摘要：函數(shù)奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是歷年高考數(shù)學(xué)中的一大基本考點(diǎn)，經(jīng)常以小題（選擇題或填空題）形式出現(xiàn)，難度適中，變化多端.結(jié)合2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第4題，以含參的復(fù)雜函數(shù)的奇偶性來確定參數(shù)值，歸納剖析解題技巧與方法，鏈接高考，變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；奇偶性；參數(shù)；定義；性質(zhì)

函數(shù)奇偶性是歷年高考數(shù)學(xué)中對(duì)函數(shù)模塊知識(shí)的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，常考常新，變化多端.下面結(jié)合一道2023年高考數(shù)學(xué)真題，就含參復(fù)雜函數(shù)的奇偶性應(yīng)用，通過不同思維視角與技巧方法來展開，歸納總結(jié)解題技巧與策略，拋磚引玉，以方便全面系統(tǒng)教學(xué)與學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)提供此許幫助.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·4）若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則a=（）.

A.－1

B.0

C.12

D.1

此題以含參的復(fù)雜函數(shù)的奇偶性為問題場景，借此來確定并求解相應(yīng)的參數(shù)值.題目簡單明了，難度也相對(duì)簡單.

解決具有奇偶性的含參復(fù)雜函數(shù)的參數(shù)值問題，定義是根本，特殊值是應(yīng)用，性質(zhì)是提升，驗(yàn)證排除是技巧，從不同思維視角切入，合理展開不同的解題過程與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)參數(shù)值的求解.

2 真題破解

方法1：定義法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x<－12，或x>12，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)的任意自變量x都有f（x）=f（－x），即

（x+a）ln 2x－12x+1=（－x+a）ln －2x－1－2x+1.

而（－x+a）ln －2x－1－2x+1=（－x+a）ln 2x+12x－1=（x－a）ln 2x－12x+1，

則x+a=x－a恒成立，即a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：利用函數(shù)奇偶性的定義是解決與相關(guān)函數(shù)的奇偶性有關(guān)的綜合應(yīng)用問題最為重要的技巧與方法之一.對(duì)于具有奇偶性的函數(shù)，其定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的，這也是解決與函數(shù)奇偶性有關(guān)的綜合應(yīng)用問題的基礎(chǔ)與前提.利用定義法解決此類與函數(shù)奇偶性有關(guān)的綜合應(yīng)用問題時(shí)，要注意對(duì)比相關(guān)的解析式、系數(shù)、參數(shù)、函數(shù)值等之間的關(guān)系.

方法2：特殊值法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x<－12，或x>12，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，取特殊值，可知f（1）=f（－1），即

（1+a）ln 13=（－1+a）ln 3.

整理為－（1+a）ln 3=（－1+a）ln 3.

于是－（1+a）=－1+a恒成立，解得a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：對(duì)于具有奇偶性的函數(shù)，其在定義域內(nèi)的任意一組關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的自變量的值都必須滿足對(duì)應(yīng)的關(guān)系，偶函數(shù)滿足f（x）=f（－x），奇函數(shù)滿足f（x）=－f（－x），這為利用特殊值法處理問題提供了條件.從特殊思維入手，以特殊情況下滿足的條件回歸到一般情況中去，實(shí)現(xiàn)特殊到一般的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，符合辯證唯物主義思想，是解決一些相關(guān)問題中經(jīng)常用到的一種思維方式.

方法3：性質(zhì)法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x<－12，或x>12，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

設(shè)函數(shù)g（x）=ln 2x－12x+1，易知函數(shù)g（x）是奇函數(shù).

