【摘 要】 Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布可用于描述因疲勞導(dǎo)致失效的產(chǎn)品的壽命特征，該分布已經(jīng)成為可靠性統(tǒng)計(jì)分析中的常用分布之一。首先基于廣義三參數(shù)BS分布，通過引入位置參數(shù)[μ]，得到廣義四參數(shù)BS分布GBSII[α， β， μ， k]；其次，以服從廣義四參數(shù)BS分布的獨(dú)立元件壽命為主體，研究它構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)壽命的隨機(jī)比較。分析結(jié)果可以更好地?cái)M合失效產(chǎn)品的壽命規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】 廣義四參數(shù)BS分布；次序統(tǒng)計(jì)量；普通隨機(jī)序；優(yōu)化序

Stochastic Comparisons of Parallel and Series Systems with Heterogeneous Generalized Four-Parameter Birnbaum-Saunders Components

Ling Jie1，Liu Yulin1，F(xiàn)ang Longxiang2

（1.Anhui Business College， Wuhu 241002， China; 2.Anhui Normal University， Wuhu 241002， China）

【Abstract】 The Birnbaum-Saunders fatigue life distribution can be used to describe the life characteristics of products that fail due to fatigue， and this distribution has become one of the commonly used distributions in reliability statistical analysis. In this paper， based on the generalized three-parameter BS distribution， the generalized four-parameter BS distribution GBSII[α， β， μ， k] is obtained by introducing positional parameters [μ]. Secondly， stochastic comparisons of lifetimes of a series system and a parallel system are studied by taking the life of an independent component subject to the generalized four-parameter BS distribution as the main body. The analysis results in this paper can help better fit the life law of failure products.

【Key words】 generalized four-parameter BS distribution; order statistic; usual stochastic order; majorization order

〔中圖分類號(hào)〕 O212 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A 〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2024）03 - 0037 - 05

0 ?cImk3iyzKW98Bb3TJjEfsg==; 引言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一個(gè)重要的失效分布模型，該模型是Birnbaum和Sunders在1969年研究主因裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致材料失效時(shí)推導(dǎo)得出的［1］。該模型主要應(yīng)用于疲勞失效研究，在機(jī)械產(chǎn)品可靠性研究、電子產(chǎn)品性能退化失效分析中有著廣泛的應(yīng)用。相比于Weibull 分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等通常適用于描述產(chǎn)品壽命的分布，因疲勞導(dǎo)致失效的產(chǎn)品其壽命特征用BS分布來研究會(huì)更合適。

設(shè)X服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS[α，β]，其分布函數(shù)為：

[Fx;α，β=Φ1αxβ-βx，x>0]

其中，[α>0]稱為形狀參數(shù)，[β>0 ]稱為尺度參數(shù)，[Φ（x）]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

值得指出的是在2006年提出了一種廣義三參數(shù)BS疲勞壽命分布［2］，該分布相較于兩參數(shù)BS疲勞壽命分布具有更強(qiáng)的靈活性，在此記為GBSI [（α，β，k） ]，其分布函數(shù)的形式為：

[Fx;α，β，k=Φ1αx1-kβ-βxk，x>0]

其中，[α>0]和[0<k<]1稱為形狀參數(shù)，[β>0 ]稱為尺度參數(shù)，[Φ（x）]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

基于廣義三參數(shù)BS疲勞壽命分布，本文增加位置參數(shù)[μ]，提出了一種新的廣義四參數(shù)BS疲勞壽命分布，記為GBSII [（α，β，μ，k） ]，其分布函數(shù)的形式為：

[Fx;α，β，μ，k=Φ1α（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k，x>μ]

其中，[α>0]和[0<k<]1稱為形狀參數(shù)，[β>0 ]稱為尺度參數(shù)，[μ∈]R為位置參數(shù)，[Φ（x）]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

本文主要基于向量?jī)?yōu)化方法，研究廣義四參數(shù)BS分布的串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)壽命的普通隨機(jī)序。

