摘 要：本文研究了結(jié)構(gòu)剛度弱非線性和滯變?nèi)醴蔷€性的耗能減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)問題。首先利用整體本構(gòu)關(guān)系建立單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程；然后結(jié)合帶支撐黏彈性阻尼器的等效阻尼原理和隨機(jī)等效線性化法對(duì)其進(jìn)行等效；最后基于FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov）方程法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)剛度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)值的解析解，基于等效Duffing體系法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)剛度滯變?nèi)醴蔷€性耗能結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)值的解析解，并對(duì)這2種方法的誤差進(jìn)行了分析。算例分析表明：計(jì)算結(jié)果可靠、有效；相較于現(xiàn)有的隨機(jī)等效線性化法的求解方法，F(xiàn)PK法和等效Duffing體系法具有更高的精度。

關(guān)鍵詞：黏彈性阻尼器；隨機(jī)振動(dòng)；弱非線性體系；支撐；FPK方程法；隨機(jī)等效線性化法；等效Duffing體系法

中圖分類號(hào)：TU318 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2024.04.007

0 引言

結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)振動(dòng)問題長(zhǎng)期以來一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5]。一般來說，結(jié)構(gòu)的非線性包括強(qiáng)非線性和弱非線性。其中弱非線性通常是指一個(gè)結(jié)構(gòu)受到的外力或者內(nèi)在因素引起的小范圍波動(dòng)，這種波動(dòng)在結(jié)構(gòu)的輸出或者響應(yīng)中產(chǎn)生微小的變化。弱非線性可以改變結(jié)構(gòu)的基本運(yùn)動(dòng)形式，在結(jié)構(gòu)工程中，弱非線性可以導(dǎo)致結(jié)構(gòu)從簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為混沌運(yùn)動(dòng)，增加了結(jié)構(gòu)工程的復(fù)雜程度，從而可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度、強(qiáng)度和耗能能力發(fā)生變化，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的整體性能，這對(duì)結(jié)構(gòu)本身的穩(wěn)定性將產(chǎn)生重要的影響。

目前，弱非線性隨機(jī)振動(dòng)的分析方法主要有隨機(jī)攝動(dòng)法、虛擬激勵(lì)法、等效線性化法、FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov）方程法等[6-7]。其中等效線性化法被廣泛應(yīng)用到非線性隨機(jī)振動(dòng)分析中[8-9]。目前，等效線性化理論日趨成熟，但仍在不斷發(fā)展[10-12]。由于FPK方程法的廣泛應(yīng)用，20世紀(jì)60年代以來國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)其求解傾注了大量的研究[13-15]。等效Duffing體系法是一種新的等效非線性系統(tǒng)方法，該方法的計(jì)算精度高于隨機(jī)等效線性化法，其適用性比FPK方程法和隨機(jī)等效線性化法更廣，并且該方法可解決含有van der Pol等特殊振子的非線性耗能結(jié)構(gòu)。

近年來，眾多學(xué)者對(duì)弱非線性耗能結(jié)構(gòu)對(duì)隨機(jī)地震響應(yīng)問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]研究了添加有黏彈性阻尼器的弱非線性結(jié)構(gòu)在雙軸地震激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng)特性，對(duì)此類結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)提供了一種求解思路。將等效結(jié)構(gòu)的等效剛度和等效阻尼設(shè)為已知項(xiàng)，這樣求解出的等效剛度和等效阻尼等同于忽略了黏彈性阻尼器對(duì)等效剛度和等效阻尼的影響，且該研究只能針對(duì)弱非線性系數(shù)較小的情況，而弱非線性系數(shù)增大對(duì)結(jié)構(gòu)求解精度的影響仍是日后研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

文獻(xiàn)[17]基于隨機(jī)等效線性化法和等效阻尼原理將弱非線性耗能結(jié)構(gòu)整體進(jìn)行等效處理，從而獲得了一種分析方法。但隨機(jī)等效線性化法仍屬于精度較低的近似求解方法，仍然具有一定的局限性，具體表現(xiàn)為對(duì)于van der Pol等滯回弱非線性振子有時(shí)甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤的解答，且對(duì)弱非線性系數(shù)增大的情況還是無法適用。文獻(xiàn)[14]用FPK方程法可以精確求解線性系統(tǒng)，但是對(duì)弱非線性系統(tǒng)具有一定的局限性，只有在結(jié)構(gòu)剛度呈弱非線性而阻尼是線性的情況下才能求得平穩(wěn)反應(yīng)的精確解，而在結(jié)構(gòu)剛度和阻尼都是弱非線性的情況下不能適用。目前，關(guān)于結(jié)構(gòu)弱非線性還有很多問題需要解決，對(duì)于弱非線性耗能減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)問題還有很大的研究空間。

