摘 要：針對傳統(tǒng)建模方法無法更加精確地描述反激變換器真實(shí)特性的問題，利用分?jǐn)?shù)階微積分和狀態(tài)空間平均法，對工作在電感電流斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階反激變換器進(jìn)行建模與分析。建立了電感電流斷續(xù)模式下分?jǐn)?shù)階反激變換器的平均狀態(tài)模型，得到其直流平衡點(diǎn)和小信號傳遞函數(shù)，對比其與整數(shù)階數(shù)學(xué)模型的差異；在Simulink中搭建分?jǐn)?shù)階反激變換器的狀態(tài)空間模型和電路仿真模型，以及構(gòu)造分?jǐn)?shù)階反激變換器的實(shí)物實(shí)驗(yàn)電路；通過狀態(tài)空間模型、電路模型仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果三者對比驗(yàn)證所推導(dǎo)的分?jǐn)?shù)階模型的正確性。結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型能反映電感電容階數(shù)的變化，進(jìn)行理論分析能更符合該變換器的實(shí)際工作情況。將分?jǐn)?shù)階微積分理論與狀態(tài)空間平均法結(jié)合，可建立更為精確的反激變換器數(shù)學(xué)模型，為其他變換器的建模提供了參考。

關(guān)鍵詞：電力電子技術(shù)；電感電流斷續(xù)模式；分?jǐn)?shù)階反激變換器；數(shù)值仿真；實(shí)物電路

中圖分類號：TM46

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.7535/hbkd.2024yx05001

Fine modeling of flyback converter based on fractional order

YANG Peng1，2， LI Qian1， SHI Shanzhe2， FU Yinan3， LIU Yuzhi3

（1.State Grid Hebei Marketing Service Center Company Limited， Shijiazhuang， Hebei 050000， China;

2.State Grid Hebei Electric Power Research Institute Company Limited， Shijiazhuang， Hebei 050000， China;

3.School of Electrical and Electronic Engineering， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang， Hebei 050043， China）

Abstract：Aiming at the problem that the traditional modeling methods cannot describe the real characteristics of flyback converters more accurately， the average state model of the fractional-order flyback converter operating in the intermittent inductance current mode was established by using fractional-order calculus and state space average method. The DC equilibrium point and small signal transfer function were obtained， and the difference between the model and the integer order mathematical model was compared. The state space model and circuit simulation model of fractional-order flyback converter were built in Simulink， and the experimental circuit of fractional-order flyback converter was constructed. The state space model， circuit model simulation and experimental results were compared to prove the correctness of the fractional-order model. The results show that the fractional order mathematical model can reflect the change of the order of inductance and capacitance， and the theoretical analysis is better consistent with the actual operation of the converter. A more accurate mathematical model of flyback converter can be established by combining fractional calculus theory with state space average method， which provides a reference for the modeling of other converters.

Keywords：power electronic technology; intermittent inductance current mode; fractional-order flyback converter; numerical simulation; physical circuitry

在開關(guān)電源中反激變換器應(yīng)用最為廣泛，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單，具有轉(zhuǎn)換效率高、體積小、不需要輸出濾波電感等各種優(yōu)點(diǎn)[1]。工作于電感電流斷續(xù)模式下的反激變換器，其原邊勵(lì)磁電感更小、電壓比更高，同時(shí)具有更好的抗電壓波動和負(fù)載突變能力[2]。在反激變換器中電感、電容是常見的儲能元件，研究表明這些元件本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的。傳統(tǒng)模型中元件的整數(shù)階模型常常被用于變換器的建模與分析，這忽略了元件分?jǐn)?shù)階的特性，可能會得出錯(cuò)誤的結(jié)果[3]。以SiC和GaN為代表的第3代半導(dǎo)體功率器件具有更高的開關(guān)速度，因此對于反激變換器的數(shù)學(xué)模型的頻率響應(yīng)要求更高。傳統(tǒng)模型可能無法準(zhǔn)確描述高頻下器件的動態(tài)特性，因此需要更為精確的模型以考慮更高的開關(guān)頻率。

