摘 要：本文研究了一類非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題。基于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)采樣，利用Lyapunov函數(shù)的方法得出事件觸發(fā)條件，使得控制器只在事件觸發(fā)條件被滿足時(shí)才更新，有效地減少了迭代學(xué)習(xí)過(guò)程中控制器的更新。通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明了事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性。最后，通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：分布參數(shù)切換系統(tǒng)；數(shù)據(jù)采樣；迭代學(xué)習(xí)控制；事件觸發(fā)

中圖分類號(hào)：TP273 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2024.04.008

0 引言

切換系統(tǒng)由子系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間的切換規(guī)律組成，其作為一類典型的特殊混雜系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)[1]、交通控制系統(tǒng)[2]、化學(xué)過(guò)程[3]中。采樣控制是一種基于離散信號(hào)的控制策略，控制器會(huì)在固定的周期上獲取系統(tǒng)的信息，并通過(guò)采樣得到的數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。關(guān)于切換系統(tǒng)采樣控制的研究，目前已在自適應(yīng)控制[4]、T-S模糊系統(tǒng)[5]、Markovian切換[6]等相關(guān)研究上取得了一些成果。文獻(xiàn)[7]研究了具有異步現(xiàn)象的連續(xù)時(shí)間切換T-S模糊系統(tǒng)的量化采樣數(shù)據(jù)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]研究了二階非線性系統(tǒng)異構(gòu)多智能體切換系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)一致性問(wèn)題。類似于集中參數(shù)系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)的采樣控制也得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，最早可追溯至1988年[9]。目前，隨著數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展，分布參數(shù)系統(tǒng)的采樣控制已成為研究熱點(diǎn)，在指數(shù)穩(wěn)定[10]、魯棒控制[11]、模糊控制[12]、分布參數(shù)時(shí)滯系統(tǒng)[13]、非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)[14]等方面都有相應(yīng)的研究成果。

迭代學(xué)習(xí)控制是一種具有廣泛應(yīng)用前景的智能控制方法，其以優(yōu)異的跟蹤控制性能有效地應(yīng)對(duì)重復(fù)性和周期性的控制任務(wù)；同時(shí)由于其在工業(yè)領(lǐng)域的重要價(jià)值和應(yīng)用潛力，迭代學(xué)習(xí)控制已成為一個(gè)備受關(guān)注的研究領(lǐng)域。文獻(xiàn)[15]研究了一類具有高相對(duì)度的非正則離散拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題。相比于傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制，采樣迭代學(xué)習(xí)控制更加符合實(shí)際工業(yè)數(shù)字控制的要求。文獻(xiàn)[16]研究了一種具有不確定性的非線性連續(xù)系統(tǒng)，并提出了一種采樣迭代學(xué)習(xí)控制器。文獻(xiàn)[17]針對(duì)非線性系統(tǒng)提出了一種任意相對(duì)度的采樣迭代學(xué)習(xí)控制，該學(xué)習(xí)算法不需要對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行任何階次的數(shù)值微分。文獻(xiàn)[18]研究了時(shí)滯非線性系統(tǒng)的采樣迭代學(xué)習(xí)問(wèn)題，當(dāng)不存在初值誤差和不確定擾動(dòng)時(shí)，算法可以使其在采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。文獻(xiàn)[19]研究了具有局部Lipschitz連續(xù)的非線性非仿射系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題。根據(jù)現(xiàn)有的切換系統(tǒng)采樣控制研究，尚未發(fā)現(xiàn)針對(duì)分布參數(shù)切換系統(tǒng)采樣的研究。因此，對(duì)本文所涉及的切換系統(tǒng)進(jìn)行采樣迭代學(xué)習(xí)控制研究具有重要意義。

事件觸發(fā)控制較早可以追溯到2002年，在文獻(xiàn)[20]中作者將其稱為L(zhǎng)ebesgue采樣控制，并對(duì)比線性隨機(jī)系統(tǒng)在時(shí)間觸發(fā)和事件觸發(fā)2種機(jī)制作用下的不同，得出了事件觸發(fā)機(jī)制具有更好性能的結(jié)論。文獻(xiàn)[21] 針對(duì)帶有輸入限制的多智能體系統(tǒng)中存在通信帶寬限制的問(wèn)題，提出了基于編碼-解碼器量化器的事件觸發(fā)條件，有效降低了控制器的更新頻率，節(jié)約了系統(tǒng)資源的消耗。近十年，學(xué)者們?yōu)榱斯?jié)約在迭代學(xué)習(xí)控制過(guò)程中控制器的資源利用問(wèn)題，將事件觸發(fā)機(jī)制應(yīng)用到迭代學(xué)習(xí)控制的研究當(dāng)中。在關(guān)于事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題的研究中，事件觸發(fā)條件設(shè)計(jì)的合理性是整個(gè)研究過(guò)程的核心問(wèn)題，也是學(xué)者最關(guān)心的問(wèn)題之一。文獻(xiàn)[22-23]采用了一種Lyapunov函數(shù)的方法推導(dǎo)出事件觸發(fā)條件。文獻(xiàn)[24-25]通過(guò)2D系統(tǒng)建模的方法對(duì)事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性進(jìn)行了分析。事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)控制能夠有效地解決復(fù)雜系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，在多智能體方面，學(xué)者們對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，目前已在帶有量化器的多智能體系統(tǒng)[26]、非同階分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)[27]、固定有向圖下的無(wú)模型多智能體系統(tǒng)[28]、非仿射非線性離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)[29-30]、具有切換拓?fù)涞漠悩?gòu)網(wǎng)絡(luò)多智能體系統(tǒng)[31]、數(shù)據(jù)丟包的多智能體系統(tǒng)[32]、多地鐵列車系統(tǒng)[33]等取得了相關(guān)的成果。文獻(xiàn)[34]進(jìn)一步分析了局部Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)的魯棒跟蹤問(wèn)題，提出了一種基于觀測(cè)器的分布式事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)控制框架。

本文針對(duì)非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)，提出了事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制方法。根據(jù)Lyapunov函數(shù)的方法得出事件觸發(fā)條件，在每次迭代過(guò)程中依據(jù)事件觸發(fā)條件的判斷情況進(jìn)行更新學(xué)習(xí)。通過(guò)足夠次數(shù)的迭代后，可以使得系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻上達(dá)到完全跟蹤。采用本文對(duì)控制器的設(shè)計(jì)方法，控制器的更新頻率低于傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)，能有效地節(jié)約資源。

本文中，[Rn]和[Rn×m]分別表示[n]維Euclidean空間和[n×m]維實(shí)數(shù)矩陣空間。對(duì)于[n]維向量[c=（c1，c2，…，cn）]，其范數(shù)的定義為[‖c‖=l=1nc2l]。對(duì)于[n×m]維矩陣[A]，其范數(shù)的定義為[‖A‖=λmax（ATA）]，其中[λmax（?）]是矩陣最大特征值。[L2（Ω）]是定義在有界開(kāi)子集[Ω]上的平方可積函數(shù)組成的Banach空間。對(duì)于[ω（x）∈L2（Ω）?Rn]，其[L2]范數(shù)的定義為[‖ω‖L2=（ΩωT（x）ω（x）dx）12]。對(duì)于[f（x，s）：Ω×N→Rn]，[f（?，s）∈L2（Ω）?Rn]，[s∈N]，[N]為自然數(shù)，其[（L2， λ）]范數(shù)的定義為[‖f‖（L2， λ）=sups∈[0，n]{a-λs‖f（?，sh）‖2L2}]，其中[a>1]，[λ>0]，h為采樣時(shí)間，是一個(gè)固定的常數(shù)。

1 問(wèn)題描述

考慮如下重復(fù)運(yùn)行在[[0，T]]上的分布參數(shù)切換系統(tǒng)

[?Qk（x，t）?t=ΔQk（x，t）+fα（t）（t，Qk（x，t），uk（x，t）），yk（x，t）=gα（t）（t，Qk（x，t））+Gα（t）（t）uk（x，t），]

（1）

式中：[Qk∈Rn]是系統(tǒng)狀態(tài)向量，其中[k]是迭代批次；[x]是空間變量，[t]是時(shí)間變量，[（x，t）∈Ω×[0，T]]，[Ω∈Rq]是帶有光滑邊界的有界開(kāi)子集；[Δ]是定義在[Ω]上的Laplace算子，即[Δ=z=1q?2/?x2z]；[fα（t）]，[gα（t）]是一系列非線性函數(shù)；[uk∈Rm]是控制輸入向量；[yk∈Rw]是系統(tǒng)輸出向量；[Gα（t）（t）]是具有合適維數(shù)的矩陣；[α（t）]是切換規(guī)則，[α（t）：[0，T]→M=[1，2，… ，m]]。

假設(shè)1 對(duì)于上述系統(tǒng)，其第一個(gè)子系統(tǒng)的初始狀態(tài)和期望的初始狀態(tài)相同，邊界條件為Dirichlet邊界條件，即[Q（0，t）=Q（l，t）=0]，[l>0]。

假設(shè)2 對(duì)于給定的期望軌線[yd（x，t）]，存在唯一的期望輸入[ud（x，t）]和期望狀態(tài)[Qd（x，t）]。

假設(shè)3 任意一個(gè)子系統(tǒng)只激活1次，子系統(tǒng)的切換規(guī)則：

[α（t）=i=1， 0≤t<t1，2， t1≤t<t2， …m， tm-1≤t≤T.] （2）

假設(shè)4 [fi，gi ： L2（Ω）→L2（Ω）?Rn]，存在常數(shù)[Lfi、Lgi>0]，[i=1，2，… ，m]，使得

[‖fi（t，Q1，u1） -fi（t，Q2，u2）‖= ][Lfi（‖Q1-Q2‖+‖u1-u2‖），] （3）

[‖gi（t，Q1）-gi（t，Q2）‖=Lgi‖Q1-Q2‖.] [（4）]

