摘要： 針對連續(xù)系統(tǒng)在閉環(huán)條件下進(jìn)行辨識，由于將來輸入和噪聲的相關(guān)性，會導(dǎo)致辨識方法產(chǎn)生有偏估計(jì)結(jié)果的問題，提出一種基于廣義泊松矩泛函的閉環(huán)子空間辨識算法。首先，采用廣義泊松矩泛函變換得到輸入輸出信號的濾波器模型，從而得到連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出矩陣方程。然后，利用故障診斷領(lǐng)域中的等價空間代替子空間辨識過程中的觀測空間進(jìn)行辨識。最后，為了解決閉環(huán)辨識中由反饋控制器產(chǎn)生的估計(jì)偏差辨識問題，采用主成分分析法和輔助變量法，達(dá)到辨識系統(tǒng)一致性估計(jì)的目的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性和精確性。

關(guān)鍵詞： 子空間辨識; 閉環(huán)辨識; 廣義泊松矩泛函; 等價空間

中圖分類號： N 945.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.27

Closed-loop subspace identification via generalized Possion moment functionals

YU Miao^*， WANG Youyi， WEI Yongtao

（School of Control Engineering， Northeastern University at Qinhuangdao， Qinhuangdao 066004， China）

Abstract： To solve the problem of biased estimation due to the correlation between future input and noise in the identification process of continuous system， a closed-loop subspace identification algorithm utilizing generalized Possion moment functionals is presented. Firstly， the filter model of the input-output signals is obtained by generalized Possion moment functionals transformation， and then the input-output matrix equation of the continuous systems is obtained. Secondly， instead of using the observable subspaces in the process of subspace identification， this paper focus on the parity space which is commonly employed in fault detection. Finally， the system is estimated consistently by the principal component analysis and instrumental variable method， which solves the identification problems of biased results for the system operates in closed-loop identification due to the feedback controller. The effectivity and accuracy of the proposed method are verified by the simulation results.

Keywords： subspace identification; closed-loop identification; generalized Possion moment functionals （GPMF）; parity space

0 引 言

近年來，子空間方法作為系統(tǒng)辨識領(lǐng)域的重要分支，在過程辨識和控制領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注^［1-3］。針對開環(huán)離散系統(tǒng)，子空間辨識方法已具有較好的性能。實(shí)際上，很多工業(yè)過程出于對安全性或者經(jīng)濟(jì)性的考慮不能直接去掉過程中的反饋，并且絕大多數(shù)系統(tǒng)都具有連續(xù)特性。由于反饋控制器的存在，許多開環(huán)子空間辨識算法在應(yīng)用于閉環(huán)系統(tǒng)時會產(chǎn)生有偏估計(jì)結(jié)果^［4-5］。因此，針對這一類連續(xù)系統(tǒng)的辨識問題進(jìn)行深入研究，具有重大的理論意義和實(shí)際價值。

傳統(tǒng)的子空間辨識方法是對離散系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)，然后將其轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)。對于離散系統(tǒng)，子空間辨識方法是成熟有效的。然而，連續(xù)系統(tǒng)的辨識問題不容易解決。另一種方法是直接從輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，并獲得連續(xù)系統(tǒng)模型^［6］。廣義泊松矩泛函（generalized Possion moment functionals， GPMF）是一種處理連續(xù)系統(tǒng)時間導(dǎo)數(shù)問題非常有效的方法，并且具有較少的設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)勢^［7］。文獻(xiàn)［8］詳細(xì)說明了GPMF的數(shù)字實(shí)現(xiàn)和參數(shù)設(shè)置。具體地，它結(jié)合了子空間辨識和泊松矩泛函算法，解決了輸入輸出信號的時間導(dǎo)數(shù)和積分問題，并且被應(yīng)用在繞線控制系統(tǒng)辨識問題中。文獻(xiàn)［9］通過核范數(shù)最小化和泊松矩泛函對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)，并將其擴(kuò)展到缺失輸出數(shù)據(jù)情況下的模型辨識問題。為了提高連續(xù)系統(tǒng)辨識的準(zhǔn)確性和有效性，文獻(xiàn)［10］提出一種結(jié)合核范數(shù)極小化和GPMF的子空間辨識方法?？梢钥闯?，GPMF是采用泊松矩函數(shù)重構(gòu)輸入輸出數(shù)據(jù)時間導(dǎo)數(shù)的一種線性濾波方法，并且被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識、工業(yè)控制和微電子領(lǐng)域中^［11-12］。

上述基于GPMF的辨識方法都是在假設(shè)開環(huán)的條件下實(shí)現(xiàn)的，如果系統(tǒng)在閉環(huán)條件下進(jìn)行辨識，由于將來輸入和噪聲的相關(guān)性，會導(dǎo)致以上方法產(chǎn)生有偏估計(jì)結(jié)果。為了避免這種相關(guān)性帶來的影響，相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者們提出閉環(huán)子空間辨識方法。文獻(xiàn)［13］提出了基于預(yù)測器的遞推子空間辨識方法，并將其應(yīng)用于閉環(huán)辨識問題中。文獻(xiàn)［14］采用正交投影法提出閉環(huán)子空間辨識方法?；谥鞒煞址治觯╬rincipal component analysis， PCA）法，文獻(xiàn)［15］研究了一種新的子空間辨識法，對閉環(huán)系統(tǒng)的確定性部分和隨機(jī)性部分分別給出了一致性估計(jì)結(jié)果。文獻(xiàn)［16］通過正交分解法提出辨識閉環(huán)系統(tǒng)的新方法?；谝蚴椒纸夥ㄐ纬深A(yù)測器，文獻(xiàn)［17］針對線性參數(shù)變化（linear parameter variation， LPV）系統(tǒng)提出在開環(huán)和閉環(huán)情況下的有效辨識方法。文獻(xiàn)［18］分析了典型相關(guān)分析型子空間方法，并提出基于狀態(tài)序列的閉環(huán)子空間辨識方法。文獻(xiàn)［19］提出兩種閉環(huán)時不變子空間辨識算法，采用一組Laguerre濾波器解決了連續(xù)時間系統(tǒng)的時間導(dǎo)數(shù)問題。采用約束最小二乘法將先驗(yàn)知識融入系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，文獻(xiàn)［20］提出基于PCA的閉環(huán)子空間辨識方法。文獻(xiàn)［21］通過張量網(wǎng)絡(luò)法提出多輸入多輸出LPV狀態(tài)空間系統(tǒng)辨識法，解決了辨識過程中的維數(shù)災(zāi)難問題。在行列加權(quán)矩陣最優(yōu)選擇的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［22］研究了一種降低估計(jì)值方差的子空間辨識法。以上文獻(xiàn)大多研究的是離散系統(tǒng)的閉環(huán)子空間辨識問題，但在實(shí)際應(yīng)用過程中，連續(xù)系統(tǒng)的辨識對于實(shí)際過程具有重要意義^［23-24］。如前所述，連續(xù)系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用，這更加需要有效、準(zhǔn)確的系統(tǒng)辨識方法。因此，如何開發(fā)一種新的辨識算法，精確辨識閉環(huán)連續(xù)系統(tǒng)是系統(tǒng)辨識和控制領(lǐng)域共同的重要問題。

本文對基于GPMF的閉環(huán)子空間辨識算法進(jìn)行深入研究，有效地解決了連續(xù)系統(tǒng)的辨識問題。本文其他部分構(gòu)成如下：① 描述問題;② 提出閉環(huán)子空間辨識算法;③ 通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提辨識算法的有效性和精確性;④ 給出結(jié)論。

1 問題描述

考慮以下連續(xù)系統(tǒng)：

式中：U（t）∈R^m是輸入向量;Y（t）∈R^l是輸出向量;X（t）∈Rⁿ是狀態(tài)向量;A∈R^n×n，B∈R^n×n，C∈R^l×n，D∈R^l×m是系統(tǒng)矩陣;W（t）∈Rⁿ，V（t）∈R^l是零均值、白噪聲序列，其協(xié)方差矩陣為

式中：E（·）是期望算子;Δ（t－τ）是Dirac delta函數(shù)。目標(biāo)是在閉環(huán)條件下，通過輸入輸出信號辨識連續(xù)系統(tǒng)的階數(shù)以及系統(tǒng)矩陣A、B、C和D。

反饋控制器結(jié)構(gòu)如下：

U（t）=FY（t）+R（t）

其中，F(xiàn)是系統(tǒng)增益矩陣;R（t）為參考輸入信號。為了系統(tǒng)具有可辨識性，需滿足以下條件：

（1） 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，過程對象為可觀可控系統(tǒng);

（2） 信號U（t）、Y（t）、R（t）至少存在i－1階導(dǎo)數(shù)，其中igt;n;

