摘要：化歸思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，其中包含的半等價(jià)化歸思想在提供解題實(shí)施路徑方面有不可替代的價(jià)值. 本文以三道來(lái)自不同省份的2024年高三數(shù)學(xué)模擬題為例，研究半等價(jià)化歸在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：

化歸思想；解題應(yīng)用；解題探索

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，貫穿了整個(gè)學(xué)習(xí)生涯. 德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（D. Hilbert）曾說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂.”化歸思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題方法. 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，也是一個(gè)不斷化歸過(guò)程.所謂化歸思想，其內(nèi)涵是將陌生的、復(fù)雜的、待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的已解決的問(wèn)題，從而獲得待解決問(wèn)題的答案.本文以福州市、長(zhǎng)沙市、重慶市三道2024年高考模擬題為例，探索半等價(jià)化歸在解題中的應(yīng)用情況，以期培養(yǎng)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，不斷轉(zhuǎn)化條件，在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下，尋到實(shí)施路徑.

1化歸思想研究背景

喻平在著作中將化歸分為等價(jià)化歸和半等價(jià)化歸，其中半等價(jià)化歸又分為弱抽象和強(qiáng)抽象化歸.［1］我們將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題，如果兩者之間是等價(jià)關(guān)系，那么我們稱(chēng)這種化歸為等價(jià)化歸；如果兩者之間是不等價(jià)關(guān)系，那么我們稱(chēng)為半等價(jià)化歸.在半等價(jià)化歸中，如果問(wèn)題B是問(wèn)題A的必要條件，那么從問(wèn)題A轉(zhuǎn)化為問(wèn)題B的過(guò)程稱(chēng)為強(qiáng)抽象化歸，從問(wèn)題B轉(zhuǎn)化為問(wèn)題A的過(guò)程稱(chēng)為弱抽象化歸. 之后涌現(xiàn)了基于此概念對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的研究，如姬利娜、鄭群珍探討化歸思想在常微分方程教學(xué)中方程解法與解唯一性證明的應(yīng)用［2］，謝紅梅探討化歸思想在線(xiàn)性代數(shù)課程中的應(yīng)用［3］. 本文也參照喻平對(duì)化歸的概念與分類(lèi)，關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，淺析化歸思想在中學(xué)解題的應(yīng)用.

關(guān)于化歸的研究，大多學(xué)者把目光集中在等價(jià)化歸，這是因?yàn)槲覀兂３Ｔ诮鉀Q問(wèn)題時(shí)會(huì)追求轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證結(jié)論之間的互通性.有較多學(xué)者結(jié)合某一主題進(jìn)行研究，如蔣蕊蓮、伍雪輝在“立體幾何”主題下談化歸思想在教學(xué)中的滲透［4］，李俊麗在“函數(shù)”主題下談化歸思想的重要性等［5］；也有學(xué)者從化歸思想應(yīng)用的不同策略進(jìn)行研究，如高慧明從轉(zhuǎn)化的基本策略分類(lèi)的角度［6］，結(jié)合例題談化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

但很少有學(xué)者關(guān)注半等價(jià)化歸，部分學(xué)者從易錯(cuò)點(diǎn)角度研究不是等價(jià)的轉(zhuǎn)化，如李寒從五類(lèi)常見(jiàn)高中數(shù)學(xué)化歸類(lèi)型出發(fā)談轉(zhuǎn)化不等價(jià)帶來(lái)的錯(cuò)誤［7］；也有學(xué)者僅從必要性探路這一方法出發(fā)研究，如韓智明

從函數(shù)習(xí)題出發(fā)談必要性探路在解決恒成立問(wèn)題中的策略應(yīng)用［8］.實(shí)質(zhì)上半等價(jià)化歸在解決某些問(wèn)題時(shí)有“奇效”，達(dá)到事半功倍的效果，具有不可替代的價(jià)值.因此，本文從強(qiáng)抽象化歸和弱抽象化歸兩個(gè)方面，研究半等價(jià)化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

2例題解析

高考作為現(xiàn)行公平的選拔方式，大多試題為綜合題，學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)解答，這就需要學(xué)生運(yùn)用靈活的思維梳理題目中的關(guān)系，找到解題思路，也就是我們說(shuō)的先“猜”題后解題，半等價(jià)化歸是在其中起重要作用的思想方法. 本文以2024年各地高三數(shù)學(xué)模擬題為例，談?wù)劙氲葍r(jià)化歸在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