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中，首先簡(jiǎn)要地回顧一下普通隨機(jī)序、優(yōu)化序和弱優(yōu)化序的定義［3-4］。

定義1.1 如果對(duì)于任意[x，P（X>x）≥P（Y>x）]，稱[Y在普通隨機(jī)序下]比[X]更小，記作[X≥stY]。

定義1.2 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個(gè)實(shí)向量，記[λ（1）≤…≤λ（n）]和[λ*（1）≤…≤λ*（n）]是排序后的元素，那么：

（1）若對(duì)于任意的[m=1，2，…，n-1]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]且[i=1nλi=i=1nλ*i]，則稱向量[λ]優(yōu)于向量[λ*]，記作[λ?mλ*];

（2）若對(duì)于任意的[m=1，2，…，n]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]，則稱向量[λ]弱上優(yōu)于向量[λ*]，記作[λ?wλ*]。

下面的引理給出了這兩種優(yōu)化序之間的關(guān)系。

引理1.3［5］ 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個(gè)實(shí)向量，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)[n]維向量[μ]，這里[μ?mλ*]且[μ≥λ]（即[μi≥λi]），那么[λ?wλ*]。

在下一節(jié)證明本文的主要結(jié)果之前，需要用到以下眾所周知的概念和引理。

定義1.4 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個(gè)實(shí)向量，設(shè)函數(shù)[Φλ：]Rn[→]R，如果對(duì)于所有的[λ?mμ]，有[Φλ≤Φμ]，則[Φλ]是Schur-凹函數(shù)，反之如果[Φλ≥Φμ]，則[Φλ]是Schur-凸函數(shù)。

引理1.5 ［17］ 設(shè) [I ? ]R是一個(gè)開集，連續(xù)可微函數(shù)[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凹的，當(dāng)且僅當(dāng) [ΦX]在[I n]上是對(duì)稱的，并且對(duì)所有的 [i ≠ j]，滿足

[Xi-Xj?ΦX?Xi-?ΦX?Xj≤0]

連續(xù)可微函數(shù)[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凸的，當(dāng)且僅當(dāng) [ΦX]在[I n]上是對(duì)稱的，并且對(duì)所有的 [i ≠ j]，滿足

[Xi-Xj?ΦX?Xi-?ΦX?Xj≥0]

引理1.6 ［6］

（1）對(duì)所有的[u∈] R，令[gu=e-u22-∞ue-t22dt]，那么[gu]是一個(gè)減函數(shù)；

（2）對(duì)所有的[u∈] R， 令[hu=e-u22u+∞e-t22dt]，那么[hu]是一個(gè)增函數(shù)。

2 主要結(jié)果

本文對(duì)具有獨(dú)立異構(gòu)的廣義四參數(shù)BS分布，在基于尺度參數(shù)的向量?jī)?yōu)化條件下，給出了并聯(lián)和串聯(lián)系統(tǒng)壽命在普通隨機(jī)序下的比較結(jié)果。

定理2.1 令[X1，…，Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n]。

[X*1，…，X*n是另一組獨(dú)立隨機(jī)變量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

那么當(dāng)[0<k<]1時(shí)，可以得到：

（1）（[1β1，…，1βn]）[?m]（[1β*1，…，1β*n]）[?Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[?m（β*1，…，β*n）?X*1：n≥stX1：n]。

證明：

（1）令[λ1=1β1，…，λn=1βn]， 以及[λ*1=1β*1，…，λ*n=1β*n]，那么有（[λ1，…，λn]）[?m（λ*1，…，λ*n）]。

為了證明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μ）1-kβi-βi（x-μ）k][=1-i=1nΦg（x;α，λi，μ，k）][=1-i=1n-∞gx;α，λi，μ，k12πe-u22du，]

關(guān)于（[λ1，…，λn]）為Schur-凸函數(shù)，其中

[gx;α， λ， μ， k=1α（x-μ）1-kλ-1（x-μ）kλ]，且關(guān)于[λ]為增函數(shù)。

當(dāng)[x>0]時(shí)，[FXn：nx]關(guān)于[λi，i=1，…，n]的導(dǎo)數(shù)為

[?FXn：nx?λi=-12αe-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，kFxn：nx]