針對(duì)以上研究存在的問題，本文采用FPK方程法和等效Duffing體系法相結(jié)合的方法對(duì)結(jié)構(gòu)剛度弱非線性和滯變?nèi)醴蔷€性的耗能減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)問題進(jìn)行研究，并通過算例對(duì)2種方法的誤差進(jìn)行了分析。

1 線性單自由度耗能結(jié)構(gòu)本構(gòu)方程

本文采用帶支撐的開爾文型黏彈性阻尼器。圖1—圖3分別為原阻尼器、修正阻尼器、等效阻尼器的計(jì)算簡(jiǎn)圖，圖中，[kb1]為支撐剛度，[kQ1]、[cv]分別為開爾文阻尼器的剛度、阻尼，[kG1]為修正阻尼器平衡模量，[p0G1（t）]為修正阻尼器阻力，[hG1（t）]為修正阻尼器的松弛函數(shù)，[CG1]為修正阻尼器的等效線性阻尼，[u]為結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移，[up]、[ub]分別為阻尼器和支撐相對(duì)于地面的位移，[PG1（t）]為阻尼器的總阻尼力。

單自由度線性耗能結(jié)構(gòu)方程可表示為[18-20]

[W（t）=mu+cu+ku+PG1（t），] （1）

式中：[m、k、c]分別為單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼；[u]、[u]分別表示結(jié)構(gòu)的加速度和速度；[W（t）=mag（t）]是平穩(wěn)的0均值正態(tài)過程，[ag]為地震加速度，[t]為地震激勵(lì)時(shí)間。

2 結(jié)構(gòu)剛度呈弱非線性的單自由度耗能結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的響應(yīng)分析

文獻(xiàn)[17]采用隨機(jī)等效線性化法對(duì)弱非線性耗能結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，由于隨機(jī)等效線性化法所求得的結(jié)果是近似解，對(duì)于阻尼是線性，而對(duì)于剛度是非線性的單自由度結(jié)構(gòu)，F(xiàn)PK方程法可以求得其精確解[1]，因此針對(duì)上述結(jié)構(gòu)，本文采用FPK方程法進(jìn)行求解。采用高斯白噪聲激勵(lì)下的阻尼呈線性、剛度呈弱非線性的帶支撐黏彈性阻尼器的單自由度耗能結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)方程為[20]

[ W（t）=mu+cu+k[u+εβ（u）]+kG1u+0thG1t-τuτdτ ， （2）]

式中：[ε]是小參數(shù)（[ε?1]）；[β（x）]是[x]的奇函數(shù)[1，5]，且[limx→∞0uβ（x）dx=∞]。

基于本文提出的求解思路，將[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效為線性的阻尼力[CG1u]，則等效結(jié)構(gòu)方程可以轉(zhuǎn)化為

[W（t）=mu+（c+CG1）u+k[u+εβ（u）]+kG1u .] （3）

化簡(jiǎn)后可得

[W（t）=mu+c1u+k1[u+ε1β（u）]，] （4）

式中：

[c1=c+CG1]， [ε1=εkk+kG1 .] （5）

基于FPK方程法[1]，令[g（u，u）=c1u+k1[u+ε1β（x）]]，[g1（u）=k1[u+ε1β（u）]]，原方程可化簡(jiǎn)為

[W（t）=mu+g（u，u） .] （6）

代入狀態(tài)變量得

[g（Y1，Y2）=c1Y2+g1（Y1） .] （7）

其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)FPK方程變成[5]

[-y2?ps?y1+1m??y2{[c1y2+g1（y1）]ps}+πS0c1?2ps?y22=0 ，] （8）

式中：[ps（y1， y2）]為狀態(tài)反應(yīng)矢量[Y（t）]的平穩(wěn)聯(lián)合概率密度函數(shù)；S0為譜強(qiáng)度因子。