本文將采樣控制器應(yīng)用于非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)中。在每一個(gè)被激活的切換子系統(tǒng)中采樣[ni+1]次，采用符號(hào)[ts，i]表示采樣時(shí)刻，其中[i]表示被激活的子系統(tǒng)，[s]表示在被激活的子系統(tǒng)[i]中的采樣時(shí)刻，[s∈{0，1，… ，ni}]。在任意2個(gè)相鄰的采樣時(shí)刻之間的采樣區(qū)間是一個(gè)固定的常數(shù)[h]，這意味著系統(tǒng)的控制輸入表示為[uk（x，t）=uk（x，ts，i）]，[t∈（ts，i，ts，i+h）]。為了確保在每一個(gè)被激活的子系統(tǒng)中至少存在一個(gè)采樣時(shí)刻，切換子系統(tǒng)的最小運(yùn)行時(shí)間[τd]應(yīng)大于采樣區(qū)間常數(shù)[h]。本文提出的事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的控制目標(biāo)是在非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)的采樣時(shí)刻實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。

2 主要結(jié)論

2.1 事件觸發(fā)條件

首先，定義事件觸發(fā)誤差為[δek（x，ts，i），]有[δek（x，ts，i）=][ekl-1（x，ts，i）-ek（x，ts，i）]，其中[ekl-1（x，ts，i）=ykl-1（x，ts，i）-yd（x，ts，i）]，[ek（x，ts，i）=] [yk（x，ts，i）-] [yd（x，ts，i）]。[ts，i]時(shí)刻的觸發(fā)誤差是該時(shí)刻上一次事件觸發(fā)的輸出誤差與該時(shí)刻第[k]次迭代的輸出誤差之間的差值，[k>kl-1]。根據(jù)Lyapunov函數(shù)的原理，沿迭代方向上建立一個(gè)正定的函數(shù)[V（k，ts，i）=‖ek（?，ts，i）‖2L2]。

[ΔV（k，ts，i）=V（k，ts，i）-V（k-1，ts，i）= ‖ek（?，ts，i）‖2L2-‖ek-1（?，ts，i）‖2L2= ‖ekl-1（?，ts，i）-eet，k（?，ts，i）‖2L2-‖ek-1（?，ts，i）‖2L2.（5）]

注1 其中的事件觸發(fā)誤差為第[k]次的事件觸發(fā)誤差。須經(jīng)過(guò)事件觸發(fā)條AuHwAKVpOJU2TqYNFmsMyw==件的判斷才能確定第[k]次是否為[kl]。因此，第[k]次的系統(tǒng)輸入應(yīng)該保持與[kl-1]一致，即[δek（x，ts，i）=gi（ts，i，Qkl-1（x，ts，i））-gi（ts，i，Qk（x，ts，i））]。

當(dāng)[ΔV（k，ts，i）<0]，則可以在控制輸入不變的情況下保證系統(tǒng)收斂；當(dāng)[ΔV（k，ts，i）≥0]，則當(dāng)前的控制輸入不能保證系統(tǒng)收斂，需要對(duì)控制器進(jìn)行更新。在此基礎(chǔ)上引入一個(gè)可調(diào)節(jié)的事件觸發(fā)參數(shù)[β]，得到本文的事件觸發(fā)為

[kl=inf{k>kl-1‖ekl-1（?，ts，i）-eet，k（?，ts，i）‖2L2- β‖ek-1（?，ts，i）‖2L2≥0}.] （6）

注2 事件觸發(fā)參數(shù)[β∈[0，1]]，其能夠有效地改變事件觸發(fā)機(jī)制的松弛度。當(dāng)事件觸發(fā)參數(shù)[β=0]時(shí)，事件觸發(fā)機(jī)制將失去其篩選數(shù)據(jù)的效果。

2.2 控制器設(shè)計(jì)和收斂性分析

帶有零階保持器的開(kāi)環(huán)事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)如下，

[uk（x，t）=ukl-1（x，ts，i）+Γekl-1（x，ts，i）， k=kl，ukl-1（x，ts，i）， k∈（kl-1，kl），] （7）

式中：[t∈[ts，i，ts，i+h）]；[Γ]是開(kāi)環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制增益。

注3 在采樣時(shí)刻上，當(dāng)滿足事件觸發(fā)條件（6）時(shí)，該控制器會(huì)進(jìn)行更新；當(dāng)不滿足事件觸發(fā)條件（6）時(shí)，該控制器保持上一次迭代學(xué)習(xí)控制的輸入。在采樣區(qū)間上，通過(guò)零階保持器對(duì)控制輸入進(jìn)行保持。