文獻(xiàn)[4]對工作在電感電流連續(xù)模式下的反激變換器進(jìn)行分?jǐn)?shù)階建模，利用開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均法，得到了反激變換器的直流平衡點(diǎn)和交流小信號傳遞函數(shù)，并利用PSIM仿真驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[5]利用開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均法對分?jǐn)?shù)階反激變換器工作在電感電流斷續(xù)模式下時(shí)進(jìn)行了分析，但其電容電感使用的是整數(shù)階特性計(jì)算，并未采用分?jǐn)?shù)階的計(jì)算。文獻(xiàn)[6]利用小信號交流分析對工作在電感電流斷續(xù)模式下的整數(shù)階反激變換器進(jìn)行建模，但依舊沒有考慮電容電感為分?jǐn)?shù)階這一特性。文獻(xiàn)[7]將反激變換器負(fù)載模型等效為電阻和電流源的并聯(lián)，利用狀態(tài)空間平均法建立整數(shù)階電感電流斷續(xù)模式下反激變換器的小信號模型，并推導(dǎo)了各個(gè)交流小信號傳遞函數(shù)，但其也沒有考慮到電容電感為分?jǐn)?shù)階的特性。

本文針對工作在電感電流斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階反激變換器缺乏能夠描述其精細(xì)數(shù)學(xué)模型的問題，從分?jǐn)?shù)階電容和電感出發(fā)，利用分?jǐn)?shù)階微積分原理和狀態(tài)空間平均法，建立其分?jǐn)?shù)階模型，推導(dǎo)得出靜態(tài)工作點(diǎn)和小信號交流傳遞函數(shù)并進(jìn)行理論分析，并將其與整數(shù)階模型進(jìn)行對比。最后，在Matlab/Simulink中搭建工作在電感電流斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階反激變換器的數(shù)值仿真模型，構(gòu)建了實(shí)物電路，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算、電路仿真結(jié)果通過繪圖進(jìn)行直觀對比，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階理論分析以及建模的準(zhǔn)確性。

1 反激變換器的分?jǐn)?shù)階區(qū)間數(shù)學(xué)建模與分析

反激變換器電路拓?fù)鋱D和在PWM周期性開關(guān)脈沖調(diào)制下的電感電流波形如圖1所示，其中反激變換器的變壓器等效為勵(lì)磁電感與理想變壓的并聯(lián)形式，PWM開關(guān)周期為T。

當(dāng)反激變換器工作在電感電流斷續(xù)模式下時(shí)， 其有3種工作模態(tài)。

1）在0<t≤d1T時(shí)，PWM為高電平，VT導(dǎo)通，VD承受反向電壓關(guān)斷， 輸入電壓施加到分?jǐn)?shù)階勵(lì)磁電感兩端，開始儲能，電感電流上升，同時(shí)分?jǐn)?shù)階電容向負(fù)載供電，這一工作狀態(tài)稱為工作模態(tài)1， 持續(xù)時(shí)間為d1T，其狀態(tài)方程為

dαimdtα=uinLm，

dβucdtβ=-ucRC。（1）

2）在d1T<t≤（d1+d2）T時(shí)，PWM為低電平， VT關(guān)斷，VD承受正向電壓導(dǎo)通， 分?jǐn)?shù)階勵(lì)磁電感通過理想變壓器和VD向分?jǐn)?shù)階電容及負(fù)載供電，在（d1+d2）T時(shí)電感電流降為0，這一工作狀態(tài)稱為工作模態(tài)2， 持續(xù)時(shí)間為d2T， 其狀態(tài)方程為

dαimdtα=-ucnLm，

dβucdtβ=imnC-ucRC。（2）

3）在（d1+d2）T<t≤T時(shí)，PWM為低電平， 勵(lì)磁電感電流為零，VT關(guān)斷，VD關(guān)斷，分?jǐn)?shù)階電容向負(fù)載供電，這一工作狀態(tài)稱為工作模態(tài)3，持續(xù)時(shí)間為（1-d1-d2）T，其狀態(tài)方程為

dαimdtα=0，

dβucdtβ=-ucRC。（3）

上述狀態(tài)方程中：uin為輸入電壓;im為電感電流;uc為輸出電壓;d1為占空比;d2為電感電流從最大值下降到零的時(shí)間與周期的比值;Lm為分?jǐn)?shù)階電感;C為分?jǐn)?shù)階電容;α為分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)，0<α<1；β為分?jǐn)?shù)階電容階數(shù)，0<β<1。

2 反激變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型的建立與分析

2.1 反激變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型的建立

由式（1）—式（3）可以得出，工作于電感電流斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階反激變換器其分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程會被電感階數(shù)α及電容階數(shù)β所影響。