由于[W（t）]是平穩(wěn)的0均值正態(tài)過程，因此，[ps（y1，y2）=ps1（y1）ps2（y2）]，其中[ps1]、[ps2]為[Y1]、[Y2]的邊緣概率密度函數(shù)，聯(lián)立以上方程可得

[ps1（y1）=C1exp[-C1πS00y1g1（y1）dy1] ，] （9）

[ps2（y2）=C2exp（-mC12πS0y22） ，] （10）

式中：[C1]、[C2]分別由相應(yīng)的概率密度ckOmRQIQyK9ss2Q0vOMG8lwxAF3vwdsboKlEWFlv2wE=歸一化條件確定。

將[g1（u）=k1[u+ε1β（u）]]代入式（9）得

[ps1（y1）=C1exp{-C1πS00y1k1[u+ε1β（u）]du}= C1exp{-C1k1πS0[y212+ε10y1β（u）du]}.（11）]

由線性隨機(jī)振動(dòng)分析結(jié)果可得[20]

[σ2u1][= πS0c1k1 ，] （12）

式中：[σ2u1]為[ε=0]時(shí)線性耗能結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差。

將式（12）代入式（11）可得

[ps1（y1）=C2πk1σu1exp{-1σ2u1[y212+ε10y1β（u）du]}， ] （13）

式中：[C]為積分常數(shù)。

經(jīng)泰勒級(jí)數(shù)化簡(jiǎn)后，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)方差為[5，11]

[σ2u=E[u2（t）]=-∞∞y21ps1（y1）d/CgtWtGblajWpdpZu36XMjwW/eFssVwcS6d+QbrqobY=y1≈ σ2u1-ε1E[Y1β（Y1）]=σ2u1-ε1E[u1β（u1）]. （14）]

相較于線性耗能結(jié)構(gòu)，非線性耗能結(jié)構(gòu)的自振頻率[ω]除了考慮阻尼器和結(jié)構(gòu)本身剛度的影響外，還應(yīng)考慮非線性力的影響。

由頻域法可得[20]

[σ2u=πS02ξ1ω32]， [σ2u=πS02ξ1ω2 ， ] （15）

[ξ2=c2mω2+CG12mω2] [ω22=ω2e+kG1m=ke+kG1m ，] （16）

式中：[ω2]為所要求假設(shè)的等效結(jié)構(gòu)的自振頻率，其受到原結(jié)構(gòu)剛度、阻尼器等效剛度和非線性力的共同制約；[ωe]為原結(jié)構(gòu)等效結(jié)構(gòu)的自振頻率；[ke]為等效剛度。將式（12）、式（14）—式（16）聯(lián)立求解即可得到基于FPK方程法的弱非線性耗能結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差的解析解為

[σ2u2=E[u2（t）]=-∞∞y21ps1（y1）dy1≈ σ2u2-ε1E（u42）=σ2u2-3ε1σ4u2.] （17）

3 結(jié)構(gòu)剛度呈滯變?nèi)醴蔷€性的單自由度耗能結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的響應(yīng)分析

文獻(xiàn)[17]采用隨機(jī)等效線性化法對(duì)弱非線性耗能結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，由于隨機(jī)等效線性化法求得的結(jié)果精度較低，而等效Duffing體系法的計(jì)算精度高于隨機(jī)等效線性化法，其適用性比FPK方程法和隨機(jī)等效線性化法更廣，并且該方法可解決含有van der Pol等特殊振子的非線性耗能結(jié)構(gòu)。因此本文采用等效Duffing體系法解決結(jié)構(gòu)呈滯變?nèi)醴蔷€性的單自由度耗能結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的響應(yīng)分析問題?？紤]在高斯白噪聲激勵(lì)下，設(shè)置帶支撐的黏彈性阻尼器的單自由度弱非線性耗能結(jié)構(gòu)，原弱非線性結(jié)構(gòu)質(zhì)量是線性的，阻尼和剛度是弱非線性的，其運(yùn)動(dòng)方程為

[W（t）=mu+cu+ku+εf（u，u）+kG1u+0thG1t-τuτdτ .] （18）

由等效Duffing體系法[11]，令[g（u，u）=cu+ku+εf（u，u）]，則有

[W（t）=mu+g（u，u）+kG1u+0thG1t-τuτdτ .] （19）

設(shè)與式（19）等價(jià)的Duffing非線性耗能系統(tǒng)為[11]