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，利用性質(zhì)可知函數(shù)y=x+a為奇函數(shù)，

可得a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：根據(jù)兩個(gè)及以上具有相應(yīng)奇偶性的簡單函數(shù)之間的加、減、乘、除等運(yùn)算，構(gòu)建復(fù)雜函數(shù)所具有的奇偶性性質(zhì)，可以非常巧妙地處理一些與函數(shù)奇偶性有關(guān)的綜合應(yīng)用問題.這里借助性質(zhì)法，利用“兩個(gè)奇函數(shù)（或兩個(gè)偶函數(shù)，或一個(gè)奇函數(shù)一個(gè)偶函數(shù)）的乘積函數(shù)為偶函數(shù)（或偶函數(shù)，或奇函數(shù)）”的性質(zhì)，可以簡單快捷地處理與之相關(guān)的應(yīng)用問題.

方法4：驗(yàn)證排除法.

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a=－1時(shí)，f（x）=（x－1）＼5ln 2x－12x+1，此時(shí)f（1）=0，f（－1）≠0，不滿足f（x）為偶函數(shù)時(shí)有f（1）=f（－1）成立，排除該選項(xiàng).

同理，可以排除選項(xiàng)D.

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a=12時(shí)，f（x）=x+12＼5ln 2x－12x+1，此時(shí)f（1）=32ln 13=－32ln 3，f（－1）=－12ln 3，也不滿足f（x）為偶函數(shù)時(shí)有f（1）=f（－1）成立，排除該選項(xiàng).

故選擇答案：D.

解后反思：在解決一些涉及含參的定義、定理、公式等的相關(guān)問題時(shí)，經(jīng)?？梢詫⑦x項(xiàng)中各參數(shù)值代入題目條件中進(jìn)行驗(yàn)證，排除不滿足條件的選項(xiàng)，直至結(jié)果出現(xiàn).驗(yàn)證排除法是逆向思維的一種方式，也是推理應(yīng)用中比較常用的一種技巧方法，借助選項(xiàng)中結(jié)論的給出，代回題目條件加以驗(yàn)證，從而得以確定準(zhǔn)確答案.

3 鏈接高考

涉及含參偶函數(shù)的參數(shù)求值問題，還出現(xiàn)在2023年其他高考數(shù)學(xué)試卷中，以不同的方式來展示與應(yīng)用.

真題1（2023年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理13文14）若y=（x－1）2+ax+sinx+π2為偶函數(shù)，則a=.

解析：依題知函數(shù)y=f（x）=（x－1）2+ax+sinx+π2=x2－2x+ax+1+cos x，其定義域?yàn)镽.

若f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義，

可知

f（－x）=x2+2x－ax+1+cos x=f（x）=x2－2x+ax+1+cos x.

對(duì)比系數(shù)可知2－a=－2+a，解得a=2.

故填答案：2.

真題2（2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理4文5）已知f（x）=xexeax－1是偶函數(shù)，則a=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

解析：依題知f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義，

可知f（－x）=－xe－xe－ax－1=－xex1eax－1=－xeax－x1－eax=xeax－xeax－1=f（x）=xexeax－1.

對(duì)比系數(shù)可知a－1=1，解得a=2.故選擇：D.

當(dāng)然，以上兩個(gè)高考真題也可以利用定義法、特殊值法以及性質(zhì)法（或驗(yàn)證排除法）中相關(guān)的技巧與方法來處理，這里不多加展開.

4 變式拓展

基于問題場景，深入探究與應(yīng)用，綜合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的大小比較來合理變式與創(chuàng)設(shè)，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題.

變式若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則（）.（答案：B）

A.f（－1）>f（2）>f（3）

B.f（3）>f（2）>f（－1）

C.f（－1）>f（3）>f（2）

D.f（2）>f（－1）>f（3）

5 教學(xué)啟示

作為高考數(shù)學(xué)中的必考知識(shí)點(diǎn)之一，函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，合理聯(lián)系起函數(shù)模塊的知識(shí)體系與數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了函數(shù)中“數(shù)”與“形”之間的和諧統(tǒng)一，是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)研究的一大有力工具.

熟練掌握并應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)等來分析與解決問題，能全面提升對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的融會(huì)貫通，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng).