摘 要：應(yīng)用正弦定理和矢量三角形法則的理論分析方法，結(jié)合GeoGebra軟件的數(shù)值模擬與DIS數(shù)字化實驗測定，對三力作用下的共點力動態(tài)平衡問題進(jìn)行直觀可視化解析，拓展了教師的教學(xué)方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)了高中物理與數(shù)學(xué)、信息技術(shù)等學(xué)科的相互融合。

關(guān)鍵詞：動態(tài)平衡；學(xué)科融合；GeoGebra軟件；DIS數(shù)字化

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0081-3

收稿日期：2024-03-21

基金項目：安徽省省級研究生線上、線下混合示范課程項目（2022hhsfkc011）；安徽省省級雙基示范課程項目（2020sjsj1171）； 江蘇省普通高中“知行物理學(xué)科育人課程基地”。

作者簡介：王鵬（1984-），男，中學(xué)高級教師，主要從事物理數(shù)字化實驗教學(xué)與研究。

*通信作者：張季謙（1965-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事理論物理、物理學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)研究。

共點力作用下的動態(tài)平衡問題是高中力學(xué)的重要組成部分，也是高考的重點［1-4］。通過控制部分力，使物體的運動狀態(tài)緩慢地變化或保持勻速直線運動［5-6］。解析此類動態(tài)平衡問題時，數(shù)學(xué)解析、相似三角形、正交分解與三角形矢量合成等是常用的方法［7-10］。本文以2017年理綜全國卷Ⅰ為例，取三個共點力作用下處于動態(tài)平衡狀態(tài)的物體為研究對象，應(yīng)用正弦定理與矢量三角形法則，結(jié)合GeoGebra軟件的模擬值與DIS數(shù)字化實驗的測定值，對這一高考重難點進(jìn)行了有效解析。

1 基于數(shù)理方法解析共點力的動態(tài)平衡

1.1 真題呈現(xiàn)

如圖1所示，一端固定的輕繩OM與MN的連接點處拴一重物，OM豎直且MN被外力拉直，夾角α>π/2。現(xiàn)保持夾角α不變，在豎直平面內(nèi)將重物逆時針向右上方緩慢拉起，直到OM被拉至水平狀態(tài)。緩慢拉起過程中，繩OM和MN上的張力大小和方向會發(fā)生變化，重物的合外力始終為0，處于動態(tài)平衡狀態(tài)。

1.2 作圖法：力學(xué)三角形外接圓

如圖2（a）所示，重物被逆時針緩慢拉起的過程中，力FOM和FMN的合力跟重物的重力G大小相等、方向相反，合外力為0且處于動態(tài)平衡狀態(tài)。這三個共點力可以構(gòu)成一個封閉的矢量三角形+MN+OM=0，且有一個外接圓，如圖2（b）所示。

在力學(xué)三角形中，重力G是恒力，且對角保持不變。在力學(xué)三角形的外接圓中，重力G對應(yīng)的弦保持不變，其所對的圓周角π-α都相等。重物被緩慢拉起的過程中受到的合外力為零，直至OM被拉到水平，其力學(xué)三角形的動態(tài)變化如圖3所示。可以看出，力FOM呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，而力FMN從0逐漸增加至最大值，兩力的最大值均等于外接圓的直徑，即FMAX=G/sinα。

1.3 正弦定理

在如圖4所示的力學(xué)三角形中，由正弦定理可得：==。重物被緩慢拉起時，G和θ3保持不變，θ1逐漸增大到90°，θ2逐漸減小為銳角。因此，F(xiàn)MN隨著sinθ1的增加而逐漸增至最大值G/sinα。同時，F(xiàn)OM的大小隨著sinθ2的變化先增大后減小。

2 基于GeoGebra軟件的數(shù)值模擬分析

重物合外力為0時，F(xiàn)OM、FMN和G滿足余弦定理：G=F+F-2FFcos（π-α），即G=F+F+2FFcosα（α>π/2，且保持不變）。打開GeoGebra軟件，令x=FMN，y=FOM，G=1 N，建立數(shù)值滑動條α（設(shè)置90°<α<180°，增量為10°），在輸入框中輸入方程x2+y2+2xycosα=1/（x>0），軟件會自動精確繪制其圖像，如圖5所示?？梢钥闯?，力FMN存在最大值G/sinα。力FOM隨著力FMN的增加先增大后減小，具有極大值。

如圖6（a）（b）（c）所示，取α=150°為例，相同大小的FMN對應(yīng)2個不同數(shù)值的FOM，對應(yīng)圖5（d）中的FOM-FMN變換關(guān)系。在圖6（d）中，當(dāng)FMN增加到最大值G/sinα?xí)r，OM從豎直被拉至水平，F(xiàn)OM具有唯一值，與圖5（d）中FMN的極大值對應(yīng)。

3 基于DIS的實測數(shù)據(jù)分析

利用圖7所示的DISLab裝置，將兩個力學(xué)傳感器分別接入數(shù)據(jù)采集器，并固定在實驗器掛臂上，傳感器測鉤指向?qū)嶒炂髁乇P的圓心。逆時針緩慢轉(zhuǎn)動兩個力學(xué)傳感器，保持其夾角α=120°，記錄傳感器每次轉(zhuǎn)動時的拉力值，如表1所示。

在Excel工作表中輸入并選中表1的實驗數(shù)據(jù)（FMN，F(xiàn)OM），點擊菜單“插入—圖表—散點圖”，軟件就會自動畫出數(shù)據(jù)的散點圖。選定散點圖，右鍵選擇“添加趨勢線”，選定“多項式、顯示公式與顯示R的平方值”三項，就會得到實測數(shù)據(jù)的非線性擬合圖，如圖8所示?？梢钥闯?，重物被緩慢拉起的過程中，隨著FMN的增大，F(xiàn)OM先增后減。

4 結(jié) 語

共點力的動態(tài)平衡問題是高中力學(xué)教學(xué)的重點與難點，也是力學(xué)體系研究方法與解題思路的綜合呈現(xiàn)。本文結(jié)合GeoGebra軟件與DIS數(shù)字化實驗，對該問題進(jìn)行了有效解析，促進(jìn)了STEM理念與高中物理教學(xué)的有效結(jié)合。

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（欄目編輯 賈偉堯）