[W（t）=mu+ceu+ke[u+εβ（u）]+kG1u+0thG1t-τuτdτ，] （20）

式中：[ce]為等效阻尼。

同理，假定體系（19）和（20）之間的誤差為

[i0=mu+g（u，u）+kG1u+0thG1（t-τ）u（τ）dτ-mu- ceu-ke[u+εβ（u）]-kG1u-0thG1（t-τ）u（τ）dτ .] （21）

若要使得[E[i20]]取極小值，則有

[?Ei20?ce=0]， [?Ei20?ke=0.] （22）

考慮到期望與導(dǎo)數(shù)的可交換性，由式（22）可得

[E[ug（u，u）]-ceE（u2）-ke{E（u，u）+ εE[uβ（u）]}=0，E[ug（u，u）]+εE[β（u）g（u，u）]-ce{E（u，u）+ εE[uβ（u）]}-keE{[u+β（u）]2}=0.] （23）

[W（t）]是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，因此[E[u（t）u（t）]=0]。將式（23）聯(lián)立求解并略去[ε]的高階微量后可得

[ce = {E[ug（u，u）]E（u2） +2εE[ug（u，u）]E[uβ（u）]- εE[ug（u，u）]E[uβ（u）]}/{E（u2）E（u2） + 2εE（u2）E[uβ（u）]}，ke ={E[ug（u，u）]E（u2） -εE[ug（u，u）]E[uβ（u）]+ εE[β（u）g（u，u）]E（u2）}/{E（u2）E（u2） + 2εE（u2）E[uβ（u）]}.]

（24）

通過以上兩式便可得到等效的Duffing非線性耗能系統(tǒng)的等效剛度[ke]和等效阻尼[ce]，它們是與等效結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)方差有關(guān)的函數(shù)?；诒疚奶岢龅那蠼馑悸?，將[P0G1t=0thG1t-τuτdτ]等效為線性的阻尼力[CG1u]，則等效結(jié)構(gòu)方程式（20）可以轉(zhuǎn)化為

[W（t）=mu+（ce+CG1）u+ke[u+εβ（u）]+kG1u .] （25）

由線性隨機(jī)振動(dòng)分析可得

[σ2u3=πS0c1k1]， [ξ3=ce2mω2+CG12mω2]，

[ω23=ω2e1+kG1m=] [ke1+kG1m]. （26）

將式（12）、式（14）、式（26）聯(lián)立求解即可得到基于等效Duffing體系法和FPK方程法的弱非線性耗能結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差的解析解為

[σ2u3=E[u2（t）]=-∞∞y21ps1（y1）dy1≈ σ2u3-ε1E（u43）=σ2u3-3ε1σ4u3.] （27）

4 算例

圖4（a）為考慮帶支撐的開爾文型黏彈性阻尼器單自由度耗能弱非線性結(jié)構(gòu)圖，圖4（b）為其等效結(jié)構(gòu)圖，其質(zhì)量、剛度、阻尼分別為[m=2 kg]、[k=100 N/m]、[c=2 N]?[s/m]，并聯(lián)的阻尼器性能參數(shù)為：支撐剛度[kb1=200 N/m]、平衡模量[kQ1=200 N/m]、單元阻尼系數(shù)[c=30 N]?[s/m]。地震激勵(lì)[ag（t）]是均值為0、譜強(qiáng)度因子為[S0]的平穩(wěn)正態(tài)過程，[S0=0.000 5 m2/s3]。計(jì)算設(shè)置帶支撐的開爾文型黏彈性阻尼器的Duffing振子和van der Pol振子的位移響應(yīng)值，[ε]=0.05，[ε] =0.02，[β（u）=u3]。

4.1 結(jié)構(gòu)剛度呈弱非線性的單自由度耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

Duffing 振子分別采用FPK方程法和文獻(xiàn)[20]的隨機(jī)等效線性化法求解。

將式（5）—式（7）、式（12）、式（14）—式（16）聯(lián)立，得到基于FPK方程法的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差為：

[σ2u2=E[u2（t）]=-∞∞y21ps1（y1）dy1≈σ2u2-]

