摘要： 針對(duì)大規(guī)模陣列對(duì)樣本需求量大、計(jì)算復(fù)雜度高的問題，提出一種應(yīng)用于大規(guī)模陣列的Kronecker自適應(yīng)穩(wěn)健波束形成器。首先，將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量分解成兩個(gè)導(dǎo)向矢量的Kronecker乘積，將原始導(dǎo)向矢量的失配問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的失配問題;然后，基于最壞情況性能最優(yōu)原理建立雙二次代價(jià)函數(shù)，并利用雙迭代算法求解該代價(jià)函數(shù)，每次迭代過程只需求解兩個(gè)低維的二階錐規(guī)劃問題。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)全維穩(wěn)健算法相比，所提方法能夠有效降低計(jì)算復(fù)雜度和樣本需求量，與現(xiàn)有的降維穩(wěn)健算法相比，由于具有更多自由度，所提方法具有更高的輸出信干噪比。

關(guān)鍵詞： 大規(guī)模陣列; Kronecker積; 降維穩(wěn)健波束形成器; 雙迭代算法; 二階錐規(guī)劃

中圖分類號(hào)： TN 953

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.03

Kronecker robust adaptive beamformer for large array

WANG Dewu^1，2， YU Hongbo^2，*， YUAN Yaohui²， LIAO Shengnan²， CHEN Yan²

（1. School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 2. Beijing Institute of Radio Measurement， Beijing 100854， China）

Abstract： To solve the problems of the requirement of a large number of samples and high computational complexity for large array， a Kronecker robust adaptive beamformer is proposed in this paper. Firstly， the steering vector of the desired signal is decomposed into the Kronecker product of two low-dimension steering vectors， and the original steering vector mismatch problem is transformed into the corresponding two low-dimension steering vectors mismatch problem. Secondly， the bi-quadratic cost function is established based on the worst-case performance optimization principle， which is then solved by using the bi-iterative algorithm （BIA）. Only two low-dimension second-order cone programming （SOCP） problems need to be solved in per iteration. Theoretic analysis and simulations results show that compared with the conventional full-dimension robust algorithms， the samples required and computational complexity are reduced efficiently in the proposed approach. In addition， the higher output signal to interference plus noise ratio （SINR） is obtained for the higher degrees of freedom （DoFs） compared with the existing reduced-dimension robust algorithms.

Keywords： large array; Kronecker product; reduced-dimension robust beamformer; bi-iterative algorithm （BIA）; second-order cone programming （SOCP）

0 引 言

目前，自適應(yīng)波束形成技術(shù)被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、無線通信、語音處理、醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域。通常自適應(yīng)波束形成技術(shù)的目標(biāo)是最大化輸出信干噪比（signal to interference plus noise ratio， SINR），以利于后續(xù)的目標(biāo)檢測與識(shí)別。常用的最大化輸出SINR的方法是在最小化陣列輸出功率的同時(shí)對(duì)期望信號(hào)進(jìn)行約束，以保證期望信號(hào)不損失，相應(yīng)的波束形成器稱為最小方差無畸變響應(yīng)（minimum variance distortionless response， MVDR）波束形成器。理論上，MVDR波束形成器性能可以達(dá)到最優(yōu)^［1］，但是在實(shí)際應(yīng)用中，通常由采樣數(shù)據(jù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣（相應(yīng)的方法被稱為采樣矩陣求逆（sample matrix inverse， SMI）算法）與真實(shí)的協(xié)方差矩陣之間偏差較大，且由于陣元幅相誤差的存在，假定的導(dǎo)向矢量與真實(shí)的導(dǎo)向矢量之間存在失配，這些都會(huì)嚴(yán)重影響MVDR波束形成器的性能^［2-30］。