其中[hx;α，λ，μ，k=（x-μ）1-kλ-12+1（x-μ）kλ-32] ，且關(guān)于[λ]為減函數(shù)。

因此，

[?FXn：nx?λi-?FXn：nx?λj=12αFxn：nx]

[e-gx;α，λj，μ，k22-∞gx;α，λj，μ，ke-u22duhx;α，λj，μ，k-e-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，k]

由引理1.6可知，復(fù)合函數(shù)

[e-gx;α，λ，μ，k22-∞gx;α，λ，μ，ke-u22du]

關(guān)于[λ]為減函數(shù)。因此可以得到

[λi-λj?FXn：nx?λi-?FXn：nx?λj≥0]

最后，通過引理1.5，可以證明[FXn：nx]關(guān)于（[λ1，…，λn]）為Schur-凸函數(shù)。

（2）為了證明[X*1：n≥stX1：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk][=i=1n1-Φg（x;α， βi， μ，k）][=i=1ng（x;α， βi， μ， k）+∞12πe-u22du]

關(guān)于（[β1，…， βn]）為Schur-凹函數(shù)，其中[gx;α，β，μ，k=1αx-μ1-kβ-βx-μk]，且關(guān)于[β]為減函數(shù)。

當(dāng)[x>0]時(shí)，[FX1：nx]關(guān)于[βi，i=1，…，n]的導(dǎo)數(shù)為

[?FX1：nx?βi=12αe-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22dulx;α， βi， μ， kFX1：nx]

其中[lx;α， β， μ， k=（x-μ）1-kβ-32+1（x-μ）kβ-12] ，且關(guān)于[β]為減函數(shù)。

因此

[?FXn：nx?βi-?FXn：nx?βj=12αFX1：nx]

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22duhx;α， βi， μ， k-e-gx;α， βj， μ， k22gx;α， βj， μ， k+∞e-u22duhx;α， βj， μ， k]

由引理1.6可知，復(fù)合函數(shù)

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22du]

關(guān)于[β]為減函數(shù)。因此可以得到

[βi-βj?FX1：nx?βi-?FX1：nx?βj≤0]

最后，通過引理1.5，可以證明[FX1：nx]關(guān)于（[β1，…， βn]）為Schur-凹函數(shù)。

定理2.2 [令X1，…，Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨(dú)立隨機(jī)變量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

如果（[β1，…， βn]）[≥]（[β*1，…，β*n]），即[βi≥β*i，i=1，…，n]，則[Xn：n≥stX*n：n，X1：n≥stX*1：n]。

證明：當(dāng)[x>0]時(shí)，[Xn：n]和[X1：n]的生存函數(shù)分別為

[FXn：nx=1-i=1nΦ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

和

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

通過普通隨機(jī)序的定義以及[（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k]關(guān)于[β]為減函數(shù)的事實(shí)，即完成證明。

現(xiàn)在，本文基于尺度參數(shù)弱上優(yōu)序，對(duì)該分布的串并聯(lián)系統(tǒng)壽命進(jìn)行普通隨機(jī)序比較。

定理2.3 令[X1，…，Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨(dú)立隨機(jī)變量，且X*i～GBSIIα，β*i， μ， k，i=1，…，n]。那么當(dāng)[0<k<]1時(shí)，有：

（1）（[1β1，…，1βn]）[?w]（[1β*1，…，1β*n]）[?Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[?w]（[β*1，…，β*n]）[?X*1：n≥stX1：n]。

證明：（1）如果（[1β1，…，1βn]）[?w]（[1β*1，…，1β*n]），由引理1.3可知，存在一個(gè)向量（[1γ1，…，1γn]），有（[1γ1，…，1γn]）[?m][（1β*1，…，1β*n）]和[（1γ1，…，1γn）][ ≥]（[1β1，…，1βn]）。現(xiàn)在令[Y1，…，Yn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Yi～GBSIIα，γi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（1）可得，[Yn：n≥stX*n：n]。因?yàn)椋╗1γ1，…，1γn]）[≥]（[1β1，…，1βn]）則有[βi≥γi，i=1，…，n]，由定理2.2可知[Xn：n≥stYn：n]，因此[Xn：n≥stX*n：n]。