定理1 對(duì)于滿足假設(shè)1—假設(shè)3的分布參數(shù)切換系統(tǒng)，在開(kāi)環(huán)事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)控制（7）以及事件觸發(fā)條件（6）的作用下，若下面不等式成立：

[2λGiΓ<1， i=1， 2 ，… ， m][，]

其中[λGiΓ=maxn∈[0，ni]λmax（（I+Gi（nh）Γ）T（I+Gi（nh）Γ））]，則系統(tǒng)在[k→∞]時(shí)，[‖ek（?，ts，i）‖2L2]收斂到0。

證明 根據(jù)事件觸發(fā)和非事件觸發(fā)這2種情況來(lái)證明事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性。

步驟1 考慮事件觸發(fā)的情況，即[k=kl]。

1）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)，[t∈[0，t1）]。

在采樣區(qū)間[[（n-1）h，nh]]上有

[??tQkl（x，t）=ΔQkl（x，t）+（f1（t，Qkl（x，t），ukl（x，t））-]

[f1（t，Qkl-1（x，t），ukl-1（x，t）））.] （8）

對(duì)式（8）兩邊同時(shí)乘[Qkl（x，t）]，可以得到

[12??t（QTkl（x，t）Qkl（x，t））=QTkl（x，t）ΔQkl（x，t）+]

[QTkl（x，t）（f1（t，Qkl（x，t），ukl（x，t））- f1（t，Qkl-1（x，t），ukl-1（x，t）），] fsJZ3ChLlfiiUtAhWSZQZg== （9）

式中：[Qkl（x，t）=Qkl（x，t）-Qkl-1（x，t）]。

將式（9）兩邊對(duì)[x]進(jìn)行積分，根據(jù)[L2]范數(shù)的定義，得到

[ddt（‖Qki（?，t）‖2L2）=2ΩQTkl（x，t）ΔQkl（x，t）dx+][2ΩQTkl（x，t）（f1（t，Qkl（x，t），ukl（x，t））-]

[f1（t，Qkl-1（x，t），ukl-1（x，t））]<C：＼Users＼PC64＼Desktop＼2wzr廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)第4期＼Image＼W方括號(hào).eps> [dx≤2QTkl（x，t）?Qkl（x，t）|x∈?Ω-]

[2ΩQTkl（x，t）?Qkl（x，t）dx+（Lf1+1）‖Qkl（?，t）‖2L2+]

[Lf1‖ukl（?，t）‖2L2，] （10）

式中：[ukl（x，t）=ukl（x，t）-ukl-bL3tatZWRC6NC92DsVJtrg==1（x，t）]。

對(duì)不等式（10）兩邊關(guān)于[t]進(jìn)行積分，并使用Bellman-Gronwall不等式，得到

[ ‖Qkl（?，nh）‖2L2 ≤‖Qkl（?，（n-1）h）‖2L2+（n-1）hnh（ξ‖Qkl（?，τ）‖2L2+ ζ‖ukl（?，τ）‖2L2）dτ ≤exp（ξnh）‖Qkl（?，（n-1）h）‖2L2+（n-1）hnhexpξ（nh-τ）ζ‖ukl（?，τ）‖2L2dτ ≤exp（ξT）‖Qkl（?，（n-1）h）‖2L2+ζ‖ukl（?，（n-1）h）‖2L2（n-1）hnhexpξ（nh-τ）dτ =κ‖Qkl（?，（n-1）h）‖2L2+φ‖ukl（?，（n-1）h）‖2L2 ≤κn‖Qkl（?，t0，1）‖2L2+φj=0n-1κn-1-j‖ukl（?， jh）‖2L2， （11）]式中：[ξ=maxi∈MLfi+1]，[ζ=maxi∈MLfi]，[κ=exp（ξT）]，[φ=ζ（（exp（ξh）-1）/ξ）]。

在采樣時(shí)刻[nh]上有

[ukl（x，nh）-ukl-1（x，nh）=Γekl-1（x，nh），] （12）

[ekl（x，nh）=ekl-1（x，nh）+ykl（x，nh）-ykl-1（x，nh）=]

[（g1（nh，Qkl（x，nh））-g1（nh，Qkl-1（x，nh）））+ekl-1（x，nh），]

（13）

其中[ekl-1（x，nh）=（I+G1（nh）Γ）ekl-1（x，nh）]。

依據(jù)式（12）、式（13）可以得到

[uTkl（x，nh）ukl（x，nh）≤λΓeTkl-1（x，nh）ekl-1（x，nh），] （14）

[eTkl（x，nh）ekl（x，nh）≤2λG1ΓeTkl-1（x，nh）ekl-1（x，nh）+]

[ 2（g1（nh，Qkl（x，nh））-g1（nh，Qkl-1（x，nh）））T× （g1（nh，Qkl（x，nh））-g1（nh，Qkl-1（x，nh）））， （15）]

其中[λΓ=λmax（ΓTΓ）] ，[λG1Γ=maxn∈[0，n1]λmax（I+G1（nh）Γ）T×]