近些年來，人們研究了穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成（robust adaptive beamforming， RAB）方法，以提高M(jìn)VDR波束形成器在實(shí)際應(yīng)用中的性能^{［2-15，17-30］}。文獻(xiàn)［2，12］提出了經(jīng)典的Worst-Case RAB方法及其擴(kuò)展模型。文獻(xiàn)［3］提出基于不確定集估計(jì)導(dǎo)向矢量的方法，且在文章中指出所提方法在一定條件下與Worst-Case方法等價(jià)。接著，文獻(xiàn)［4］提出了基于概率約束的RAB方法，該方法認(rèn)為文獻(xiàn)［2］中最壞情況以一定的概率出現(xiàn)。文獻(xiàn)［5］提出一種利用序列二次規(guī)劃（sequential quadratic programming， SQP）進(jìn)行迭代求解的穩(wěn)健波束形成器，文獻(xiàn)［6］在SQP方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于半正定松弛（semi-definite relaxation， SDR）的穩(wěn)健波束形成器，SDR方法通過改變對(duì)待估計(jì)導(dǎo)向矢量的約束避免了SQP方法需要進(jìn)行的序列迭代過程，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。文獻(xiàn)［7］將SQP方法做了進(jìn)一步改進(jìn)，將導(dǎo)向矢量估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸二次約束二次規(guī)劃（quadratically constrained quadratic programming， QCQP）問題。文獻(xiàn)［8-9］進(jìn)一步研究了利用陣列幾何結(jié)構(gòu)少部分先驗(yàn)信息進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì)的方法。文獻(xiàn)［10-15］研究了基于干擾及噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成方法。隨著現(xiàn)代陣列技術(shù)的發(fā)展，陣列規(guī)模達(dá)到成百上千，現(xiàn)有的一些穩(wěn)健波束形成技術(shù)計(jì)算復(fù)雜度高、對(duì)樣本需求量大，這就限制了其在實(shí)際工程中的應(yīng)用。為了解決大規(guī)模陣列的穩(wěn)健波束形成問題，文獻(xiàn)［24-29］研究了降維RAB技術(shù)，文獻(xiàn)［25］將傳統(tǒng)的降維技術(shù)（如波束空間法）與文獻(xiàn)［3］中的穩(wěn)健波束形成方法相結(jié)合，提出了降維穩(wěn)健技術(shù)的理論框架，文獻(xiàn)［27-28］將著名的Krylov子空間降維算法與文獻(xiàn)［3］中的穩(wěn)健技術(shù)相結(jié)合，提出了一種新的降維穩(wěn)健波束形成算法，從而降低了計(jì)算復(fù)雜度和對(duì)樣本的需求量。

本文針對(duì)大規(guī)模均勻線陣，首先將期望信號(hào)導(dǎo)向矢量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的Kronecker乘積，為了使得計(jì)算復(fù)雜度盡可能小，應(yīng)使兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的維數(shù)盡可能接近或相等，然后基于最壞情況性能最優(yōu)原理建立雙二次代價(jià)函數(shù)，根據(jù)循環(huán)最小化思想，文獻(xiàn)［16-21］利用雙迭代算法（bi-iterative algorithm， BIA）求解該代價(jià)函數(shù)，每次迭代過程只需求解兩個(gè)低維的二階錐規(guī)劃（second-order cone programming， SOCP）問題，且仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明BIA算法能夠快速收斂，所提方法進(jìn)一步降低了計(jì)算復(fù)雜度和對(duì)樣本的需求量，同時(shí)由于所提方法具有高于處理器維數(shù)的自由度（degrees of freedom， DoFs），與傳統(tǒng)降維穩(wěn)健算法相比具有更高的輸出SINR。