[ ε1E（u42）=σ2u2-3ε1σ4u2.] （28）

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，取[ε1=0.01]，[σu2=0.002 170 m]，則[σ2u2] = 4.710×10-6 m2。

將上述結(jié)果代入式（9）、式（10）、式（15），即可得到此類結(jié)構(gòu)的平穩(wěn)聯(lián)合概率密度函數(shù)和速度響應(yīng)方差。

將[β（u）=u3]與文獻(xiàn)[17]中的隨機(jī)等效線性化法結(jié)合，求解得等效結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)方差為

[σ2u=σ2u1-3ε1σ4u1.] （29）

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，取[ε1=0.01]，[σu1=0.002 150 m]，則[σ2u] = 4.620×10-6 m2。

應(yīng)注意，式（14）雖然忽略了高階微量，但是其本質(zhì)是基于FPK方程法的精確求解，所以本文的求解要比基于隨機(jī)等效線性化法的求解精度更高。而等效阻尼公式是近似的，因此2種方法均為近似解。表1為不同阻尼系數(shù)和支撐剛度下的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。圖5為不同阻尼系數(shù)和支撐剛度下的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，其中，kb1為本文所給解析解的支撐剛度，kb2為隨機(jī)等效線性化法求解結(jié)果的支撐剛度。由表1和圖5可以看出，當(dāng)阻尼器阻尼系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，2種方法求解得到的位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨著阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度的增大逐漸減小；當(dāng)阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度較小時(shí)，2種方法間的誤差相對(duì)較小，隨著阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度逐漸增大，2種方法間的誤差也隨之增加。等效線性化法相較于FPK方程法，低估了位移響應(yīng)的方差，這種規(guī)律與不含有黏性阻尼器的杜芬系統(tǒng)分析結(jié)果保持一致[1]。

由算例分析可得，本文對(duì)結(jié)構(gòu)剛度呈弱非線性的耗能減震結(jié)構(gòu)求解結(jié)果與隨機(jī)等效線性化法求解結(jié)果一致，表明本文求解是可靠、有效的。在式（7）—式（21）用FPK方程法求解的過程中，將阻尼力進(jìn)行等效，整體結(jié)構(gòu)保持非線性狀態(tài)；在文獻(xiàn)[17]中用隨機(jī)等效線性化法求解的過程中，將非線性結(jié)構(gòu)整體等效為一個(gè)線性結(jié)構(gòu)，再通過控制非線性和線性之間的最小誤差來確定等效線性方程中的參數(shù)，最后將阻尼力進(jìn)行等效。其中，在基于FPK方程法求解的過程中，存在阻尼力等效和忽略高階微量2種形式的誤差：而在隨機(jī)等效線性化求解的過程中，除存在以上2種形式誤差之外，還存在非線性和線性之間的最小誤差。綜上分析，本文求解比隨機(jī)等效線性化法求解精度高。

4.2 結(jié)構(gòu)剛度呈滯變?nèi)醴蔷€性的單自由度耗能結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

Vanderpol振子基于等效Duffing體系法，并分別結(jié)合FPK方程法和隨機(jī)等效線性化法求解。

將式（5）—式（7）、式（12）、式（14）—式（25）聯(lián)立，得到基于FPK方程法的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差為：

[σ2u3=E[u2（t）]=-∞∞y21ps1（y1）dy1≈σ2u3-ε1E（u43）= σ2u3-3ε1σ4u3.] （30）

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，取[ε1=0.01]，[σu3=0.002 149 m]，則[σ2u3] = 4.618×10-6 m2。

將[β（u）=u3]與文獻(xiàn)[17]中的隨機(jī)等效線性化法結(jié)合，得到等效結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)方差為：

[σ2u=σ2u1-3ε1σ4u1.]   （31）

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，取[ε1=0.01]，[σu1=0.002 142 m]，則[σ2u] = 4.588×10-6 m2。

在不同小參數(shù)[ε]下，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨著阻尼系數(shù)和支撐剛度變化的曲線圖如圖6所示。由圖可知，隨著阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度的增大，減震效果越明顯。隨著非線性參數(shù)[ε]的增大，2種方法間的偏差出現(xiàn)不同程度的變化，但是變化幅度很小P8my1Sc3qlaW0mtTkF8pHQ==，而位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差基本保持不變。說明在不同的弱非線性條件下，2種方法的計(jì)算結(jié)果也基本一致，進(jìn)一步證明了計(jì)算結(jié)果是可靠、有效的。

