摘 要：快速因式分解后向投影（Fast Factorized Back Projection，F(xiàn)FBP）算法使用子孔徑劃分的方式進(jìn)行成像，有效解決了后向投影（Back Projection，BP）算法耗時(shí)嚴(yán)重的問題。當(dāng)各級(jí)子孔徑圖像融合時(shí)，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，時(shí)延近似，因此影響成像質(zhì)量。本文基于相干因子提出適用于FFBP算法的抑制因子，提高了FFBP算法的成像質(zhì)量。試驗(yàn)結(jié)果證明基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像方法可以有效提升成像質(zhì)量，運(yùn)行時(shí)間和FFBP算法運(yùn)行時(shí)間基本一致。

關(guān)鍵詞：雷達(dá)成像；快速后向投影；相干因子；成像質(zhì)量

中圖分類號(hào)：TN 957" " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

后向投影（Back Projection，BP）算法源于計(jì)算機(jī)斷層掃描（Computed Tomography， CT）技術(shù)[1]，幾乎適用于所有成像模式。但是其具有遍歷特性，導(dǎo)致運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，難以應(yīng)用于實(shí)時(shí)性要求高的場(chǎng)景?？焖僖蚴椒纸夂笙蛲队埃‵ast Factorized Back Projection，F(xiàn)FBP）算法[2]為解決BP算法的加速問題奠定了基礎(chǔ)，但是當(dāng)各級(jí)子孔徑圖像融合時(shí)，F(xiàn)FBP算法通常需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，時(shí)延近似，影響成像質(zhì)量。在BP成像中，使用相干因子（Coherence Factor， CF）和相位相干因子（Phase Coherence Factor， PCF）對(duì)成像結(jié)果進(jìn)行加權(quán)處理來提高成像質(zhì)量[3]，效果均較好。

FFBP的成像分辨率隨迭代進(jìn)行逐步提高，每個(gè)迭代過程都會(huì)引入時(shí)延差值，因此BP成像中的相干因子不適合作為加權(quán)因子，本文根據(jù)BP和FFBP的異同提出用于提高FFBP成像質(zhì)量的加權(quán)因子，將融合后的子孔徑視為不同通道，將不同通道迭代得到的像素值和的平方作為引入的抑制因子。為了提高成像質(zhì)量，在FFBP算法的最后一次迭代前引入抑制因子，減少FFBP算法在迭代過程中由時(shí)延差值導(dǎo)致的誤差。試驗(yàn)結(jié)果證明抑制因子可以有效提高FFBP算法的成像質(zhì)量。

1 信號(hào)模型及成像算法

1.1 信號(hào)模型

調(diào)頻連續(xù)波（Frequency Modulated Continuouse Wave， FMCW）是隨著時(shí)間推移頻率逐漸增加的信號(hào)，也稱為線性頻率調(diào)制或Chirp調(diào)制。其平面掃描模型如圖1所示，以o為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，雷達(dá)天線按照“Z”形在xoz面進(jìn)行機(jī)械掃描，天線發(fā)射的FMCW信號(hào)如公式（1）所示。

s（t）=AejπKrt2ej2πfct " " " " " " " （1）

式中：t為發(fā)射信號(hào)的傳播時(shí)間；A為目標(biāo)點(diǎn)P（xp，yp，zp）的反射系數(shù)；fc為FMCW信號(hào)的載頻；Kr為FMCW信號(hào)的調(diào)頻斜率。

FMCW信號(hào)的持續(xù)時(shí)間比天線運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)采樣點(diǎn)所需時(shí)間短，因此天線按照“Z”形在xoz面進(jìn)行持續(xù)掃描的過程可模擬為“停-走-?！钡哪Ｐ?，在該模型中，水平等效天線個(gè)數(shù)為M，垂直等效天線個(gè)數(shù)為N，得到大小為M×N的回波信號(hào)數(shù)據(jù)矩陣。對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行去調(diào)頻處理，忽略去調(diào)頻處理后的殘留相位誤差，第m行n列的等效天線為 Pmn（xm，0，zn）。將接收的回波信號(hào)進(jìn)行處理，得到差頻信號(hào)，如公式（2）所示。