1 信號(hào)模型及導(dǎo)向矢量的Kronecker積分解

假設(shè)一個(gè)均勻線陣（uniform linear array， ULA）含有K個(gè)天線陣元，如圖1所示，則天線陣列對(duì)于窄帶信號(hào)的接收數(shù)據(jù)矢量可以表示為

x（t）=c（θ_d）s_d（t）+∑Pi=1c（θ_i）s_i（t）+n（t）（1）

式中：c（θ_d）為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量;θ_d為期望信號(hào)波達(dá)方向;s_d（t）為期望信號(hào)波形;c（θ_i）表示干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量;θ_i為干擾信號(hào)波達(dá)方向;s_i（t）為干擾信號(hào)波形;P為干擾信號(hào)個(gè)數(shù);n（t）為噪聲矢量;t表示時(shí)間。根據(jù)MVDR準(zhǔn)則，SMI算法的權(quán)矢量為

ω_SMI=αR^^－1c（θ_d）（2）

式中：α為常系數(shù);R^為采樣協(xié)方差矩陣：R^=∑^L_i=1x（i）x^H（i），（·）^H表示共軛轉(zhuǎn)置;L為樣本數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，樣本數(shù)不充分或樣本的非均勻性將導(dǎo)致估計(jì)的協(xié)方差矩陣與真實(shí)的協(xié)方差矩陣相差較大，且由于陣元幅相誤差等因素的影響，假定的導(dǎo)向矢量與真實(shí)的導(dǎo)向矢量之間存在失配，這些都將嚴(yán)重影響SMI算法的性能。本文中，首先對(duì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量進(jìn)行Kronecker積分解為兩個(gè)低維的導(dǎo)向矢量，然后用兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的失配模型近似原始全維導(dǎo)向矢量的失配模型。

為了簡化表達(dá)式，下文中均用c代替期望信號(hào)導(dǎo)向矢量c（θ_d），式（1）中期望信號(hào)導(dǎo)向矢量c（θ_d）的形式為

c=1，e^{j2πdλsin θ}_d，…，e^{j2πkdλsin θ}_d，…，e^{j2π（K－1）dλsin θ}_dT，

k=0，1，2，…，K－1（3）

式中：d為陣元間距;λ為波長，則期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的失配模型可以表示為

c～=c+e（4）

式中：e表示失配矢量。觀察式（3）所示期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，假設(shè)陣列維數(shù)滿足K=NM，則導(dǎo)向矢量c可以寫成兩個(gè)導(dǎo)向矢量Kronecker的乘積形式：

c=aUb（5）

式中：符號(hào)表示Kronecker積，且有

a=1，e^{j2πdλsin θ}_d，…，e^{j2πndλsin θ}_d，…，e^{j2π（N－1）dλsin θ}_d^T， n=0，1，…，N－1

b=1，e^{j2πNdλsin θ}_d，…，e^{j2πmNdλsin θ}_d，…，e^{j2π（M－1）Ndλsin θ}_d^T， m=0，1，…，M－1（6）

由式（6）可以看出，a可以看成是一個(gè)陣元間距為d、有N個(gè)陣元的陣列對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量，b可以看成是一個(gè)陣元間距為Nd、有M個(gè)陣元的陣列對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。結(jié)合式（4），原始全維導(dǎo)向矢量的失配模型為

c～=ab+e（7）

下面用兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量a和b的失配模型對(duì)原始全維導(dǎo)向矢量失配模型進(jìn)行近似，假設(shè)

c-=（a+e_a）（b+e_b）=ab+ae_b+e_ab+e_ae_b（8）

式中：e_a∈C^N×1為導(dǎo)向矢量a的失配量;e_b∈C^M×1為導(dǎo)向矢量b的失配量。令c～=c-，結(jié)合式（7）和式（8）可以得到

e=ae_b+e_ab+e_ae_b（9）

實(shí)際中原始全維導(dǎo)向矢量的失配量e的L₂范數(shù)通常相對(duì)導(dǎo)向矢量c很小，并不一定具有式（9）所示的形式，但是為了利用式（8）進(jìn)行低維處理，可以用式（9）對(duì)失配量e進(jìn)行近似，即有

e≈ae_b+e_ab+e_ae_b（10）

這樣，原始陣列的導(dǎo)向矢量失配模型可以用式（8）近似表示。雖然式（9）并不一定成立，即全維導(dǎo)向矢量的失配量不一定具有如式（9）所示的耦合關(guān)系，但是從下面的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，利用式（8）進(jìn)行穩(wěn)健處理具有良好的性能。