結(jié)合式（1）—式（3），利用狀態(tài)空間平均法， 得出其狀態(tài)平均模型為

dα〈im〉dtα=d1〈uin〉Lm-d2〈uc〉Lm，

b62GOI1jwh+OA72wK9Ckow==dβ〈uin〉dtβ=d2〈im〉C-〈uc〉RC，

（4）

式中：〈im〉、〈uin〉、〈uc〉、d1、d2分別為其相應(yīng)量在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的平均值，可將其分解為交流分量和直流分量相加，其中交流分量分別為i′m、u′in、u′c、d′1、d′2，直流分量分別為Im、Uin、Uc、D1、D2，如式（5）所示；同時(shí)|i′m|Im，|u′in|Uin，|u′c|Uc，

|d′1|D1，|d′2|D2。

〈im〉=Im+i′m，

〈uin〉=Uin+u′in，

〈uc〉=Uc+u′c，

d1=D1+d′1，

d2=D2+d′2。（5）

2.2 反激變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型的分析

將式（5）代入式（4），忽略高階小量，即令u′ind′1≈0，i′md′2≈0，u′cd′2≈0，可以得到

dα（Im+i′m）dtα=UinD1+Uind′1+D1u′inLm-UcD2+Ucd′2+D2u′cnLm，

dβ（Uc+u′c）dtβ=ImD2+Imd′2+D2i′mnC-Uc+u′cRC。（6）

將式（6）中的直流分量分離出來，可得

dαImdtα=D1UinLm-D2UcnLm，

dβUcdtβ=D2ImnC-UcRC。（7）

由分?jǐn)?shù)階Caputo微分性質(zhì)可知，式（7）左側(cè)為零，因此聯(lián)立上下式可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，即升壓比M和電感電流直流分量Im。

M=UcUin=nD1D2，（8）

Im=nUcRD2。（9）

利用伏秒平衡原理，在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)，當(dāng)電感電流斷續(xù)時(shí)的初始時(shí)刻以及終止時(shí)刻都為零，則可得該周期中電感電壓平均值為零[8]：

〈um〉=0。（10）

利用分?jǐn)?shù)階電感的伏安關(guān)系， 有

dα〈im〉dtα=0。（11）

利用式（1）可得電感電流的平均值近似為

〈im〉=〈Uin〉（d1T）α2αLmΓ（α）。（12）

將式（5）代入式（12）中，忽略高階小量，即（d′1）n≈0（n>2）和u′in（d1）n≈0（n≥1）有

Im+i′m=（D1T）α2LmαΓ（α）Uin+u′in+Uin

αd′1D1。（13）

對式（13）進(jìn)行直流分量分離后有

Im=Uin（D1T）α2LmαΓ（α）。（14）

因此， 把式（14）代入式（8）和式（9）后， 有

D2=n2LmαΓ（α）D1Dα1TαR，（15）

Uc=UinDα+11TαR2LmαΓ（α）。（16）

由于電感電流在每個(gè)開關(guān)周期都是從零升到最大值，再在開關(guān)周期結(jié)束之前從最大值降為零，所以電感電流紋波等于電感電流最大值，可以用電感電流在（0，D1T）內(nèi)的增加量求出，即式（1）求分?jǐn)?shù)階積分運(yùn)算可得式（17），由此可見它也近似等于電感電流平均值Im的2倍。

Δim=im-max=Uin（D1T）αLmαΓ（α），（17）

式中Γ（α）為Gamma函數(shù)，定義為Γ（α）=∫∞0e-ttα-1dt。

由式（17）可以看出，電感電流紋波Δim和電感電流最大值im-max不僅與輸入電壓Uin、電感Lm、占空比D1以及開關(guān)周期T有關(guān)，還與電感的階數(shù)α有關(guān)，且隨著α的減小，電感電流最大值im-max和電感電流紋波Δim增大。且當(dāng)α為整數(shù)1時(shí)，用整數(shù)階模型所求的結(jié)果與式（17）一致。對于分?jǐn)?shù)階反激變換器，其斷續(xù)導(dǎo)通模式條件與整數(shù)階反激變換器類似，均應(yīng)是電感電流的靜態(tài)工作點(diǎn)要小于電感電流紋波的一半，即Im<Δim/2，電感的階數(shù)α?xí)绊懽儞Q器的工作模式。

