課本習(xí)題是我們鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、形成思維方法、提升解題技能的有效陣地. 解決課本習(xí)題之后，若能大膽變化問(wèn)題的相關(guān)條件，或通過(guò)變換問(wèn)題的情境向縱深進(jìn)行拓展和延伸，挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，再次經(jīng)歷問(wèn)題變化過(guò)程的探索與思考，可增強(qiáng)我們解決問(wèn)題的能力.

引例 （人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第25頁(yè)“綜合應(yīng)用”部分第8題）如下頁(yè)圖（略），利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用20 m長(zhǎng)的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為50 m2的矩形場(chǎng)地？

解答過(guò)程略.

反思：本題中給出的墻面的長(zhǎng)度沒(méi)有限制，因此對(duì)求出的答案沒(méi)有影響，只要答案符合實(shí)際意義（正實(shí)數(shù)）即可. 若給出的墻面的長(zhǎng)度有限制，必然制約著問(wèn)題的答案（這是因?yàn)閴γ娑虝r(shí)，就不能圍成所需場(chǎng)地）.

變式1：將墻的長(zhǎng)度不限變?yōu)閴Φ拈L(zhǎng)度有限制，并在原來(lái)圍成的矩形與墻平行的一邊上預(yù)留入口（不用籬笆圍），探究矩形的邊長(zhǎng)或矩形面積問(wèn)題.

例1 某小區(qū)居委會(huì)為了居民生活安全，方便居民的電瓶車充電，準(zhǔn)備利用一邊靠墻（墻長(zhǎng)15 m）的空曠場(chǎng)地用柵欄圍成一個(gè)面積為80 m2的電瓶車充電區(qū). 如圖1，為了方便進(jìn)出，在兩邊空出兩個(gè)寬各為2.5 m的出入口，一共用去柵欄21 m. 請(qǐng)問(wèn)長(zhǎng)方形充電區(qū)的相鄰兩邊長(zhǎng)分別是多少米.

解析：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形充電區(qū)垂直于墻的一邊是[x] m，

則平行于墻的一邊為（[21+2.5+2.5-2x]） m，即（[26-2x]） m.

根據(jù)充電區(qū)的面積為80 m2，可得[x]（[26-2x]） [=80]，

解得[x1=5]，[x2=8].

當(dāng)[x=5]時(shí)，[26-2x=16>15]，

此時(shí)墻不夠長(zhǎng)，無(wú)法構(gòu)成封閉區(qū)域，不合題意，故舍去.

當(dāng)[x=8]時(shí)，[26-2x=10].

答：長(zhǎng)方形充電區(qū)的相鄰兩邊長(zhǎng)分別是8 m和10 m.

點(diǎn)評(píng)：在垂直于墻的一邊上留有兩個(gè)2.5 m寬的進(jìn)出口，相當(dāng)于柵欄材料增加了5 m. 正確用垂直于墻的一邊長(zhǎng)[x]表示出與墻平行的邊長(zhǎng)的代數(shù)式是解決本題的關(guān)鍵，也是本題易錯(cuò)的地方. 根據(jù)墻長(zhǎng)對(duì)一元二次方程的解進(jìn)行取舍是另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

變式2：將墻的長(zhǎng)度不限變?yōu)閴Φ拈L(zhǎng)度有限制，并在原來(lái)的矩形場(chǎng)地內(nèi)加入若干道籬笆，探究矩形的邊長(zhǎng).

例2 如圖2，有一道長(zhǎng)為25 m的墻，計(jì)劃用總長(zhǎng)為50 m的柵欄，靠墻圍成由三個(gè)小長(zhǎng)方形組成的矩形花圃[ABCD]. 若花圃[ABCD]的面積為150 m2，求[AB]的長(zhǎng).

解析：設(shè)[AB=x] m，則[BC=50-4xm].

根據(jù)花圃[ABCD]的面積為[150 m2]，

可得方程[x50-4x=150]，

化簡(jiǎn)，整理得[2x2-25x+75=0]，

解得[x1=5]，[x2=152].

當(dāng)[x=5]時(shí)，[50-4x=50-4×5=30>25]，不合題意，舍去；

當(dāng)[x=152]時(shí)，[50-4x=50-4×152=20<25]，符合題意.

故[AB]的長(zhǎng)為[152m].

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}的相等關(guān)系仍然是矩形的面積公式，但本題由于給出墻的長(zhǎng)度為25 m，因此對(duì)一元二次方程的解起到限制作用，這也是同學(xué)們必須注意的地方.

變式3：墻長(zhǎng)無(wú)限制條件，但在原來(lái)的矩形場(chǎng)地內(nèi)加入若干道籬笆且在圍成的矩形的邊上開(kāi)兩扇門，探究矩形的邊長(zhǎng)或符合一定面積的矩形是否存在.

例3 如圖3，利用足夠長(zhǎng)的一段圍墻，用籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，中間用籬笆分割出2個(gè)小長(zhǎng)方形，與墻平行的一邊上各開(kāi)一扇寬為1 m的門，總共用去籬笆34 m.

（1）為了使這個(gè)長(zhǎng)方形[ABCD]的面積為96 m2，求邊[AB]為多少米.

（2）用這些籬笆，能使圍成的長(zhǎng)方形[ABCD]面積是110 m2嗎？說(shuō)明理由.

[A][B][D][C][E][F]

圖3

解析：（1）設(shè)[AB]的長(zhǎng)為[x] m，則BC = （[34+2-3x]） [m]，

由矩形的面積公式，可得方程[x]（[34+2-3x]） [=96]，

解得[x1=4]，[x2=8].

故當(dāng)[AB]的長(zhǎng)度為4 m或8 m時(shí)，長(zhǎng)方形[ABCD]的面積為96 m2.

（2）不能.

理由：假設(shè)長(zhǎng)方形[ABCD]的面積是110 m2，

依題意得[x]（[34+2-3x]） [=110]，即[3x2-36x+110=0].

[∵]Δ [=-362-4×3×110=-24<0]，

[∴]該一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

[∴]假設(shè)不成立.

故用這些籬笆不能圍成面積為110 m2的長(zhǎng)方形.

點(diǎn)評(píng)：在墻長(zhǎng)沒(méi)有限制的條件下，只要方程有正實(shí)數(shù)解，就滿足條件；對(duì)于（2）問(wèn)，可以先假設(shè)滿足條件的矩形存在，然后根據(jù)面積列出關(guān)于邊長(zhǎng)的一元二次方程，探究方程有無(wú)實(shí)數(shù)解，進(jìn)一步判斷假設(shè)是否成立，從而獲得問(wèn)題的答案.

變式4：改變問(wèn)題的情境，將墻的形狀改變?yōu)橹苯菈?，探究特定點(diǎn)是否在矩形內(nèi).

例4 某社區(qū)在開(kāi)展“美化社區(qū)，幸福家園”活動(dòng)中，計(jì)劃利用如圖4所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長(zhǎng)），用40 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園[ABCD]（籬笆只圍[AB]，[AD]兩邊），設(shè)[AB=x] m2.

（1）若花園的面積為300 m2，求[x]的值；

（2）若在直角墻角內(nèi)點(diǎn)[P]處有一棵桂花樹，且與墻[BC]，[CD]的距離分別是10 m、24 m，要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），則花園的面積能否為400 m2？若能，求出[x]的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[P][D][A][B][C]

圖4

解析：（1）[∵AB=x] m，[∴BC=40-x] m，

由題意得[x40-x=300]，

解得[x1=10]，[x2=30]，

即[x]的值為10或30.

（2）花園的面積不能為400 m2，理由如下：

由題意得[x40-x=400]，

解得[x1=x2=20].

當(dāng)[x=20]時(shí)，[40-x=40-20=20]，

即當(dāng)[AB=20] m時(shí)，[BC=20] m [<24] m，這棵樹沒(méi)有被圍在花園內(nèi)，

[∴]要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），則花園的面積不能為400 m2.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵仍然是利用矩形的面積作為相等關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，只是需要根據(jù)是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求對(duì)解進(jìn)行取舍.

拓展訓(xùn)練

1. 如圖5，用一段77 m的籬笆圍成三個(gè)一邊靠墻、大小相同的長(zhǎng)方形羊圈，每個(gè)長(zhǎng)方形都有一個(gè)1 m的門，墻的最大可用長(zhǎng)度為30 m.

（1）如果羊圈的總面積為300 m2，求邊[AB]的長(zhǎng).

（2）請(qǐng)問(wèn)羊圈的總面積能為440 m2嗎？若能，請(qǐng)求出邊[AB]的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[A][D][C][B]

圖5

2. 2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，勞動(dòng)教育成為一門獨(dú)立的課程，某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開(kāi)辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為15 m），用長(zhǎng)為30 m的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園，如圖6. 已知矩形的邊[CD]靠院墻，[AD]和[BC]與院墻垂直，設(shè)[AB]的長(zhǎng)為[x] [m].

[D][A][B][C] [D][A][B][C]

圖6 圖7

（1）當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為[100 m2]時(shí)，求[BC]的長(zhǎng).

（2）如圖7，該學(xué)校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆作為隔離網(wǎng)，并與院墻垂直，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)養(yǎng)殖園的面積能否達(dá)到[100 m2]？若能，求出[AB]的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：1. （1）邊[AB]的長(zhǎng)為15 m；

（2）羊圈的總面積不能為440 m2.

2. （1）[BC]的長(zhǎng)為[10 m]；

（2）不能，理由略.

（作者單位：江蘇省鹽城市先鋒實(shí)驗(yàn)學(xué)校）