2 Kronecker穩(wěn)健波束形成器

2.1 Kronecker穩(wěn)健波束形成方法

本節(jié)將原始全維導(dǎo)向矢量分解為兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的Kronecker積，并用兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的失配模型來近似全維導(dǎo)向矢量失配模型，提出一種Kronecker積穩(wěn)健波束形成器。假設(shè)ω∈C^K×1為原始全維濾波器權(quán)矢量，基于權(quán)矢量分離思想^［16-21］，將ω分解為兩個(gè)低維權(quán)矢量的Kronecker積，即有

ω=v^*u（11）

式中：v∈C^M×1;u∈C^N×1。基于最壞情況性能最優(yōu)原理，可得到如下的代價(jià)函數(shù)：

min E|（v^*u）^Hx|²

s.t.|（v^*u）^H［（a+e_a）（b+e_b）］|≥1（12）

式中：e_a∈{e_a|e_a≤ε_a};e_b∈{e_b|e_b≤ε_b};x=［x₁，x₂，…，x_MN］^T。ε_a與ε_b分別為低維導(dǎo)向矢量a與b的誤差上界?？梢钥闯觯剑?2）所示為一個(gè)非凸的雙二次優(yōu)化問題，難以直接求解，注意到

（v^*u）^Hx=u^HXv（13）

式中：

即X∈C^N×M為將數(shù)據(jù)矢量x進(jìn)行重新排列得到的數(shù)據(jù)矩陣，一個(gè)簡單的表示為

X=reshape（x，N，M）（15）

式中：reshape（·）表示按列讀取矢量x的數(shù)據(jù)后，按列重新排列為一個(gè)N×M維矩陣。

因此，式（12）所示代價(jià)函數(shù)可以寫為

min E|u^HXv|²

s.t.|（v^T（a+e_a）u^H（b+e_b）|≥1（16）

式（16）所示代價(jià)函數(shù)中的約束條件可以等價(jià)表示為

mine_a，e_b|（v^T（a+e_a）u^H（b+e_b）|≥1（17）

假設(shè)誤差界ε_a與ε_b足夠小，|u^Hb|gt;ε_bu與|a^Tv|gt;ε_av成立，利用Cauchy-Schwartz不等式可以得到

|v^T（a+e_a）u^H（b+e_b）|=|u^H（b+e_b）||v^T（a+e_a）|≥

（|u^Hb|－|u^He_b|）（|v^Ta|－|v^Te_a|）≥

（|u^Hb|－ε_bu）（|v^Ta|－ε_av）（18）

此外，容易證明式（18）中等號(hào)成立，即

|u^H（b+e_b）|=|u^Hb|－ε_bu

|v^T（a+e_a）|=|v^Ta|－ε_av（19）

式（19）成立的條件^［2］分別為

e_b=－uuε_be^j?_b， ?_b=angle{u^Hb}

e_a=－vvε_ae^j?_a， ?_a=angle{v^Ta}（20）

式中：angle{·}表示取相位。結(jié)合式（18），式（16）所示代價(jià)函數(shù)可以表示為

minu，v f（u，v）=E|u^HXv|²

s.t.（|u^Hb|－ε_bu）（|v^Ta|－ε_av）≥1（21）

可以看出式（21）所示為非凸的雙二次代價(jià)函數(shù)，難以直接求解。下面根據(jù)循環(huán)最小化思想，利用BIA算法求解式（21）所示代價(jià)函數(shù)。注意到，兩個(gè)變量u與v之間存在尺度模糊問題，即對(duì)于任一非零常數(shù)β，有f（u，v）=f（βu，1/βv）。在不影響輸出SINR的情況下，可以在迭代過程中將變量u進(jìn)行歸一化處理，從而避免尺度模糊對(duì)BIA算法收斂性的影響。