2.3 反激變換器分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型的分析

將式（6）中的交流分量分離出來，可得

dαi′mdtα=Uind′1+D1u′inLm-Ucd′2+D2u′cnLm，

dβu′cdtβ=Imd′2+D2i′mnC-u′cRC。（18）

根據(jù)式（5）和式（11）可進(jìn)一步推得

dαi′mdtα=0。（19）

因此

d′2=nUind′1+nD1u′in-D2u′cUc。（20）

對式（13）進(jìn)行交流分量分離后有

i′m=（D1T）α2LmαΓ（α）u′in+Uinαd′1D1。（21）

把d′2和i′m的表達(dá)式代入式（18）的第2個(gè)式子，得到表達(dá)式如下：

Guu（s）=u′c（s）u′in（s）d′1（s）=0=

D2（D1T）α2LmαΓ（α）nC+ImD1UcC

sβ+D2ImncUc+1RC，（22）

Gud1（s）=u′c（s）d′1（s）u′in（s）=0=

αUinD2（D1T）α2nLmαΓ（α）CD1+ImUin

UcC

sβ+D2ImncUc+1RC。（23）

從式（23）可以看出，小信號傳遞函數(shù)Guu（s）和Gud（s）均受分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)α和β的影響。假設(shè)反激變換器系統(tǒng)參數(shù)為Uin=40 V、L=1 mH、C=1 mF、R=5 Ω，開關(guān)頻率f=100 kHz、開關(guān)周期T=25 μs，則在Matlab中畫出的輸入-輸出和占空比-輸出2個(gè)傳遞函數(shù)在不同分?jǐn)?shù)階電感以及不同分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)α和β情況下的波特圖如圖2所示。

由圖2可看出，傳遞函數(shù)Guu（s）和Gud（s）的波特圖隨分?jǐn)?shù)階電感電容的階次α和β變化較大，且當(dāng)α和β較小時(shí)，其波特圖與整數(shù)階（α=β=1）相差較大，說明反激變換器的頻域特性和分?jǐn)?shù)階電感電容的階次α和β有密切的關(guān)系。當(dāng)電感和電容的分?jǐn)?shù)階階次α和β都為整數(shù)1時(shí)，式（22）和式（23）與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]中的整數(shù)階傳遞函數(shù)表達(dá)式相同，再次說明了分?jǐn)?shù)階理論的準(zhǔn)確性。

綜上，反激變換器工作在電感電流斷續(xù)模式下的輸出電壓Uc、電感電流Im、電感電流從最大值下降到零的時(shí)間與周期的比值D2、電感電流紋波Δim、電感電流最大值im-max和小信號傳遞函數(shù)除了與其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)L、C、R大小有關(guān)之外，還受到分?jǐn)?shù)階電感電容的階次α和β的影響。而電感電流斷續(xù)模式下的反激變換器整數(shù)階模型不隨分?jǐn)?shù)階電感電容的階數(shù)而變化，沒有考慮到分?jǐn)?shù)階電感電容的階次α和β的影響，可能最終得出不精確的結(jié)果。

3 仿 真

3.1 分?jǐn)?shù)階電感和電容的等效電路模型

根據(jù)文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]，基于分抗鏈的分?jǐn)?shù)階微積分算法，分?jǐn)?shù)階電容和電感均采用RC、RL鏈?zhǔn)诫娐方Y(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，如圖3所示。

此外，在分?jǐn)?shù)階微積分算法模塊中， 存在如下參數(shù)： 濾波器階數(shù)N、擬合頻率下限ωb和擬合頻率上限ωh[11-12]。需要根據(jù)實(shí)際分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的工作頻率來選擇擬合頻率下限ωb和擬合頻率上限ωh。在此，電路參數(shù)選擇Uin=40 V，L=1 mH，C=1 mF，R=5 Ω，f=100 kHz，求得工作頻率ω=2πf≈6.28×105 rad/s，需考慮高于開關(guān)頻率的高頻諧波， 從而ωh>6.28×105 rad/s。擬合頻率段（ωb，ωh）一般選取ωbωh=1[13-14]。在此選擇ωb=5×10-7 rad/s，ωh=2×106 rad/s。