（3） 輸入信號是持續(xù)激勵的，并且W（t）、V（t）為平穩(wěn)隨機(jī)信號，對于任意不同時刻，W（t）、V（t）與R（t）無關(guān)。

根據(jù)式（1），輸入輸出矩陣為

Y_i=Γ_iX+H_iU_i+G_iW_i+V_i（3）

式中：

矩陣U_i，W_i，V_i可以用相同的形式表示，狀態(tài)矩陣為X=［X（t₁），X（t₂），…，X（t_N）］。

矩陣Γ_i∈R^li×n（igt;n）是廣義能觀測性矩陣，矩陣H_i∈R^li×mi，G_i∈R^li×ni是低維分塊三角矩陣。定義為

由式（3）可知，系統(tǒng)基本信息包含在擴(kuò)展可觀測性矩陣或狀態(tài)X_i中。要從式（3）計(jì)算Γ_i，必須去掉包含的項(xiàng)U_i和噪聲項(xiàng)。如果系統(tǒng)在開環(huán)條件下，噪聲項(xiàng)與過去的輸入、過去的輸出和未來的輸入無關(guān)，那么可以通過將式（3）沿未來輸入的行空間斜投影到輔助變量的行空間上，輕松實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)。然而，這樣的假設(shè)在閉環(huán)條件下由于反饋控制器的存在是不成立的， 繼續(xù)采用上述方法得到的子空間辨識方法得到的估計(jì)結(jié)果會存在偏差。為解決閉環(huán)連續(xù)系統(tǒng)的辨識問題，提出基于GPMF的閉環(huán)子空間辨識（closed-loop subspace identification via GPMF， CSID-GPMF）。

2 閉環(huán)子空間辨識算法

2.1 GPMF變換

通過如下卷積，可以得到信號在［0，t］時間內(nèi)的j階GPMF變換M_j{s}，表達(dá)式為

M_j{s（t）}=∫^t₀p_j（τ）s（t－τ）dτ（5）

式中：p_j=β^j+1t_jj！e^－λt是j階泊松脈沖函數(shù);β∈R⁺是泊松脈沖增益;λ∈R⁺是泊松脈沖常數(shù)，一般有λ=β。

將式（3）進(jìn)行j階GPMF變換，有：

M_j{Y_i}=Γ_iM_j{X_i}+H_iM_j{U_i}+G_iM_j{W_i}+M_j{V_i}（6）

其中，

M_j{X_i}∈R^n×1;M_j{W_i}∈R^{（i+1）n×1};M_j{V_i}∈R^{（i+1）l×1}定義相似^［24］。

信號矩陣S_j（t）是信號s（t）的低階GPMF的有限線性組合，其中包括了前j階導(dǎo)數(shù)信號（s^（1）（t），s^（2）（t），…，s^（j）（t））的廣義泊松矩函數(shù)。GPMF的重要性質(zhì)可以推導(dǎo)如下。

對于j=1，有：

S₁（t）=Δ₁S～₁（t）－S₁（0）Δ₁P₁（t）（9）

式（9）可以寫為

對于j=2，有：

S_j（t）=Δ_jS～_j（t）－S_j（0）Δ_jP_j（t）（11）

式（11）可以寫為

所以，GPMF的重要性質(zhì)可以總結(jié)為

其中，

式中：Δ_j為下三角加權(quán)矩陣;Δ_j（ρ，v）是Δ_j的（ρ，v）元素;S（0）是初始條件矩陣。

在暫態(tài)時期后，泊松脈沖函數(shù)將趨于零^［8］。所以，式（9）中S_j（0）Δ_jP_j（t）可以忽略，有：

S_j（t）=Δ_jS～_j（t）（18）

根據(jù)式（3），考慮第i階時間導(dǎo)數(shù)信號?？捎蒘_j（t）推導(dǎo)出S_i，j（t），其表達(dá)式為

S_i，j（t）=Δ_i，jS～_j（t）（19）

其中，

式中：Δ_i，j定義為Δ_j的前i+1行。

根據(jù)式（19），對于單輸入情況下，j階GPMF濾波器T可以通過狀態(tài)空間模型來描述。所以，信號s（t）的j階GPMF濾波器模型^［8］定義為

S～·_j（t）=A_GS～_j（t）+B_GS（t）

S_j（t）=C_GS～_j（t）（21）

式中：

B_G=［0，…，0，β］;BC_G=Δ_j;S（t）是原系統(tǒng)輸入輸出信號。

T的等價傳遞函數(shù)矩陣定義為

可以得到

T_i，j（s）=β^i+jsⁱ（s+λ）^j+1（24）

式中：I_j+1是單位矩陣;s是拉普拉斯變量。

可以通過GPMF濾波器解決原系統(tǒng)式（1）的時間導(dǎo)數(shù)問題。由T_j（s）的（i+1）前傳遞函數(shù)T_i，j（s），可以得到濾波器T_i，j（s）的傳遞函數(shù)矩陣如下：