例1^^（2024年福州市高三年級(jí)第三次質(zhì)檢第14題）&&設(shè)Tn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)積，若Tn+an=m，其中常數(shù)m＞0，則a2=（結(jié)果用m表示）；若數(shù)列1Tn為等差數(shù)列，則m=．

分析：由于數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，我們常常有多種等價(jià)表示方法，如an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*），但如果我們已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，可以先讓前三項(xiàng)滿(mǎn)足條件，也就是半等價(jià)轉(zhuǎn)化為2a2=a1+a3，最后根據(jù)結(jié)果檢驗(yàn)其等價(jià)性.這樣將問(wèn)題化難為易，變得簡(jiǎn)單明了，從而開(kāi)闊了解題思路，突出了邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

方法1：常規(guī)法.

易知Tn=m-an，則當(dāng)n≥2，

Tn-1=m-an-1，an=TnTn-1=

m-anm-an-1，得an=mm-an-1+1，所以

1Tn-1Tn-1=1m-an-

1m-an-1

=1m-mm-an-1+1-

1m-an-1=

1-an-1m2-man-1（n≥2）.

由數(shù)列1Tn為等差數(shù)列，可得1-an-1m2-man-1為常數(shù)，設(shè)為d.若d=0，則an-1=1（n≥2）恒成立，即an=1（n≥1）恒成立，所以m=2；若d≠0，則1-an-1=dm2-dman-1，所以1=dm2，

1=dm，解得m=1，

d=1.

但是這樣的計(jì)算會(huì)過(guò)于復(fù)雜，如果從特殊的前三項(xiàng)出發(fā)，將條件“數(shù)列1Tn為等差數(shù)列”強(qiáng)抽象化歸為“前三項(xiàng)滿(mǎn)足

2T2=1T1+1T3”，可以得到第2種解法.

方法2：化歸法.

由T1=m-a1，可得T1=a1=m2，再由T2=m-a2=m-T2T1，T3=m-a3=m-T3T2，用m表示T1、T2、T3，即

2m2m+2=12m+1m3m2+m+2，

解得m=1或2.作為填空題，解決到這里只需再看看這兩種情況是否都滿(mǎn)足，即檢驗(yàn)其充分性，當(dāng)m=1時(shí)，由Tn+an=1，可得Tn+TnTn-1=1，即1Tn-1Tn-1=1，數(shù)列1Tn為以12首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.當(dāng)m=2時(shí)，數(shù)列｛an｝是常數(shù)列1，則數(shù)列1Tn是常數(shù)列.

教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用半等價(jià)化歸的思想方法解答，靈活變換條件，這樣既降低了計(jì)算的難度，也減少了討論不全面的可能性.

例2^^［2024年長(zhǎng)沙市高三三校聯(lián)考模擬卷

第19題第（2）問(wèn)］&&已知函數(shù)f（x）=sinx+ln（1+x）-ax，a∈R．

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間（-1，2π）內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）若f（x）≤0恒成立，求a的值.

（3）求證：

2ni=n+1sin1i-1＜2ln2n-1n-1-ln2，n≥2，n∈N*.

分析：對(duì)于恒成立問(wèn)題，我們常常采用必要性探路法，即通過(guò)取定義域內(nèi)某個(gè)特殊的值，得到一個(gè)必要條件，縮小范圍討論或者驗(yàn)證其充分性，進(jìn)而解決問(wèn)題.第（2）問(wèn)是典型的必要性探路問(wèn)題，必要性探路法從本質(zhì)上就是半等價(jià)的強(qiáng)抽象化歸，將所要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而達(dá)到又快又準(zhǔn)找到解決方法的效果.

解析：因?yàn)閒（0）=0，所以x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，則“f（x）≤0恒成立”轉(zhuǎn)化為“f′（0）=0”，得到a=2.下面檢驗(yàn)其充分性，即證當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=sinx+ln（1+x）-2x≤0恒成立.