反激變換器中常用的儲能器件，在25 ℃（100 Hz～1 MHz）條件下其階次主要集中在0.8和0.9階。理論上階數(shù)過低時(shí)，其感性成分和容性成分太小，使反激變換器無法正常工作，失去研究意義。因此本文主要選取實(shí)際中常見的2種階次0.8和0.9進(jìn)行討論。當(dāng)L=1 mH、α=0.8、N=5，或C=1 mF、β=0.8、N=7時(shí)，圖3中的各個(gè)電阻值和各個(gè)電感電容值分別如表1所示。

當(dāng)L=1 mH、α=0.9、N=5，或C=1 mF、β=0.9、N=7時(shí)，圖3中的各個(gè)電阻值和各個(gè)電感電容值分別如表2所示。

3.2 分?jǐn)?shù)階反激變換器的狀態(tài)平均模型與電路仿真模型的仿真對比

為了驗(yàn)證上述所建分?jǐn)?shù)階模型的正確性，依據(jù)3種工作模態(tài)下的狀態(tài)方程，即式（4），在Matlab/Simulink中搭建電感電流斷續(xù)模式下反激變換器的數(shù)值仿真模型如圖4所示。

工作在電感電流斷續(xù)模式下的分?jǐn)?shù)階反激變換器的電路仿真模型如圖5所示。

當(dāng)α=0.8、β=0.8 ，在分?jǐn)?shù)階反激變換器運(yùn)行到穩(wěn)態(tài)時(shí)進(jìn)行觀察，輸出電壓uc和電感電流im波形如圖6所示。

當(dāng)α=0.9、β=0.9時(shí)，在分?jǐn)?shù)階反激變換器運(yùn)行到穩(wěn)態(tài)時(shí)進(jìn)行觀察，輸出電壓uc和電感電流im波形如圖7所示。

從以上電感電流波形圖中可以看出，變換器的電感電流為斷續(xù)模式。對以上結(jié)果進(jìn)行比較可以看出，電路仿真與理論分析基本一致，這驗(yàn)證了上述所建工作于電感電流斷續(xù)模式下的反激變換器的分?jǐn)?shù)階建模的正確性，其中誤差是由于分?jǐn)?shù)階電感、電容的近似電路所引起的。

4 實(shí) 驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析的有效性，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測量。對于圖1中帶理想變壓器的T模型的形式，在仿真軟件中可以采用一個(gè)構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階電感與理想變壓器并聯(lián)的方式來模擬分?jǐn)?shù)階變壓器。但是在實(shí)際中這種方式并不適用于實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階變壓器元件，因?yàn)閷?shí)際電路中并不存在理想變壓器。因此，需要采用其他方法來實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階變壓器。根據(jù)文獻(xiàn)[15]得到分?jǐn)?shù)階變壓器構(gòu)造電路如圖8所示。

0.8階和0.9階原邊偽電感值為1 mH/s1-0.8、副邊偽電感值為0.25 mH/s1-0.8的分?jǐn)?shù)階變壓器構(gòu)造電路的電路參數(shù)的理論值/實(shí)際值如表3所示。

分?jǐn)?shù)階反激變換器實(shí)驗(yàn)電路如圖9所示。其中包括分?jǐn)?shù)階電容、分?jǐn)?shù)階變壓器以及為了保護(hù)開關(guān)管不被擊穿加入的RCD鉗位電路。

當(dāng)α=0.8、β=0.8時(shí)，分?jǐn)?shù)階反激變換的輸出電壓uc和電感電流im波形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

當(dāng)α=0.9、β=0.9時(shí)，分?jǐn)?shù)階反激變換的輸出電壓uc和電感電流im波形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果、理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果和Simulink實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果的對比如表4所示。

由表4可以看出，由于功率干擾和諧波效應(yīng)的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差大于理論分析結(jié)果。2組電路仿真、理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，這驗(yàn)證了所建立的分?jǐn)?shù)階模型的正確性。

5 結(jié) 語

基于分?jǐn)?shù)階微積分原理采用狀態(tài)空間平均法，對工作在電感電流斷續(xù)模式下的反激變換器進(jìn)行建模與分析，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建模型的正確性。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階模型能夠更為準(zhǔn)確地描述反激變換器的真實(shí)特性，該精確建模對于反激變換器的性能分析及變換器閉環(huán)控制器的設(shè)計(jì)具有重要價(jià)值。

本文只開展了分?jǐn)?shù)階反激變換器開環(huán)系統(tǒng)的研究分析，未來擬進(jìn)行分?jǐn)?shù)階反激變換器的閉環(huán)控制研究。

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