[（I+G1（nh）Γ）]。

將式（14）、式（15）兩邊對(duì)[x]進(jìn)行積分，根據(jù)[L2]范數(shù)的定義，得到

[‖ukl（?，nh）-ukl-1（?，nh）‖2L2≤λ?！琫kl-1（?，nh）‖2L2，] （16）

[‖ekl（?，nh）‖2L2≤2λG1?！琫kl-1（?，nh）‖2L2+2L2g1‖Qkl（?，nh）‖2L2≤ 2λG1?！琫kl-1（?，nh）‖2L2+2L2g1λΓφj=0n-1κn-1-j‖ukl（?，jh）‖2L2+][ ][2L2g1κ‖Qkl（?，t0，1）‖2L2.] （17）

對(duì)不等式（17）兩邊同時(shí)乘[κ-λn]，根據(jù)[（L2，λ）]范數(shù)的定義，得到

[ ‖ekl‖（L2，λ）≤2λG1?！琫kl-1‖（L2，λ）+2L2g1λΓφsupn∈[0，n1]κ-λnj=0n-1κn-1-j‖ekl-1（?，jh）‖2L2+2L2g1supn∈[0，n1]κ-λnκn‖Qkl（?，t0，1）‖2L2， （18）]

式中：

[supn∈[0，n1]κ-λnj=0n-1κn-1-j‖ekl-1（?，jh）‖2L2= κ-1supn∈[0，n1]（j=0n-1κ-λj‖ekl-1（?，jh）‖2L2κ（λ-1）（j-n））≤ κ-1supn∈[0，n1]（j=0n-1supn∈[0，n1]κ-λj‖ekl-1（?，jh）‖2L2κ（λ-1）（j-n））= ‖ekl-1‖（L2，λ）×κ-1supn∈[0，n1]j=0n-1κ（λ-1）（j-n）= ‖ekl-1‖（L2，λ）×1-κ-（λ-1）n1κλ-κ， （19）]

根據(jù)式（18）、式（19）可以得到

[‖ekl‖（L2， λ）≤（2λG1Γ+2L2g1λΓφ×1-κ-（λ-1）n1κλ-κ）‖ekl-1‖（L2， λ）.] （20）

根據(jù)定理1的條件，取足夠大的[λ]，使下面不等式成立：

[2λG1Γ+2L2g1λΓφ×1-κ-（λ-1）n1κλ-κ≤ρ1<1，]

可得到第一個(gè)子系統(tǒng)[limkl→∞‖ekl‖（L2， λ）→0]的結(jié)論。

2）當(dāng)?shù)诙€(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)，[t∈[t1，t2）.]

情況1：在采樣區(qū)間內(nèi)不發(fā)生切換，切換序列[α（t）=i]，[t∈[tn1，1，t0，2）]。

[‖Qkl（?，t0，2）‖2L2≤φj=0n1κn1-j‖ukl（?，jh）‖2L2.] （21）

情況2：在采樣區(qū)間內(nèi)發(fā)生切換，切換序列[α（t）=i]，[t∈[tn1，1，t1）]；[α（t）=l]，[t∈[t1，t0，2）]。

[‖Qkl（?，t0，2）‖2L2≤κφj=0n1κn1-j‖ukl（?，jh）‖2L2+φ‖ukl（?，n1h）‖2L2.] （22）

在第一個(gè)子系統(tǒng)的收斂性的證明中，可以得到[limkl→∞‖ekl‖（L2， λ）→0]的結(jié)論，進(jìn)一步可以得到[limkl→∞‖ukl‖（L2， λ）→0]，依據(jù)[（L2，λ）]的定義可以得到[limkl→∞‖ukl（?，ts，1）‖L2→0]。結(jié)合對(duì)第二個(gè)子系統(tǒng)第一個(gè)采樣時(shí)刻的分析，得出[limkl→∞‖Qkl（?，t0，2）‖L2→0] 。

類似地，根據(jù)不等式（20）可以得到

[‖ekl‖（L2， λ）≤（2λG2Γ+2L2g2λΓφ×1-κ-（λ-1）n2κλ-κ）‖ekl-1‖（L2， λ）.] （23）

根據(jù)定理1的條件，取足夠大的[λ]，使下面不等式成立：

[2λG2Γ+2L2g2λΓφ×1-κ-（λ-1）n2κλ-κ≤ρ2<1，]

可得到第二個(gè)子系統(tǒng)[limkl→∞‖ekl‖（L2， λ）→0]的結(jié)論。

以此類推，同樣可以證明在[[t2，t3），… ，[ti-1，T]]上，[‖ekl‖（L2， λ）]收斂到0，即[limkl→∞‖ykl（?，ts，i）-yd（?，ts，i）‖L2→0]。

步驟2 考慮非事件觸發(fā)的情況，即[k∈（kl-1，kl）]。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)子系統(tǒng)被激活時(shí)，

