在許多數(shù)學問題中，常用到兩個基本量α，β的“線性組合”模型，即λα+μβ（λ、μ為實常數(shù)）的形式.應(yīng)用“線性組合”模型，可以將目標量與已知量相關(guān)聯(lián)，用聯(lián)系地觀點看待問題，從而將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化到已知條件上來求解.本文舉例說明“線性組合”模型在解題中的應(yīng)用.

1.求解函數(shù)問題

例1 若二次函數(shù)y=f（x）的圖象過原點，且3≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，則f（-2）的取值范圍為 .

解析：設(shè)f（x）=ax2+bx（a≠0），由已知得3≤f（1）=a+b≤4，1≤f（-1）=a-b≤2.

又f（-2），=4a-2b，設(shè)存在實數(shù)λ、μ，使得f（-2）=λf（1）+μf（-1），即4a-2b=λ（a+b）+μ（a+b）=（λ+μ）a+（λ-μ）b，所以λ+μ=4，λ-μ=-2，解得λ=1，μ=3.所以f（-2）=4a-2b=（a+b）+3（a-b）.因為1≤a-b≤2，所以3≤3（a-b）≤6.又3≤a+b≤4，所以6≤（a+b）+3（a-b）≤10，即6≤f（-2）≤10.故f（-2）的取值范圍為6，10.

點評：在本題中，f（-2）的范圍與f（-1），f（1）的范圍是相互聯(lián)系和制約的，這里利用f（1）和f（-1）的線性組合表示f（-2），可以避免 “在多次運用不等式的性質(zhì)時，其等號成立的條件不同，造成積累誤差，結(jié)果使取值范圍擴大”的錯誤，使問題得以正確求解.

例2 已知3π4<α-β2<π，π4<α2-β<π2，且cos（α-β2）=-513，sin（α2-β）=45，求cos3β2的值.

解析：設(shè)3β2=λ（α-β2）+μ（α2-β）=（λ+μ2）α+（-λ2-μ）β，則對應(yīng)系數(shù)等λ=1，μ=-2.所以cos3β2=cos（a-β2）-2（a2-β）=cos（α-β2）cos2（α2-β）+sin（a-β2）·sin2（α2-β）.因為cos（α-β2）=-513，3π4<a-β2<π，所以sin（α-β2）=1213.因為sin（α2-β）=45，π4<α2-β<π2，所以cos（α2-β）=35，所以cos2（α2-β）=1-2sin2（α2-β）=-725，sin2（α2-β）=2sin（α2-β）cos（α2-β）=2425，所以cos3β2=cos（α-β2）-2（α-β2）=323325.

點評：變角是重要的三角恒等變換，這里將結(jié)論中的角表示為條件中的角的線性組合來求解，方法明確，可操作性強，是溝通已知與結(jié)論的重要手段.

例3 （2021屆T8第一次聯(lián)考5）已知△ABC中，AB=1，AC=3，cosA=14，點EE在直線BC上，且滿足BE=2AB+λAC（λ∈R），則AE （ ）.

A．34 B．36 C．3 D．6

解析：由BE=2AB+λAC，可得AE－AB=2AB+λAC，即AE=3AB+λAC.

由點E在直線BC上，所以BE=xBC，所以AE－AB=xAC－AB.

所以AE=xAC+1－xAB.又AE=3AB+λAC，所以λ=x，

1－x=3， 則λ=－2. 所以AE=3AB－2AC，則AE2=3AB－2AC2=9AB2+4AC2－12AB·AC=36，所以AE=6.故選D.

點評：根據(jù)平面向量的基本定理，可以將平面內(nèi)的任一向量表示為平面向量的一組基底的線性組合，這是求解向量問題常運用的解題意識.本題就是以AB，AC為基底進行轉(zhuǎn)化求解的.

例4 （2021屆八省新高考聯(lián)考17）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足an+2=2an+1+3an.（1）證明：數(shù)列an+an+1為等比數(shù)列；（2）若a1=12，a2=32，求an的通項公式.

解析：將an+2=2an+1+3an的兩邊同時減去λan+1，得an+2-λan+1=（2-λ）an+1+3an，即an+2-λan+1=（2-λ）（an+1+32-λan）.令-λ=32-λ，得λ2-2λ-3=0，解得λ=-1，或λ=3.

（1）當λ=-1，有an+2+an+1=3（an+1+an），所以數(shù)列an+an+1是以a1+a2為首項，3為公比的等比數(shù)列.

（2）因為a1=12，a2=32，所以a1+a2=2.由（1）可知若λ=-1，則an+an+1=（a1+a 2）·3n-1=2·3n-1①.又若λ=3，則an+2-3an+1=-（an+1-3an），所以數(shù)列an+1-3an是以a2-3a1為首項，-1為公比的等比數(shù)列.所以an+1-3an=（a2-3a1）·（-1）n-1.而由a1=12，a2=32，得a2-3a1=0，所以an+1-3an=0②.故由①②，得4an=2·3n-1，所以an=12·3n-1.

點評：數(shù)列“項”之間的線性組合，即數(shù)列的遞推關(guān)系式，往往利用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)后，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求解.

例5 已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，當-1≤x≤1時，f（x）≤1，證明：當-1≤x≤1時，g（x）≤2.

證明：由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-bx+c，f（0）=c，得a=f（1）+f（-1）-2f（0）2，b=f（1）-f（-1）2，c=f（0），代入g（x）的表達式中，得g（x）=x+12f（1）+x-12f（-1）-xf（0）.因為當-1≤x≤1時，f（x）≤1，所以有g(shù)（x）=x+12f（1）+x-12f（-1）-xf（0）≤x+12f（1）+x-12f（-1）+xf（0）≤x+22+x-12+x=x+12+1-x2+x=1+x≤2.故當-1≤x≤1時，g（x）≤2.

點評：本題求解的關(guān)鍵是把a、b、c分別表示為f（1）、f（-1）、f（0）的線性組合，然后利用絕對值不等式的知識進行“放縮”證明的.