由算例分析可得，本文對(duì)滯變?nèi)醴蔷€性的耗能減震結(jié)構(gòu)求解結(jié)果和隨機(jī)等效線性化法求解結(jié)果基本一致，表明本文所給解析解是可靠、有效的。在式（14）—式（20）中用基于等效Duffing體系的FPK方程法求解的過程中，先將原結(jié)構(gòu)等效為Duffing非線性耗能結(jié)構(gòu)，再將阻尼力進(jìn)行等效，整體結(jié)構(gòu)保持非線性狀態(tài)；在文獻(xiàn)[17]中用隨機(jī)等效線性化法求解的過程中，將非線性結(jié)構(gòu)整體等效為一個(gè)線性結(jié)構(gòu)，再通過控制非線性和線性之間的最小誤差來確定等效線性方程中的參數(shù)，最后將阻尼力進(jìn)行等效。其中，在基于等效Duffing體系的FPK方程法求解的過程中，存在阻尼力等效和忽略高階微量2種形式的誤差；而在隨機(jī)等效線性化求解的過程中除存在以上2種形式誤差之外，還存在非線性和線性之間的最小誤差。綜上分析，本文求解比隨機(jī)等效線性化法求解精度高。

5 結(jié)論

本文對(duì)結(jié)構(gòu)剛度弱非線性和滯變?nèi)醴蔷€性的耗能減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)問題進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論：

1）本文方法的求解結(jié)果與隨機(jī)等效線性化法求解結(jié)果一致，表明本文所給解析解的結(jié)果可靠、有效。

2）本文方法在求解過程中存在阻尼力等效和忽略高階微量2種形式的誤差，在隨機(jī)等效線性化求解的過程中除存在以上2種誤差之外，還存在非線性和線性之間的誤差。本文求解比隨機(jī)等效線性化法求解精度高。

3）算例分析表明，隨著阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度的增大，減震效果越明顯，帶支撐的黏彈性阻尼器對(duì)于弱非線性耗能結(jié)構(gòu)具有良好的減震效果。文中所采用的等效體系中含有可控制阻尼器的阻尼系數(shù)和支撐剛度的參數(shù)[cv]和[kb1]。改變[cv]和[kb1]值的大小可快速獲得不同的阻尼系數(shù)和支撐剛度下結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)值。但本文提出的方法均為近似求解方法，因此，如何獲得求解精度更高且適用性更廣的求解方法，有待進(jìn)一步研究。

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Random seismic response analysis of energy dissipation structure

under weak nonlinear system

XIA Yu ， YANG Ying， LI Jinbo， YU Yingye

（School of Civil Architecture and Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： The stochastic seismic responses of energy dissipation structures with weakly nonlinear stiffness and hysteretic weakly nonlinear stiffness are studied. The analytical solutions of these two structures are given by FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov） equation method and equivalent Duffing system method， and the errors of both methods are analyzed. Firstly， the differential and integral equations of motion of weakly nonlinear structures with single degree of freedom including viscoelastic dampers and braces of ordinary integral model are established by using the global constitutive relation. Then， the equivalent damping principle of the supported viscoelastic damper and the stochastic equivalent linearization method are made equivalent. Finally， based on FPK equation method， the analytical solution of random seismic response value of stiffness weakly nonlinear energy dissipation system is derived. Based on the equivalent Duffing system method， the analytical solution of random seismic response value of hysteretic weakly nonlinear energy dissipation system is derived. The example shows that the calculation results are reliable and effective， and the solution accuracy based on FPK method and equivalent Duffing system method is higher than that based on the stochastic equivalent linearization method.

Keywords： viscoelastic damper; random vibration; weak nonlinear system; bracing; FPK equation method; random equivalent linearization method; equivalent Duffing system method

（責(zé)任編輯：羅小芬）

收稿日期：2023-08-18；修回日期：2023-11-23

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51569005）；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2020GXNSFAA297203，2019GXNSFBA245071）；廣西科技基地和人才專項(xiàng)（桂AD19110068，桂AD19245125）資助

第一作者：夏雨，博士，教授，研究方向：建筑結(jié)構(gòu)抗震與減震，E-mail：summ-rain@163.com