[yk（x，nh）-ykl-1（x，nh）=]

[g1（nh，Qk（x，nh））-g1（nh，Qkl-1（x，nh））.] （24）

進(jìn)一步可以得到

[‖ykl（?，nh）‖2L2≤L2g1‖Qkl（?，nh）‖2L2，] （25）

式中：[ykl（x，nh）=yk（x，nh）-ykl-1（x，nh）]，[Qkl（x，nh）=Qk（x，nh）-Qkl-1（x，nh）]。

依據(jù)不等式（11），同理可得

[‖Qkl（?，nh）‖2L2≤κn‖Qkl（?，t0，1）‖2L2+ φj=0n-1κn-1-j‖ukl（?，jh）‖2L2，] （26）

式中：[ukl（x，nh）=uk（x，nh）-ukl-1（x，nh）]。

對(duì)不等式（26）兩邊同時(shí)乘[κ-λn]，根據(jù)[（L2， λ）]范數(shù)的定義，得到

[‖ykl‖（L2， λ）≤κ-λnL2g1φj=0n-1κn-1-j‖ukl（?， jh）‖2L2+ L2g1κ-λnκn‖Qkl（?，t0，1）‖2L2≤ L2g1φ‖ukl‖（L2， λ）×1-κ-（λ-1）n1κλ-κ. （27）]

在同一迭代批次中，非事件觸發(fā)時(shí)刻的系統(tǒng)輸入保持不變；事件觸發(fā)時(shí)刻的系統(tǒng)輸入[limkl→∞‖ukl‖（L2， λ）→0]。因此可知[limkl→∞‖ukl‖（L2， λ）→0]，進(jìn)一步得到[limkl→∞‖ykl‖（L2， λ）→0]。以此類推，同樣可以證明在[[t1，t2），… ，[ti-1，T]]上[limkl→∞‖ykl‖（L2， λ）→0]。依據(jù)[（L2， λ）]的定義可以得到[limkl→∞‖yk（?，ts，i）-ykl-1（?，ts，i）‖L2→0]，[i=1，2，… ，m]。

總結(jié)上述步驟1和步驟2可知，系統(tǒng)的輸出將隨著事件觸發(fā)迭代學(xué)習(xí)收斂到0，而在非事件觸發(fā)情況下，系統(tǒng)的輸出將會(huì)沿上一次事件觸發(fā)的系統(tǒng)輸出收斂。

3 仿真算例

本節(jié)通過(guò)一個(gè)數(shù)值仿真的例子來(lái)驗(yàn)efe2e6023ab8dbef5a22ce5ac4d48dba81a6da61f505c57fc7fc882efe51057f證分布參數(shù)切換系統(tǒng)事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的有效性。考慮具有2個(gè)子系統(tǒng)的分布參數(shù)切換系統(tǒng)，其相對(duì)應(yīng)的參數(shù)如下：

[f1（x，t）=1.5sin t0.20.8-2.5cos（Qk，1（x，t））cos（Qk，2（x，t））+]

[-1.1e-t0.80.2-1.3][ uk，1（x，t）uk，2（x，t），]

[f2（x，t）=1.50.8cos t0.5-2cos（Qk，1（x，t））cos（Qk，2（x，t））+]

[-0.50.50-1.5sin tuk，1（x，t）uk，2（x，t）][ ，]

[g1（x，t）=0.61.3cos t0.62.4sin（Qk，1（x，t））sin（Qk，2（x，t））][ ，]

[g2（x，t）=0.510.9e-t2sin（Qk，1（x，t））sin（Qk，2（x，t））][ ，]

[G1=-cos t00-1][ ，]

[G2=-cos t00-1][ ，]

式中：[（x，t）∈[0，1]×[0，1]]。給定參數(shù)[β=0.995]，[Γ=[0.8 0;0 0.5]]。2個(gè)子系統(tǒng)之間的切換規(guī)則如圖1所示。

給出期望軌跡的表達(dá)式：

[yd（x，t）=5sin（5t）sin（πx）-10sin（2πt）sin（πx）.]

該期望軌線如圖2和圖3所示。

圖4和圖5是系統(tǒng)在事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制方案下迭代第50次的輸出，與圖2和圖3的期望軌跡接近重合。圖6和圖7是系統(tǒng)輸出誤差軌線，從圖6和圖7中得出最大的輸出誤差分別為3.77×10-5和4.71×10-5。

圖8和圖9描述的是在事件觸發(fā)和非事件觸發(fā)2種機(jī)制下，采樣迭代學(xué)習(xí)控制的輸出誤差的L2范數(shù)的收斂情況。

注4 依據(jù)注2中對(duì)于事件觸發(fā)參數(shù)[β]的描述，將事件觸發(fā)參數(shù)[β]設(shè)置為0，這也就意味著事件觸發(fā)條件失去了篩選數(shù)據(jù)的效果，在每次迭代過(guò)程中控制器在所有采樣時(shí)刻都進(jìn)行學(xué)習(xí)、更新，因此得到非事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制，也就是傳統(tǒng)的采樣迭代學(xué)習(xí)控制。

