CB的最小值.
解析:易知F(1,0),由題意知直線AB的斜率存在且不為0,
設為k,則直線AB的方程為
y=k(x-1),將此方程與拋物線方程
y2=4x聯立,消去y得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設A(x1,y1),
B(x2,y2),則x1+x2=2+4k2,x1·x2=1.由于AB與CD垂直,則CD
的斜率為-1k,設C(x3,y3),D(x4,y4),
同理可得x3+x4=2+4k2,x3·x4=1.由于AD·CB=(AF+FD)·(CF+FB)=AF·CF+AF·FB+FD·CF+FD·FB=|AF|·|FB|+|FD|·|CF|=(x1+1)
·
(x2+1)+(x3+1)·(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+2+4k2+1+1+(2+4k2)+1=8+4k2+1k2≥8+8=16,當且僅當k2=1k2,即k=±1時,取等號,AD·CB取最小值16.
點評:本解法根據向量的有關特點,通過設相關點的坐標,利用向量性質列式、化簡,然后整體變形、整體求解,自然順暢.在運用基本不等式解題時,要注意取等號的條件.
例2
已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),O為坐標原點,離心率e=2,點M(5,3)
在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程.
(2)如圖6所示,若
直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q、P,且OP·OQ=0,
求|OP|2+|OQ|2的最小值.
解析:(1)因為e=ca=2,所以c=2a,b2=c2-a2=3a2,所以雙曲線的方程為x2a2-y23a2=1.
因為點M(5,3)在雙曲線上,所以15-3=3a2,所以a2=4,所求雙曲線的方程為x24-y212=1.
(2)設直線OP的方程為y=kx(k≠0),則直線OQ的方程為y=-1kx,將方程y=kx與雙曲線方程x24-y212=1聯立,解得x2=123-k2,y2=12k23-k2,所以|OP|2=x2+y2=12(1+k2)3-k2.同理,用-1k代替式中的k,可得|OQ|2=121k2+13-1k2=12(k2+1)3k2-1,所以1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+3k2-112(k2+1)=16.若設|OP|2+|OQ|2=t,則t1|OP|2+1|OQ|2=2+|OP|2|OQ|2+|OQ|2|OP|2≥2+2=4,所以t≥416=24,即|OP|2+|OQ|2≥24,當且僅當|OP|=|OQ|=23時,取等號,即當|OP|=|OQ|=23時,|OP|2+|OQ|2取得最小值24.
點評:用參數k設出直線OP的方程后,則直線OQ的方程就出來了,同樣由|OP|2也容易得到|OQ|2,這是一個簡化解題的技巧,應該熟練運用.
4換元轉化
一些目標式子比較煩瑣,需要學生要觀察其特點,抓住關鍵式子進行換元處理,這樣既能簡化表達式,又能顯示其特點.
例1已知P、Q、M、N四點都在橢圓x2+y22=1上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點,已知PF與FQ共線,MF與FN共線,且PF·MF=0,求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.
解析:由PF·MF=0知PQ⊥MN,則PQ與MN中至少有一條斜率存在,不妨設PQ的斜率為k,則PQ所在直線的方程為y=kx+1,將此方程代入橢圓方程x2+y22=1,消去y化簡得(2+k2)x2+2kx-1=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則有x1+x2=-2k2+k2,x1x2=-12+k2,
所以|PQ|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·-2k2+k22-4·-12+k2=22(1+k2)2+k2.
(1)當k≠0時,直線MN的斜率為-1k,將上式中的k換為-1k,則易得|MN|=221+1k22+1k2,故四邊形面積S=12|PQ|·|MN|=42+k2+1k25+2k2+2k2,令u=k2+1k2,則u≥2,且S=21-15+2u,易知函數S是關于自變量u的遞增函數,當k=±1時,u=2,S=169,所以169≤S<2.
(2)當k=0時,MN為橢圓的長軸,則|MN|=22,|PQ|=2,此時S=2.
綜合(1)(2)可知,四邊形PMQN面積最大值為2,最小值為169.
點評:在解決本題中面積關系中,通過引參換元,簡化了目標函數的表達形式,顯露出目標函數的特殊性質,從而可判斷出函數的單調性,這是成功解決函數最值的重要環(huán)節(jié).
例2已知過點(0,2)的直線l(直線l不與x軸垂直)與橢圓x22+y2=1交于不同的兩點M、N,且O為坐標原點.求△MON的面積的最大值.
解析:因為直線l不與x軸垂直,則l的斜率k存在,所以直線l的方程為y=kx+2,將此方程與橢圓方程x22+y2=1聯立,消去y并整理得(2k2+1)·x2+8kx+6=0.
又因為直線l與橢圓交于不同的兩點M、N,則有Δ=(8k)2-4·(2k2+1)·6=16k2-24>0,所以k2>32,則有k<-62或k>62.設點M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·-8k2k2+12-4·62k2+1=1+k2·222k2-32k2+1.
原點O到直線l:kx-y+2=0的距離d=21+k2,所以△MON的面積S=12|MN|·d= 12·1+k2·222k2-32k2+1·21+k2=222k2-32k2+1,為了書寫方便,令t=2k2-3,則2k2=t2+3(t>0),所以S=22tt2+4=22t+4t,由于t+4t≥4,當且僅當t=4t,即t=2時取等號,此時k2=72,即k=±142,符合前面的限制要求,從而有S≤224=22,所以當k=±142時,△MON的面積的最大值為22.
點評:本題也是對三角形面積表達式進行了換元處理,用一個新的參數替換了一個根式,成功地將原來的目標函數式中的根號去掉,這是最常見的換元方法.在用基本不等式求最值時,還需注意等號成立的條件,也要符合根的判別式的限制條件.
5結語
本文通過對典型例題的分析求解,歸納了圓錐曲線中求有關的最大值與最小值的常用方法,同時展示了解決圓錐曲線問題的破題思路,揭示了解決此類題的核心手段.在學習和研究具體問題的求解時,學生要善于歸納方法,揭示解題規(guī)律,這樣就能提高學習效率,大幅度地提升分析問題、解決問題的能力.