基于循環(huán)最小化思想，首先假設(shè)變量u已知，則式（21）所示代價(jià)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

minv f₁（v）=v^HR_vv

s.t.|v^Ta|－ε_av≥η（22）

式中：R_v=∑^L_i=1X^H_iuu^HX_i;η=（|u^Hb|－ε_bu）^-1。

式（22）所示仍為一個(gè)非凸的優(yōu)化問題，從式（22）可以觀察到，對(duì)變量v進(jìn)行一個(gè)任意的相位旋轉(zhuǎn)后，代價(jià)函數(shù)式（22）不發(fā)生變化，利用文獻(xiàn)［2］中的方法，式（22）所示代價(jià)函數(shù)可以寫為

minv f₁（v）=v^HR_vv

s.t.v^Ta－ε_av≥η

Im{v^Ta}=0（23）

式中：Im{·}表示取虛部。這樣，式（22）問題就轉(zhuǎn)化為式（23）所示的SOCP問題。

其次，假設(shè)變量v已知，則式（21）所示代價(jià)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

minu f₂（u）=u^HR_uu

s.t.|u^Hb|－ε_bu≥μ（24）

式中：R_u=∑^L_i=1X_ivv^HX^H_i;μ=（|v^Ta|－ε_av）^-1。式（24）所示代價(jià)函數(shù)也是一個(gè)非凸的優(yōu)化問題。觀察式（24）可以看出，對(duì)變量u進(jìn)行任一相位旋轉(zhuǎn)后，原代價(jià)函數(shù)也保持不變。同樣地，利用文獻(xiàn)［2］中的方法，可以將式（24）轉(zhuǎn)化為

minu f₂（u）=u^HR_uu

s.t.u^Hb－ε_bu≥μ

Im{u^Hb}=0（25）

這樣，式（24）所示代價(jià)函數(shù)也被轉(zhuǎn)化為一個(gè)SOCP問題。

綜上所述，基于循環(huán)最小化思想，用BIA求解式（21）所示代價(jià)函數(shù)的算法流程如下。

步驟 1 對(duì)變量u初始化，設(shè)初值為u（0），并對(duì)u（0）進(jìn)行歸一化，使得u（0）=1，給定迭代停止參數(shù)δ，0lt;δlt;lt;1。

步驟 2 將u（k－1）代入式（23）所示代價(jià)函數(shù)，通過求解式（23）所示代價(jià)函數(shù)，得到變量v的解v（k－1）。

步驟 3 將步驟2中求得的v（k－1）代入式（25）所示代價(jià)函數(shù)，通過求解凸優(yōu)化問題式（25），得到u（k），然后對(duì)u（k）進(jìn)行歸一化，令u（k）=u（k）/u（k）。

步驟 4 驗(yàn)證u（k）－u（k－1）≤δ是否成立，如果成立則停止迭代;否則令u（k－1）=u（k），繼續(xù)執(zhí)行步驟2和步驟3，直至u（k）－u（k－1）≤δ成立。

BIA算法流程如算法1所示。

算法 1 利用BIA算法求解低維導(dǎo)向矢量u和v輸入 u（0），δ，N_iter輸出 u，v1k=1;2u（k）=u（k）/u（k）;3For k=1：N_iter4

R_v=∑Li=1X^H_iu（k－1）u（k－1）^HX_i;5

η=1u（k－1）^Hb－ε_bu（k－1）;6

v（k－1）←minv f₁（v）=v^HR_vv

s.t.v^Ta－ε_av≥η， Imv^Ta=0;7

R_u=∑Li=1X_iv（k－1）v（k－1）^HX^H_i;8

μ=1v（k－1）^Ta－ε_av（k－1）;9

u（k）←minu f₂（u）=u^HR_uu

s.t.u^Hb－ε_bu≥μ， Imu^Hb=0;10

u（k）=u（k）/u（k）;11 Ifu（k）－u（k－1）≤δ then12

break;13 end14end15u=u（k），v=v（k－1）

假設(shè)利用上述BIA算法求得變量u與v的最優(yōu)解分別為u～與v～，結(jié)合式（11）可以得到所提方法的濾波器權(quán)矢量為

ω_Kronecker=v～^*u～（26）

對(duì)于所提的BIA算法，可以得到如下性質(zhì)：

性質(zhì) 1 式（21）中代價(jià)函數(shù)f（u，v）是連續(xù)的。

性質(zhì) 2 BIA算法基于循環(huán)最小化思想，因此可以得到

f（u（k-1），v（k-1））≥f（u（k-1），v（k））=minv f（u（k-1），v）≥

f（u（k），v（k））=minu f（u，v（k））

性質(zhì) 3 式（12）中代價(jià)函數(shù)有下界。令w_tr=（v^*u），R=E{xx^H}，則有f（u，v）=w^H_trRw_tr≥λ_minw_tr2，其中λ_min為R的最小特征值。由文獻(xiàn)［22］和文獻(xiàn)［23］可知，根據(jù)LaSalle準(zhǔn)則，所提BIA算法是漸進(jìn)收斂的。

2.2 樣本需求量、計(jì)算復(fù)雜度及自由度分析

由第2.1節(jié)中BIA算法求解代價(jià)函數(shù)式（21）的流程可以看出，所提算法需要估計(jì)協(xié)方差矩陣R_u∈C^N×N、R_v∈C^M×M，因此所提算法的樣本需求量應(yīng)大于2max{M，N}^［16］，而全維處理時(shí)的樣本數(shù)應(yīng)大于2MN，這樣本文方法的樣本需求量遠(yuǎn)小于全維處理時(shí)的樣本需求量。在每一步迭代過程中，需要分別求解N維與M維的SOCP問題，因此每一步迭代過程消耗的計(jì)算復(fù)雜度為O（N³+M³），從下文的仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，BIA算法經(jīng)過3步左右即可收斂，因此所提算法的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于全維處理的Worst-Case算法（全維處理時(shí)為O（N³M³））。

由于權(quán)矢量u與v分別包含了N個(gè)與M個(gè)獨(dú)立變量，則本文方法所能提供的自由度為M+N^［16］。為滿足式（23）與式（25）中的約束條件，將占用少部分自由度，因此本文方法能夠抑制的干擾個(gè)數(shù)在［max{M，N}，M+N］內(nèi)。本文方法能夠提供比處理器維數(shù)多的自由度，這也是本文方法優(yōu)于傳統(tǒng)降維穩(wěn)健算法（如文獻(xiàn)［25-28］中的方法）的原因。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