有：

S_i，j（t）=T_i，j（s）S（s）（26）

GPMF濾波器T_2，2（s）的框圖如圖1所示。

對于多輸入情況下，式（3）在不同時刻{t₁，t₂，…，t_N}的矩陣方程為

Y_i，j=Γ_iX_i+H_iU_i，j+G_iW_i，j+V_i，j（27）

式中：

Y_i，j=［Y_i，j（t₁），Y_i，j（t₂），…， Y_i，j（t_N）］（28）

X_i=［X_i（t₁），X_i（t₂），…，X_i（t_N）］（29）

U_i，j=［U_i，j（t₁），U_i，j（t₂），…，U_i，j（t_N）］（30）

W_i，j和V_i，j與U_i，j定義相似。

通過式（25）濾波器T_i，j（s），可以得到在時間間隔{t₁，t₂，…，t_N}下的數(shù)據(jù)矩陣U_i，j和Y_i，j。所以濾波器的參數(shù)矩陣為

式中：0_ξ∈R^ξ×ξ是零矩陣;I_ξ∈R^ξ×ξ是單位矩陣。

GPMF濾波信號為

S～·_j（t）=A_GξS～_j（t）+B_GξS（t）

S_i，j（t）=C_GξS～_j（t）（34）

2.2 PCA法得到一致性估計(jì)結(jié)果

對于式（27），在開環(huán)條件下，噪聲項(xiàng)與U_i無關(guān)，所以可以將式（27）兩邊乘以U_i的正交補(bǔ)，去掉包含的U_i項(xiàng)，采用輔助變量法去掉剩下的噪聲項(xiàng)。本文假設(shè)在閉環(huán)條件下這樣處理是不準(zhǔn)確的，由于噪聲項(xiàng)與U_i相關(guān)，所以直接采用輔助變量法無法直接去掉剩下的噪聲項(xiàng)，如果按照開環(huán)條件下的方法，會產(chǎn)生噪聲項(xiàng)的估計(jì)偏差。所以，這里不再按照傳統(tǒng)的方法對式（27）兩邊乘以U_i的正交補(bǔ)，而將式（27）乘以Γ_i的正交補(bǔ)（Γ^⊥_i）^T，得到

定義Z_f=Y_i

U_i，式（35）為

（Γ^⊥_i）^T［I－H_i］Z_f=（Γ^⊥_i）^T（G_iW_i+V_i）（36）

這是在故障診斷領(lǐng)域的等價空間理論^［25］。

為了降低噪聲對辨識精確性的影響，引入輔助變量法的思想，定義Z^T_p是由過去輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的輔助變量^［26-27］，其與將來噪聲無關(guān)，于是有：

limN→∞1N（G_iW_i+V_i）Z^T_p=0（37）

進(jìn)而有：

limN→∞1N（Γ^⊥_i）^T［I－H_i］Z_fZ^T_p=0（38）

所以（Γ^⊥_i）^T［I-H_i］是limN→∞1NZ_fZ^T_p的左零空間。

下面通過PCA法處理輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣。PCA通過線性變換將原始數(shù)據(jù)變換為一組各維度線性無關(guān)的表示，可用于提取數(shù)據(jù)的主要特征分量，常用于高維數(shù)據(jù)的降維。對下式執(zhí)行PCA，有