對(duì)比事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)和非事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)2種方案下的系統(tǒng)輸出誤差（圖8和圖9），可以看到，2種方案都可以使得系統(tǒng)的輸出誤差趨向于0，這意味著在2種控制方案下都可以使得系統(tǒng)輸出漸進(jìn)趨向于期望軌跡。圖10表示在50次迭代過(guò)程中每一次迭代學(xué)習(xí)發(fā)生事件觸發(fā)的采樣時(shí)刻的數(shù)量，即相鄰2次迭代之間控制器更新的數(shù)量，沒(méi)發(fā)生事件觸發(fā)的采樣時(shí)刻也就意味著減少了控制器的更新，節(jié)省了資源。通過(guò)計(jì)算得出在50次迭代中，事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制相比于非事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制節(jié)約了39.8%。

注5 從圖8和圖9中看出，雖然事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的輸出誤差的收斂速度相比于非事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制而言會(huì)相對(duì)較慢，但是仍然能夠使得系統(tǒng)收斂到期望軌跡上。相比于輸出誤差的收斂速度變慢，事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制能夠有效地節(jié)約每一次迭代學(xué)習(xí)控制器的更新。

4 結(jié)論

本文針對(duì)非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)，提出了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的采樣迭代學(xué)習(xí)控制算法，并利用Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件。當(dāng)滿足事件觸發(fā)條件時(shí)，控制器采用開(kāi)環(huán)學(xué)習(xí)律對(duì)事件觸發(fā)的采樣時(shí)刻的控制輸出進(jìn)行更新學(xué)習(xí)。在事件觸發(fā)和非事件觸發(fā)2種情況下，對(duì)非線性分布參數(shù)切換系統(tǒng)事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性進(jìn)行了嚴(yán)格的分析。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了文中提出的事件觸發(fā)采樣迭代學(xué)習(xí)控制在節(jié)省資源方面的優(yōu)勢(shì)。

參考文獻(xiàn)

[1] OOBA T，F(xiàn)UNAHASHI Y. On a common quadratic Lyapunov function for widely distant systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42（12）：1697-1699.

[2] BALLUCHI A，DI BENEDETTO M D，PINELLO C，et al.Hybrid control in automotive applications：the cut-off control[J]. Automatica，1999，35（3）：519-535.

[3] LENNARTSON B，TITTUS M，EGARDT B，et al.Hybrid systems in process control[J]. IEEE Control Systems Magazine，1996，16（5）：45-56.

[4] LI S，AHN C K，CHADLI M，et al.Sampled-data adaptive fuzzy control of switched large-scale nonlinear delay systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2021，30（4）：1014-1024.

[5] SANG H，ZHAO J.Passivity and passification for switched T-S fuzzy systems with sampled-data implementation[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2020，28（7）：1219-1229.

[6] YANG T，HUANG X，WANG Z，et al.Aperiodic sampled-data synchronization of Markovian jump neural networks with partially known switching transition rates[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2023，126：107448.

[7] GUAN C X，CHEN W Z，YANG L，et al.Sampled-data asynchronous control for switched nonlinear systems with relaxed switching rules[J]. IEEE Transactions on Cybernetics，2022，52（11）：11549-11560.

[8] ZOU W C，GUO J，AHN C K，et al.Sampled-data consensus protocols for a class of second-order switched nonlinear multiagent systems[J]. IEEE Transactions on Cybernetics，2023，53（6）：3726-3737.

[9] TARN T J，ZAVGREN J R JR，ZENG X M.Stabilization of infinite-dimensional systems with periodic feedback gains and sampled output[J]. Automatica，1988，24（1）：95-99.

[10] TAN Y，NE?I? D.Sampled-data output feedback control of distributed parameter systems via semi-discretization in space[J]. IFAC Proceedings Volumes，2008，41（2）：7749-7754.

[11] FRIDMAN E，BAR AM N.Sampled-data distributed H∞ control of a class of parabolic systems[C]//2012 IEEE 51st IEEE Conference on Decision and Control （CDC）.Maui，HI，USA. 2012：7529-7534.

[12] WANG Z P，WU H N.Finite dimensional guaranteed cost sampled-data fuzzy control for a class of nonlinear distributed parameter systems[J]. Information Sciences，2016，327：21-39.

[13] WANG Z P，WU H N，WANG X H.Sampled-data control for linear time-delay distributed parameter systems[J]. ISA Transactions，2019，92：75-83.

[14] WANG J W，LI H X，WU H N.A membership-function-dependent approach to design fuzzy pointwise state feedback controller for nonlinear parabolic distributed parameter systems with spatially discrete actuators[J]. IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2017，47（7）：1486-1499.