求導(dǎo)，得f′（x）=cosx+11+x-2，f″（x）=-sinx-1（1+x）2.當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，1（1+x）2＞1，f″（x）＜0，則f′（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，f′（x）＞f′（0）=0，f（x）在（-1，0）單調(diào)遞增，f（x）＜f（0）=0.當(dāng)x∈［0，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，則f（x）在［0，+∞）單調(diào)遞減，f（x）≤f（0）=0.因此，當(dāng)f（x）≤0恒成立時(shí)，a=2得證.

教師在議題時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)半等價(jià)化歸思想的學(xué)習(xí)與引領(lǐng)，通過(guò)潛移默化，使學(xué)生逐漸領(lǐng)悟此類(lèi)題目的突破口，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)．

例3［重慶市巴蜀中學(xué)2024屆高考適應(yīng)性月考卷第18題第（2）①問(wèn)］已知C1（-2，0），C2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PC1與PC2的斜率之積為定值14．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Г的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Г交于A，B兩點(diǎn)，且A，B均在y軸右側(cè)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l′：x=1的垂線(xiàn)，垂足為D．

①求證：直線(xiàn)BD過(guò)定點(diǎn).

②求△MBD面積的最小值．

分析：化歸思想中數(shù)形轉(zhuǎn)化是一種常見(jiàn)的類(lèi)型，在解題時(shí)，有時(shí)需要借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”，有時(shí)又需要借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”. 有時(shí)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化不是等價(jià)的，解析幾何中的問(wèn)題常常從特殊的幾何性質(zhì)入手，從而優(yōu)化解題方法，這背后蘊(yùn)含了半等價(jià)化歸思想.本題就是一道典型例題，如果直接從數(shù)的角度入手，解答過(guò)程較為煩瑣，但如果先從形的角度得出對(duì)于每一條符合條件的直線(xiàn)BD，其關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)也符合要求，于是直線(xiàn)BD過(guò)的定點(diǎn)必為x軸上的點(diǎn).這實(shí)質(zhì)上就是把“直線(xiàn)BD過(guò)定點(diǎn)”弱抽象化歸為“直線(xiàn)BD過(guò)x軸上的定點(diǎn)”.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（1，y1），直線(xiàn)BD為x=my+4，聯(lián)立x24-y2=1，可得（m2-4）·y2+8my+12=0，Δ=16m2+192＞0，y1+y2=-8mm2-4，y1y2=12m2-4.直線(xiàn)BD為y-y1=y2-y1x2-1·（x-1），令y=0，解得

x=-my1y2-4y1+y2y2-y1

=-12mm2-4-4y1-8mm2-4-y1-8mm2-4-2y1=-20mm2-4-5y1-8mm2-4-2y1=52，

即過(guò)定點(diǎn)52，0.

從代數(shù)角度用坐標(biāo)法研究幾何圖形是解析幾何的核心，但是借助幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算卻是解析幾何靈活解題的竅門(mén)，這種數(shù)與形之間的半等價(jià)化歸往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生厘清思路，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

3結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生智慧的教育，除了關(guān)注知識(shí)點(diǎn)本身，還需要在過(guò)程中使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法.半等價(jià)化歸作為一類(lèi)特殊的化歸數(shù)學(xué)思想，在解決問(wèn)題中具有不可替代的價(jià)值，如果數(shù)學(xué)思想方法不落到實(shí)處，高三學(xué)生經(jīng)歷了三年的洗禮，必然會(huì)在綜合題復(fù)習(xí)中暴露無(wú)遺.半等價(jià)化歸思想的落實(shí)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的持久任務(wù).

參考文獻(xiàn)

［1］喻平.數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸理論與方法［M］.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，1999.

［2］姬利娜，鄭群珍.化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（1）：53-54．

［3］謝紅梅.化歸思想方法在線(xiàn)性代數(shù)課程中的體現(xiàn)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012（1）：103-106．

［4］蔣蕊蓮，伍雪輝.化歸思想在中學(xué)立體幾何中的教學(xué)探究［J］.齊齊哈爾師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2021（4）：101-103．

［5］李俊麗.化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（23）：41-42．

［6］高慧明.高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用綜述［J］.廣東教育（高中版），2024（4）：21-26．

［7］李寒.轉(zhuǎn)化是根本 等價(jià)是關(guān)鍵——數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)化不等價(jià)易錯(cuò)點(diǎn)剖析［J］.中學(xué)生理科應(yīng)試，2021（12）：10-12．

［8］韓智明.讓必要性探路“探”得更明白些［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（9）：37-39．