摘要：通過建模將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)知識解決問題，用模型解釋現(xiàn)實生活中與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的現(xiàn)象與規(guī)律.本文中以“三角函數(shù)的應(yīng)用”為例，詳細(xì)分析了數(shù)學(xué)建模的過程，旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；高中數(shù)學(xué)；建模素養(yǎng)；培養(yǎng)案例

新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越受到重視.本文中以“三角函數(shù)模型簡單應(yīng)用”的一個實際教學(xué)案例為例，展示如何引導(dǎo)學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

1 呈現(xiàn)實際情境，激發(fā)建模意識

在“三角函數(shù)的應(yīng)用”這一課教學(xué)中，課程目標(biāo)要求學(xué)生能夠運用已知的三角函數(shù)模型解決實際問題，可以將具體周期變化規(guī)律的實際問題抽象為三角函數(shù)模型，并使用三角函數(shù)模型解決一些實際問題[1].學(xué)生通過選擇問題、構(gòu)建及求解數(shù)學(xué)模型，再到實際問題的解決，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模全過程，綜合考慮了實際問題特點和函數(shù)模型間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，充分感受到三角函數(shù)在日常生活中普遍存在，更加深刻地認(rèn)識到三角函數(shù)在生活中的功能性，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用意識的提升.整堂課涉及到的知識點較多，如果僅僅依賴課堂枯燥乏味的講解，學(xué)生很難掌握重難點，建模意識的激發(fā)更是無從談起.針對此種情況，筆者認(rèn)為可以通過問題情境的創(chuàng)設(shè)、三角函數(shù)知識點清晰呈現(xiàn)，以及一系列問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生思考，逐漸形成建模意識.通過精心設(shè)計“三角函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)各個環(huán)節(jié)，筆者結(jié)合學(xué)情給出了以下問題：

在日月引力的影響下，海水會出現(xiàn)漲落現(xiàn)象，這一現(xiàn)象被稱之為潮，早潮叫作潮，而晚潮則稱為汐.通常情況下船只會在漲潮的時候駛?cè)牒降?，向碼頭靠近；將貨物卸完以后，又會在落潮的時候快速返回海洋.某港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深見表1.

根據(jù)表1分析以下問題：

（1）選擇一個函數(shù)近似描述此港口水深和時間函數(shù)間的關(guān)聯(lián)性，同時求出整點時間水深近似值（精確到0.1 m）.

（2）如果某船吃水深度是4 m，安間間隙是1.5 m，2：00卸貨，吃水深度減少的速度是0.3 m/h，此時船何時能進(jìn)入港口？何時必須要停止卸貨，駛向深水域？

通過以上問題情境的呈現(xiàn)，以此為主線進(jìn)行探究，層層遞進(jìn)，其中問題（1）引導(dǎo)學(xué)生初步感受現(xiàn)實生活中呈周期變化的三角函數(shù)問題，運用三角函數(shù)模型求解實際問題；問題（2）則鼓勵學(xué)生在自主分析實際問題的同時，構(gòu)建三角函數(shù)模型，并解決實際問題，加深對三角函數(shù)與實際生活的關(guān)聯(lián)體驗，掌握數(shù)學(xué)建模的完整步驟與方法.學(xué)生在體會數(shù)學(xué)思想的過程中，建模意識逐漸增強，數(shù)學(xué)素養(yǎng)有所提升.

2 正確理解實際問題，建立數(shù)學(xué)模型

2.1 小組合作，獲得水深與時間關(guān)系函數(shù)模型

在探討問題（1）時，筆者認(rèn)為可以先要求學(xué)生仔細(xì)觀察表1中數(shù)據(jù)的變化，從中獲取相應(yīng)信息，鼓勵小組間進(jìn)行合作探討，然后由代表發(fā)言.在各小組深入討論以后，有的小組得出以下結(jié)果：水深最大值7.5 m，最小值2.5 m.也有的小組得出結(jié)果：水的深度由5.0 m增加至7.5 m以后慢慢開始減少，直至減少到2.5 m，又開始變深，增加至7.5 m以后，開始減少.最后教師總結(jié)，水深變化呈現(xiàn)一種周期性規(guī)律.為了能夠使學(xué)生更加清晰地看到數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，筆者認(rèn)為可以給予學(xué)生更多主動權(quán)，積極開展動手活動，鼓勵學(xué)生通過作圖的形式將這種變化呈現(xiàn)出來，以更加直觀明了地看到周期性變化規(guī)律.在此基礎(chǔ)之上，還可進(jìn)一步總結(jié)作圖結(jié)果，提出更加深入的問題：“與之前學(xué)過的哪個函數(shù)類型類似？”緊接著提問：“為什么與正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）類似（采用的是排除法，關(guān)注的是周期性）.新舊知識相結(jié)合，讓學(xué)生求解.學(xué)生選用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0）描述水深與時間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合表1的信息求出A=2.5，h=5，T=12，φ=0，ω=π6，所以

y=2.5sinπx6+5.