假設(shè)天線陣列為一個(gè)ULA，陣元個(gè)數(shù)為100，陣元間距均為半個(gè)波長。目標(biāo)信號(hào)波達(dá)方向?yàn)?°，噪聲功率為0 dB。所提算法將全維導(dǎo)向矢量分解為兩個(gè)10維導(dǎo)向矢量的Kronecker積，即有N=10，M=10，兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的誤差界分別設(shè)置為ε_a=2，ε_b=2。仿真實(shí)驗(yàn)分為兩組，一組為干擾個(gè)數(shù)較少情形，一組為干擾個(gè)數(shù)較多情形，干噪比（interference to noise ratio， INR）均為30 dB。4種算法用來與所提算法進(jìn)行性能對(duì)比：① 全維最壞情況性能最優(yōu)算法（full-dimensional Worst-Case， F-Worst-Case）。根據(jù)文獻(xiàn)［2］誤差界的選取，應(yīng)滿足ε₁lt;K=10，因此F-Worst-Case的誤差界設(shè)為ε₁=8;② 全維對(duì)角加載矩陣求逆（loaded sample matrix inverse， LSMI），對(duì)角加載水平為噪聲功率的10倍;③ 文獻(xiàn)［25］中降維穩(wěn)健波束形成（reduced-dimensional robust Capon beamforming， RD-RCB）算法，采用波束形成空間（beamforming spatial， BS）法構(gòu)造降維矩陣，降維后處理器維數(shù)為10，將不確定集參數(shù)設(shè)置為ε₂=6;④ 文獻(xiàn)［27］基于正交降維矩陣的Krylov子空間穩(wěn)健波束形成算法（orthogonal powers-of R under spherical uncertainty set， O-PoR-Spherical），該算法將真實(shí)導(dǎo)向矢量限定在球形不確定集中，利用Krylov子空間方法構(gòu)造列正交的降維矩陣，降維后處理器維數(shù)為10，不確定集參數(shù)設(shè)置為ε₃=6。所有凸優(yōu)化問題均采用CVX工具包^［31］進(jìn)行求解。存在幅相誤差和角度誤差時(shí)輸出SINR隨輸入信噪比（signal to noise ratio， SNR）、樣本數(shù)、迭代次數(shù)的變化曲線分別如圖2、圖3所示。除圖2（c）和圖3（c）為單次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果外，其余圖中實(shí)驗(yàn)均為100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)取平均值的結(jié)果。此外，本文中OPT算法表示理論最優(yōu)MVDR算法，作為性能上限給出。

實(shí)驗(yàn) 1 假設(shè)空間遠(yuǎn)場處存在兩個(gè)點(diǎn)干擾，波達(dá)方向分別為30°，50°，圖2給出了5種算法抗陣元幅相誤差的性能。假設(shè)陣元幅相誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.04，圖2（a）給出了在樣本數(shù)為40時(shí)，5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線。從圖2可以看出，在整個(gè)SNR范圍內(nèi)，本文方法均取得了最高的輸出SINR。由于樣本數(shù)較少，全維處理的Worst-Case算法與LSMI算法性能較差。由于本文方法采用迭代降維處理，具有更高的自由度，因此本文算法相對(duì)于O-PoR-Spherical與RD-RCB算法具有更高的輸出SINR。圖2（b）給出了在SNR為10 dB時(shí)5種算法的樣本收斂性曲線，從圖中可以看出，在小樣本條件下本文算法相對(duì)于其他4種算法取得了更高的輸出SINR，具有更快的樣本收斂性。圖2（c）給出了在樣本數(shù)為40、SNR為10 dB時(shí)，BIA算法求解過程的收斂曲線?？梢钥闯?，經(jīng)過3至4步，BIA算法即可收斂，這種快速收斂性說明本文方法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。

圖3給出了5種算法抗角度失配的性能。假定的目標(biāo)信號(hào)方向?yàn)?°，而真實(shí)的目標(biāo)信號(hào)方向?yàn)?.7°，即存在0.3°的角度失配，參數(shù)設(shè)置如前所述。圖3（a）給出了樣本數(shù)為40時(shí)5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線，可以看出在整個(gè)SNR范圍內(nèi)本文方法依然取得最高的輸出SINR。圖3（b）給出了在SNR為20 dB時(shí)，5種算法的樣本收斂曲線，從圖中可以看出本文方法在樣本數(shù)為20時(shí)已開始收斂，且在小樣本條件下取得最高的輸出SINR，具有最快的樣本收斂性。圖3（c）給出了BIA算法求解過程的收斂曲線，從圖中可以看出，BIA算法具有快速收斂性，經(jīng)過3步即可收斂。