（2）如果（[β1，…，βn]）[?w]（[β*1，…，β*n]），由引理1.3可知，存在一個(gè)向量（[θ1，…，θn]），有（[θ1，…，θn]）[?m]（[β*1，…，β*n]）和[θi≥βi，i=1，…，n]?，F(xiàn)在，令[Z1，…，Zn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Zi～GBSIIα，θi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（2）和定理2.2可得，[X*1：n≥stZ1：n]和[Z1：n≥stX1：n]，因此[X*1：n≥stX1：n]。

定理2.4 令[X1，…，Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量，且Xi～GBSIIα， β， μi，k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨(dú)立隨機(jī)變量，且X*i～GBSIIα， β， μ*i， k，i=1，…，n]。

那么當(dāng)[0<k<]1時(shí)，有（[μ1，…，μn]）[?m（μ*1，…， μ*n）?Xn：n≥stX*n：n]。

證明：為了證明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μi）1-kβ-β（x-μi）k][=1-i=1nΦg（x;α，β，μi，k）][=1-i=1n-∞gx;α，β，μi，k12πe-u22du，]

關(guān)于（[μ1，…，μn]）為Schur-凸函數(shù)，其中[gx;α， β， μ，k=1α（x-μ）1-kβ-1（x-μ）kβ]，且關(guān)于[μ]為減函數(shù)。

當(dāng)[x>0]時(shí)，[FXn：nx]關(guān)于[μi，i=1，…，n]的導(dǎo)數(shù)為

[?FXn：nx?μi=1αe-gx;α， β， μi， k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22duhx;α， β， μi， kFXn：nx]

其中[hx;α， β， μ，k=（1-k）（x-μ）-kβ+kβ（x-μ）k+1] ，且關(guān)于[μ]為增函數(shù)。

因此，

[?FXn：nx?μi-?FXn：nx?μj=1αFXn：nx]

[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi，ke-u22duhx;α， β， μi，k-e-gx;α， β， μj，k22-∞gx;α， β， μj，ke-u22duhx;α， β， μj，k]

由引理1.6可知，復(fù)合函數(shù)[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22du]關(guān)于[μ]為增函數(shù)。故有[μi-μj?FXn：nx?μi-?FXn：nx?μj≥0]。

最后，通過引理1.5，可以證明[FXn：nx]關(guān)于（[μ1，…，μn]）為Schur-凸函數(shù)。

3 總結(jié)

本文在基于尺度參數(shù)和位置參數(shù)的向量?jī)?yōu)化條件下，以服從廣義四參數(shù)BS分布的獨(dú)立元件壽命為主體，研究它構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)壽命的普通隨機(jī)序比較。當(dāng)然還有很多的隨機(jī)序，我們正在致力于次序統(tǒng)計(jì)量在其他隨機(jī)序情況下的比較。

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責(zé)任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-04-09

［基金項(xiàng)目］ 安徽省高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視域下技術(shù)軌道識(shí)別方法與應(yīng)用研究”（2023AH040319）；安徽省高校中青年教師培養(yǎng)行動(dòng)學(xué)科（專業(yè)）帶頭人培育項(xiàng)目（DTR2023092）；蕪湖市科技應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目“基于文本挖掘和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的電商數(shù)據(jù)技術(shù)預(yù)測(cè)研究”（2022jc36）；安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院技術(shù)技能創(chuàng)新服務(wù)平臺(tái)2021年應(yīng)用研究項(xiàng)目“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視角下電商平臺(tái)農(nóng)產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)策略研究”（2021ZDG06）

［作者簡(jiǎn)介］ 凌潔（1989- ），女，碩士，安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子商務(wù)學(xué)院講師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)挖掘。