1NZ_fZ^T_p=PT^T+P～T～^T（39）

式中：P，P～為載荷矩陣，P與P～是相互正交的;T，T～為得分矩陣，可以選擇主成分的個數(shù)并且有l(wèi)imN→∞T～=0。

進(jìn)而可以得到

（Γ^⊥_i）^T［I－H_i］=MP～^T（40）

其中，M是任意非奇異矩陣。

根據(jù)式（40），有：

所以有：

Γ^⊥_i=P～_yM（42）

－H_iΓ^⊥_i=P～_uM（43）

根據(jù)式（42），有：

Γ_i=P～^⊥_y（44）

將式（42）代入式（43），可得

－P～^T_yH_i=P～^T_u（45）

定義

－P～^T_y=Ξ=［Ξ₁Ξ₂…Ξ_i］（46）

以及

P～^T_u=Y=［Y₁Y₂…Y_i］（47）

式中：Ξ_i，Y_i分別為Ξ和Y的i階列塊矩陣。

式（45）為

通過式（44）可以得到矩陣C如下：

C=Γ_i（1：l，：）（52）

根據(jù)

Γ_i（l+1：li，：）=Γ_i（1：l（i－1），：）A（53）

采用最小二乘法即可獲得矩陣A。

根據(jù)式（50）和最小二乘法^［28-29］，可以推導(dǎo)矩陣B和D如下：

式（37）滿足

其中，1NZ_fZ^T_p的奇異值的個數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù)^［30-31］，進(jìn)而通過PCA法得到系統(tǒng)矩陣。

3 仿真研究

本節(jié)通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提方法CSID-GPMF的有效性、精確性及比較優(yōu)勢?？紤]文獻(xiàn)［6］中的連續(xù)系統(tǒng)：

其中，W（t），V（t）為零均值、單位方差的高斯過程，辨識參數(shù)設(shè)置為λ=β=4，p=f=10，時間間隔Δt=0.01 s，執(zhí)行50次蒙特卡羅仿真。系統(tǒng)在閉環(huán)條件下運(yùn)行，U（t）=R（t）－Y（t），參考信號R（t）為零均值、單位方差的高斯過程。對于任意不同時刻，W（t），V（t）與參考信號不相關(guān)，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。需要注意的是，λ∈{λ_min，…，λ_max}取值需使得辨識算法偏差最小。

本文所提方法CSID-GPMF與文獻(xiàn)［19］中基于預(yù)測器的Laguerre濾波器子空間辨識（predictor-based subspace identification using Laguerre filtering， PBSIDw）方法進(jìn)行對比。與本文不同，文獻(xiàn)［19］采用Laguerre濾波器來處理連續(xù)系統(tǒng)的時間導(dǎo)數(shù)問題，這兩種處理連續(xù)系統(tǒng)時間導(dǎo)數(shù)的方法均屬于線性濾波方法。采用這兩種方法分別得到的平均伯德圖如圖2和圖3所示。

其中，藍(lán)色曲線為真實(shí)系統(tǒng)的伯德圖曲線，綠色曲線分別為本文所提方法CSID-GPMF與方法PBSIDw的平均伯德圖曲線。可以看出，方法CSID-GPMF的辨識軌跡更接近于真實(shí)系統(tǒng)伯德圖軌跡。所以，本文所提方法可以更好地跟蹤系統(tǒng)伯德圖的軌跡，具有更好的辨識性能。

辨識系統(tǒng)極點(diǎn)的偏差由式P_t－P_e和Z_t－Z_e計(jì)算。P_t和Z_t是原系統(tǒng)的極點(diǎn)，P_e和Z_e是辨識系統(tǒng)的極點(diǎn)。方法CSID-GPMF和方法PBSIDw辨識極點(diǎn)偏差和極點(diǎn)方差如表1所示。

從表1的結(jié)果可以看出，所提方法CSID-GPMF極點(diǎn)偏差比方法PBSIDw小。結(jié)果表明，方法CSID-GPMF比方法PBSIDw的極點(diǎn)更接近原系統(tǒng)的極點(diǎn)值。依據(jù)相應(yīng)的方差估計(jì)結(jié)果，方法CSID-GPMF的值小于方法PBSIDw的值，說明所得到的方差結(jié)果的波動更小。上述結(jié)果表明所提方法CSID-GPMF具有更好的辨識性能。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于GPMF的閉環(huán)子空間辨識算法。采用GPMF方法解決了連續(xù)信號的導(dǎo)數(shù)問題，得到連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出矩陣方程。通過PCA法和輔助變量法解決了在閉環(huán)條件下由反饋控制器產(chǎn)生的估計(jì)偏差問題。最后，數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提方法具有辨識精度更高的優(yōu)勢。

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作者簡介

于 淼（1986—），女，講師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識、預(yù)測控制。

王友誼（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識。

魏永濤（1980—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橹悄芟到y(tǒng)辨識與優(yōu)化。