實(shí)驗(yàn) 2 假設(shè)空間遠(yuǎn)場處存在14個(gè)干擾，波達(dá)方向分布為［－80：10：－20，20：10：80］°，假設(shè)期望信號(hào)方向?yàn)?°，而真實(shí)目標(biāo)信號(hào)方向?yàn)?.9°，期望信號(hào)方向與真實(shí)目標(biāo)信號(hào)方向存在0.1°的失配，同時(shí)考慮陣元幅相誤差，假設(shè)陣元幅相誤差標(biāo)準(zhǔn)差為0.04，各算法的參數(shù)設(shè)置如前所述。圖4為在樣本數(shù)為40時(shí)，5種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線。從圖4可以看出，干擾數(shù)大于降維后處理器維數(shù)，RD-RCB算法沒有足夠多的自由度來抑制干擾，因此RD-RCB算法性能嚴(yán)重下降;由于利用Krylov子空間降維方法構(gòu)造列正交的降維矩陣時(shí)，已經(jīng)具有預(yù)濾波的能力，因而O-PoR-Spherical算法仍能保持較好的性能;由于樣本數(shù)較少，F(xiàn)-Worst-Case算法與LSMI算法在高SNR時(shí)性能較差;而本文方法由于具有更多的自由度，在整個(gè)輸入SNR區(qū)間內(nèi)都取得較高的輸出SINR，因此本文算法性能優(yōu)于其他算法。

下面對(duì)5種算法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析，忽略二階及以下項(xiàng)，F(xiàn)-Worst-Case與本文方法均需要求解SOCP問題，用內(nèi)點(diǎn)法求解一般在10步前后收斂。為便于分析，假設(shè)求解SOCP問題需迭代10步，從仿真實(shí)驗(yàn)可以看出BIA算法在3步前后即可收斂，故假設(shè)BIA算法需迭代3步。為使得本文方法計(jì)算復(fù)雜度盡可能小，在對(duì)全維導(dǎo)向矢量進(jìn)行Kronecker積分解時(shí)，應(yīng)盡可能使兩個(gè)低維的維數(shù)相等或接近，可以假設(shè)M=N。假設(shè)RD-RCB與O-PoR-Spherical降維穩(wěn)健算法降維后處理器維數(shù)為D，為便于在同階進(jìn)行比較，可以假設(shè)M=N=D，5種算法的計(jì)算復(fù)雜度如表1所示。

由于本文算法采用迭代降維處理，與全維算法F-Worst-Case、LSMI算法相比，本文算法計(jì)算復(fù)雜度大大降低，但是由于采用迭代降維處理，本文算法在計(jì)算過程中與RD-RCB、O-PoR-Spherical相比增加了迭代次數(shù)，使得計(jì)算效率低于RD-RCB與O-PoR-Spherical算法，但是理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法能夠取得更高的輸出SINR。

4 結(jié) 論

本文通過將全維導(dǎo)向矢量進(jìn)行Kronecker積分解，并利用兩個(gè)低維導(dǎo)向矢量的失配模型來表示全維導(dǎo)向矢量失配模型，然后基于最壞情況性能最優(yōu)原理建立雙二次代價(jià)函數(shù)，并利用BIA算法進(jìn)行求解。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，BIA算法能夠快速收斂，與傳統(tǒng)全維處理算法相比，本文方法能夠大大降低計(jì)算復(fù)雜度和樣本需求量，與現(xiàn)有的穩(wěn)健降維算法相比，本文方法由于能夠提供比處理器維數(shù)更多的自由度，因而具有更好的干擾抑制能力，能夠獲得更高的輸出SINR。

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作者簡介

王德伍（1988—），男，高級(jí)工程師，博士研究生，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)、雷達(dá)信號(hào)處理與數(shù)據(jù)處理。

虞泓波（1988—），男，高級(jí)工程師，博士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)、陣列信號(hào)處理。

袁耀輝（1995—），男，工程師，碩士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)、電子對(duì)抗。

廖勝男（1984—），女，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)、電子對(duì)抗。

陳 燕（1972—），女，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)。