[15] 梅三各，戴喜生，余莎麗，等.高相對(duì)度非正則離散拋物分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，30（1）：31-38.

[16] CHIEN C J.The sampled-data iterative learning control for nonlinear systems[C]//Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control.San Diego，CA，USA，1997：4306-4311.

[17] SUN M X，WANG D W.Sampled-data iterative learning control for nonlinear systems with arbitrary relative degree[J]. Automatica，2001，37（2）：283-289.

[18] 姚仲舒，楊成梧.時(shí)滯非線性系統(tǒng)的采樣迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2003，20（3）：459-463.

[19] CHI R H，HUI Y，CHIEN C J，et al.Convergence analysis of sampled-data ILC for locally lipschitz continuous nonlinear nonaffine systems with nonrepetitive uncertainties[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2021，66（7）：3347-3354.

[20] ASTROM K J，BERNHARDSSON B M.Comparison of Riemann and Lebesgue sampling for first order stochastic systems[C]//Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control.Las Vegas，NV，USA，2002：2011-2016.

[21] 張海江，文家燕，謝廣明，等.飽和約束下事件觸發(fā)多智能體系統(tǒng)量化通信環(huán)形編隊(duì)控制[J]. 廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，33（4）：44-50，69.

[22] LI H Y，LIN N，CHI R H.Event-triggered iterative learning control for linear time-varying systems[J]. International Journal of Systems Science，2022，53（5）：1110-1124.

[23] LIN N，CHI R H，HUANG B，et al.Event-triggered nonlinear iterative learning control[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2021，32（11）：5118-5128.

[24] 余威，卜旭輝，梁嘉琪.基于二維系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)事件觸發(fā)魯棒控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2020，37（8）：1701-1708.

[25] QI Y W，QU Z Y，YAO Z H，et al.Event-triggered iterative learning control for asynchronously switchedb5235d9da7ea93b8c180f8632809042f systems[J]. Applied Mathematics and Computation，2023，440：127662.

[26] ZHANG T，LI J M.Event-triggered iterative learning control for multi-agent systems with quantization[J]. Asian Journal of Control，2018，20（3）：1088-1101.

[27] WANG L M，ZHANG G S.Event-triggered iterative learning control for perfect consensus tracking of non-identical fractional order multi-agent systems[J]. International Journal of Control，Automation and Systems，2021，19（3）：1426-1442.

[28] HUA C C，QIU Y F，GUAN X P. Event-triggered iterative learning containment control of model-free multiagent systems[J]. IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics：Systems，2021，51（12）：7719-7726.

[29] ZHAO H R，YU H N，PENG L.Event-triggered distributed data-driven iterative learning bipartite formation control for unknown nonlinear multiagent systems[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2022，42（6）：256-263.

[30] 趙華榮，彭力，謝林柏，等.多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)無(wú)模型迭代學(xué)習(xí)雙向一致性[J]. 控制與決策，2022，37（10）：2552-2558.

[31] LIN N，CHI R H，HUANG B.Event-triggered ILC for optimal consensus at specified data points of heterogeneous networked agents with switching topologies[J]. IEEE Transactions on Cybernetics，2022，52（9）：8951-8961.

[32] 王宏偉，李昊哲.數(shù)據(jù)丟包下事件驅(qū)動(dòng)的非線性多智能體迭代學(xué)習(xí)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2022，39（9）：1688-1698.

[33] WANG Q，JIN S T，HOU Z S.Event-triggered cooperative model-free adaptive iterative learning control for multiple subway trains with actuator faults[J]. IEEE Transactions on Cybernetics，2023，53（9）：6041-6052.

[34] LI H Y，LUO J H，MA H，et al. Observer-based event-triggered iterative learning consensus for locally lipschitz nonlinear MASs[J]. IEEE Transactions on Cognitive and Developmental Systems，2024，16（1）：46-56.

Event-triggered sampled iterative learning control for nonlinear

distributed parameter switched system

SHENG Chengxiang1， 2 ， DAI Xisheng*1， 2

（1. School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Institute of Intelligent Systems and Control（Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China）

Abstract： In this paper， we studied the event-triggered sampled iterative learning control problem for a nonlinear distributed parameter switched system. Based on the sampling of the system input and system output， the method of Lyapunov function was used to obtain the event-triggered conditions， and the controller would be updated when the event-triggered conditions were satisfied， which effectively reduced the update of the controller in the iterative learning process. The convergence of the event-triggered sampled iterative learning control was proved through strict mathematical derivation. The effectiveness of the algorithm was verified by numerical simulation experiments.

Keywords： distributed parameter switched system; data sampling; iterative learning control; event-triggered

（責(zé)任編輯：黎 婭）

收稿日期：2023-10-19；修回日期：2024-01-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（62363002，61863004）資助

第一作者：盛程相，在讀碩士研究生

*通信作者：戴喜生，博士，教授，研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制，E-mail：mathdxs@163.com