得出刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型后，為保證選擇的函數(shù)更加精準(zhǔn)，筆者認(rèn)為鼓勵學(xué)生進(jìn)行檢驗也是非常有必要的.此時可提出建模過程——選模、求模、驗?zāi)?、?yīng)用，在此模型基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生以小組為單位探討：“通過此模型大致可以知道水深與時間關(guān)系的哪些情況？”學(xué)生思考與探討以后做出如下回答：如周期、單調(diào)性、每時每刻的水深.在學(xué)生將幾個值計算出來后，教師展示水深與整點時間數(shù)值表.整個過程突出小組間的合作與探討，利于幫助學(xué)生獲取更多的知識點，準(zhǔn)確獲取水深與時間關(guān)系函數(shù)模型[2].

2.2 強化跨學(xué)科建模思想，培養(yǎng)創(chuàng)造遷移能力

新課標(biāo)要求重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，促進(jìn)思維品質(zhì)以及數(shù)學(xué)能力的提升.在數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透建模思想，對于學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)非常有利[3].

筆者認(rèn)為在講解貨船安全深度未變這一知識點時，可以進(jìn)一步呈現(xiàn)貨船載滿貨物進(jìn)入港口這一內(nèi)容，并與物理學(xué)科知識點有效結(jié)合提出問題：卸貨時船身逐漸減輕，船身上浮，同時吃水深度均發(fā)生變化，此時如何選擇進(jìn)出港時間？此問題提出以后，引導(dǎo)學(xué)生探究問題（2）.學(xué)生在經(jīng)過討論后得出：實際水深≥安全水深，即

2.5sinπx6+5≥5.5－0.3（x－2）.

在探討以后選擇運用幾何法求解，并利用幾何畫板作圖進(jìn)行呈現(xiàn)，如圖1所示.學(xué)生借助圖象便可直觀看到：即將到達(dá)p時刻時，貨船需要停止卸貨，向深水區(qū)駛?cè)?，如何求解點P的坐標(biāo)呢？學(xué)生思考、討論求出點P的橫坐標(biāo).

或采用數(shù)形結(jié)合法、二分法求得近似解.根據(jù)圖形可獲得點P的橫坐標(biāo)在區(qū)間［6，7］內(nèi)，因此僅需將6：00，6：30，7：00這3個時間點安全水深和實際水深值（見表2）計算出來，就可以解答問題.

結(jié)合以上分析，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，筆者提出問題“若時間控制不合理，貨船便會發(fā)生未卸完貨就要暫時離港，待水位上漲以后方能駛回繼續(xù)卸貨的情況，無形之中浪費了人力、財力”，鼓勵學(xué)生探討如何解決此問題.學(xué)生得出結(jié)論：卸貨時間加快，換言之加快安全深度降低的速度.建模的時候通過數(shù)學(xué)語言構(gòu)建了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的關(guān)系，突破了三角函數(shù)的重難點，使學(xué)生站在物理視角解決數(shù)學(xué)問題，同時基于數(shù)學(xué)視角了解物理知識，促進(jìn)了創(chuàng)新遷移能力的提升.而拓展性問題的提出，給予了學(xué)生更多想象的空間，基于現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型，結(jié)合所學(xué)三角函數(shù)知識，根據(jù)生活經(jīng)驗解決現(xiàn)實生活中的實際問題，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造與遷移.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中涉及到的各知識點具有較強的邏輯性、實踐性[4]，要想使學(xué)生全面且系統(tǒng)化地掌握這些知識點，筆者認(rèn)為這就需要在講解基礎(chǔ)知識的同時，借助數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展，給予學(xué)生正確引導(dǎo)，通過數(shù)學(xué)建模思想快速解決問題，在促進(jìn)學(xué)生建模意識形成的過程中，便可以系統(tǒng)化梳理知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).這樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果會更加理想.

參考文獻(xiàn)：

[1]李佳香.新課程新教材對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的啟發(fā)[J].數(shù)理天地：高中版，2023（17）：59-61.

[2]馬利雅.談新課標(biāo)下高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略[J].中文科技期刊數(shù)據(jù)庫（引文版）教育科學(xué)，2023（5）：185-189.

[3]彭介顧.新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（17）：125-127.

[4]袁慧春.新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培育學(xué)生建模意識的方法[J].天津教育，2023（11）：104-106.