1 題目呈現(xiàn)

（2020全國(guó)卷）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線l：x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

2 題目剖析

第（1）問(wèn)直接運(yùn)用題目條件可求出E的方程：

由橢圓方程E：x2a2+y2=1（a>1），可得A（－a，0），B（a，0），G（0，1），則

AG=（a，1），GB=（a，－1）.

所以AG·GB=a2－1=8，得a2=9.

故橢圓E方程為x29+y2=1.

第（2）問(wèn)，證明直線過(guò)定點(diǎn)可用如下方法：

（?。┞?lián)立直線與圓錐曲線方程，利用直接法算出直線CD方程，找出定點(diǎn)；也可以先設(shè)出直線CD方程，再根據(jù)題目條件算出定點(diǎn).

（ⅱ）圓曲不聯(lián)立，證明直線過(guò)定點(diǎn).

3 第（2）問(wèn)的探究

3.1 思維角度1：聯(lián)立之直接法

如圖1，設(shè)出點(diǎn)P，寫出直線AP和BP方程，分別與橢圓聯(lián)立求出點(diǎn)C，D，然后寫出直線CD，從而計(jì)算出直線CD過(guò)定點(diǎn).由于此方法比較常規(guī)，證明過(guò)程只作簡(jiǎn)要說(shuō)明.

簡(jiǎn)證：設(shè)P（6，y0），則AP：y=y09（x+3）.聯(lián)立直線AP與橢圓的方程，由（－3）·x=9y20－81y20+9，可得

x=－3y20+27y20+9，將其代入直線AP的方程中，可得y=6y0y20+9，所以點(diǎn)C－3y20+27y20+9，6y0y20+9.

同理，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為3y20－3y20+1，－2y0y20+1.

所以當(dāng)y20≠3時(shí)，可知

CD：y=4y03（3－y20）x－32，

則直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

當(dāng)y20=3時(shí)，直線CD方程為x=32.

綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

3.2 思維角度2：聯(lián)立之韋達(dá)定理法

設(shè)出直線CD方程，然后根據(jù)題目條件計(jì)算出直線CD過(guò)定點(diǎn).此思路消參過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)x1y2和x2y1，直接運(yùn)用韋達(dá)定理消參比較困難，可利用橢圓相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化直線斜率的表達(dá)式，最終利用韋達(dá)定理消參.

證明：設(shè)直線CD的方程為x=my+n，C（x1，y1），D（x2，y2）.聯(lián)立直線CD和橢圓E的方程，可以得到（9+m2）y2+2mny+n2－9=0，則

y1+y2=－2mn9+m2，y1y2=n2－99+m2.

直線AP方程為y=y1x1+3（x+3），直線BP方程為y=y2x2－3（x－3）.

由橢圓的性質(zhì)可得kAD·kBP=-b2a2，即y2x2－3=-x2+39y2，則直線BP方程為y=-x2+39y2（x-3）.聯(lián)立直線AP和直線BP，得y1x1+3（x+3）=x2+3－9y2（x－3）.

由x=6，可得-27y1y2=（3+x1）（3+x2），即

（27+m2）y1y2+m（n+3）（y1+y2）+（n+3）2=0.

整理，得（27+m2）（n2－9）－2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0，解

得n=32.

故直線CD的方程為x=my+32，直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

3.3 思維角度3：圓曲不聯(lián)立之對(duì)偶式法

對(duì)于出現(xiàn)x1y2和x2y1不好直接運(yùn)用韋達(dá)定理消參的題型，除思維角度2的方法外，通常還可以利用橢圓方程構(gòu)造關(guān)于x1y2，x2y1的對(duì)偶式，通過(guò)圓曲不聯(lián)立消參.

證明：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），CD過(guò)x軸上的點(diǎn)Q（n，0）.

由C，D，Q三點(diǎn)共線，可得y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.①

由已知條件易得x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=（9－9y21）y22－（9－9y22）y21x1y2－x2y1=9y22－9y21n（y2－y1）=9（y2+y1）n，再結(jié)合①可得

x1y2=129n+ny2+129n－ny1，②

x2y1=129n－ny2+129n+ny1.③

設(shè)P（6，y0），由A，C，P三點(diǎn)共線和B，D，P三點(diǎn)共線，可得

y1x1+3=y09，y2x2－3=y03，則y2x2－3=3y1x1+3.

整理，得x1y2+3y2=3x2y1－9y1.

將②和③代入，可得129n+ny2+129n－ny1+3y2=329n－ny2+329n+ny1－9y1，化簡(jiǎn)得

（4n2+6n－18）y2=（4n2－18n+18）y1.

所以4n2+6n－18=0，4n2－18n+18=0，解得n=32.

故直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

其實(shí)，利用思維角度3的方法深入研究，可以得到結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P所在直線l的方程為x=m，橢圓E方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）時(shí)，直線CD所過(guò)定點(diǎn)與直線l恰好是極點(diǎn)與極線的關(guān)系.

證明：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD交x軸于點(diǎn)Q（n，0），n≠±a.

由C，D，Q三點(diǎn)共線，可得

y1x1－n=y2x2－n，即

x1y2－x2y1=n（y2－y1）.④

又容易得到x1y2+x2y1=x21y22－x22y21x1y2－x2y1=a2－a2b2y21y22－a2－a2b2y22y21x1y2－x2y1=a2y22－a2y21n（y2－y1）=a2（y2+y1）n，再結(jié)合④式可得

x1y2=12a2n+ny2+12a2n－ny1，⑤

x2y1=12a2n－ny2+12a2n+ny1.⑥

設(shè)P（m，y0），由A，C，P三點(diǎn)共線和B，D，P三點(diǎn)共線，得

y1x1+a=y0m+a，y2x2－a=y0m－a.

所以y2x2－a=m+am－a＼5y1x1+a，即

（m－a）x1y2+a（m－a）y2=（m+a）x2y1－a（m+a）y1.

將⑤⑥代入，整理得［mn2+a（m－a）n－a3］y2=［mn2－a（m+a）n+a3］y1.

所以mn2+a（m－a）n－a3=0，mn2－a（m+a）n+a3=0，即

（mn－a2）（n+a）=0，（mn－a2）（n－a）=0.

解得mn=a2，則m=a2n.

而由橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）可得點(diǎn)Q（n，0）所對(duì)應(yīng)的極線為xQxa2+yQyb2=1，即n·xa2+0·yb2=1，所以x=a2n=m，這正是直線l的方程.

所以，直線CD所過(guò)定點(diǎn)與點(diǎn)P所在直線l恰好是極點(diǎn)與極線的關(guān)系.

這也說(shuō)明，這道高考題的第（2）問(wèn)本質(zhì)是一個(gè)橢圓的極點(diǎn)與極線問(wèn)題.當(dāng)x=m給定時(shí)，由nm=a2，可得n=a2m，即直線CD恒過(guò)定點(diǎn)Qa2m，0.

3.4 思維角度4：圓曲不聯(lián)立之曲線系法

由A，B，C，D四點(diǎn)中寫出曲線系方程和橢圓對(duì)比，從而算出定點(diǎn).

證明：設(shè)P（6，y0），直線CD方程為x=my+n.因?yàn)橹本€AC方程為y=y09（x+3），直線BD方程為y=y03（x-3），直線AB方程為y=0，

所以，過(guò)A，B，C，D的曲線系可設(shè)為（y0x-9y+3y0）＼5

（y0x-3y－3y0）+λy（x－my－n）=0.與橢圓x2+9y2－9=0對(duì)比系數(shù)，得

－12y0+λ=0，18y0－nλ=0，解得n=32.

故直線CD的方程為x=my+32.

所以直線CD過(guò)定點(diǎn)32，0.

思維角度3和思維角度4提供的方法，不僅適用于橢圓，也適用于其他圓錐曲線，尤其在證明有關(guān)圓錐曲線的極點(diǎn)極線問(wèn)題[1-2]上非常有優(yōu)勢(shì).

4 總結(jié)

本題主要考查了橢圓性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于偏難題，其中證明直線過(guò)定點(diǎn)是難點(diǎn)，本文中給出了四種思路.直接設(shè)點(diǎn)求出相關(guān)直線，然后與橢圓方程聯(lián)立，求出所求直線的方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)；另一個(gè)方法是設(shè)出所求直線，利用韋達(dá)定理算出定點(diǎn).這兩種方法屬于常規(guī)方法，易于掌握.本文中還提供了另外兩種方法，一種是利用橢圓方程構(gòu)造對(duì)偶式，通過(guò)圓曲不聯(lián)立消參，巧妙地優(yōu)化了計(jì)算；另一種是靈活運(yùn)用二次曲線系方程表示含有公共交點(diǎn)的圓錐曲線，可以快速解答四點(diǎn)共圓、定值定點(diǎn)問(wèn)題，以及有關(guān)斜率問(wèn)題.在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)多給學(xué)生總結(jié)一些解題規(guī)律，讓學(xué)生見(jiàn)到更多的解題方法，開(kāi)闊思路，提升解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]王慧興.強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考系列講座（15）——圓錐曲線的極點(diǎn)、極線基本理論與應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2023（7）：18-23.

[2]沈海英，王樹(shù)文.圓錐曲線的極點(diǎn)與極線——2020高考北京卷解析試題背景探究[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（5）：41-42.