smn（t）=Ae-j2π（Krt+fc）τmn " " " （2）

式中：τmn為等效天線Pmn（xm，0，zn）與目標(biāo)點(diǎn)P（xp，yp，zp）之間的延遲時(shí)間，令f=Krt+fc，如公式（3）所示。

smn（t）=Ae-j2πfτmn " " " " " （3）

1.2 后向投影

BP成像算法對(duì)成像區(qū)域進(jìn)行劃分，計(jì)算雷達(dá)回波在天線和各個(gè)像素之間的延時(shí)值，將每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的回波數(shù)據(jù)和回波時(shí)延進(jìn)行相干疊加，得到各個(gè)像素點(diǎn)的像素值，是一種在時(shí)域或頻域進(jìn)行“延時(shí)-求和”來得到精確聚焦成像結(jié)果的成像算法。

將成像區(qū)域均勻劃分為x行z列，對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)計(jì)算其與等效天線對(duì)應(yīng)的時(shí)延（x，z），成像區(qū)域在等效天線Pmn（xm，0，zn）中的像素值smn（x，z）如公式（4）所示。

（4）

式中：Smn（x，z）為成像區(qū)域點(diǎn)（x，z）在等效天線中的像素值；（x，z）為等效天線Pmn（xm，0，zn）與成像區(qū)域第x行z列的像素點(diǎn)之間的計(jì)算時(shí)延。

當(dāng)（x，z）=τmn時(shí)取得最大值，該通道在成像區(qū)域內(nèi)會(huì)形成1條軌跡且必經(jīng)過目標(biāo)點(diǎn)。所有通道相干疊加后得到最終的BP成像結(jié)果 I（x，z），如公式（5）所示。

（5）

式中：m為等效天線水平所在位置；n為等效天線垂直所在位置；M為水平等效天線總數(shù)；N為垂直等效天線總數(shù)。

1.3 快速因式分解后向投影

當(dāng)觀測(cè)場(chǎng)景較大或者成像網(wǎng)格劃分細(xì)密時(shí)，BP算法計(jì)算量十分龐大，無法滿足實(shí)際應(yīng)用需求。FFBP算法是BP算法經(jīng)典加速算法之一，其利用局部近似處理和遞歸子孔徑劃分來進(jìn)行加速計(jì)算。FFBP算法劃分各個(gè)子孔徑，以各個(gè)子孔徑為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，在每個(gè)子孔徑對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系中進(jìn)行成像，其分辨率低，生成對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系子圖像，迭代合并子圖像，將全孔徑高分辨率圖像由極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系[4]。

設(shè)FFBP迭代總次數(shù)為k，將水平等效天線個(gè)數(shù)M、垂直等效天線個(gè)數(shù)N進(jìn)行因式分解，計(jì)算過程如公式（6）所示。

（6）

式中：mj、nj為第j=1，2...，k次迭代合并的天線數(shù)量和網(wǎng)格再次劃分的數(shù)量。以等效天線Pmn（xm，0，zn）為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系，如圖2所示，目標(biāo)點(diǎn)P在該直角坐標(biāo)系中的位置為（xpmn，ypmn，zpmn），P1、P2為目標(biāo)點(diǎn)P在xoy面、yoz面上的投影。

目標(biāo)點(diǎn)P在相同原點(diǎn)建立的極坐標(biāo)系中為Pmn（ρ， φ1， φ2），ρ為距離，φ1為方位角，φ2為高度角。原點(diǎn)相同的極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系計(jì)算過程如公式（7）所示。

（7）

式中：xmn p、ymn p和zmn p分別為以等效天線Pmn（xm，0，zn）為原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系中目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)。

在每個(gè)子孔徑建立的極坐標(biāo)系中分別使用BP算法進(jìn)行初始低分辨率成像，以等效天線Pmn為原點(diǎn)建立的極坐標(biāo)系中，成像點(diǎn)為Pmn，0（ρ， φ1， φ2），對(duì)應(yīng)時(shí)延為，對(duì)應(yīng)的初始像素值Imn，0如公式（8）所示。

Imn，0=Aej2πf " " " " "（8）

為了得到高分辨率圖像，須進(jìn)行多級(jí)子圖像相干疊加融合，當(dāng)?shù)趈次迭代時(shí)，等效天線面陣劃分為子孔徑，成像區(qū)域被劃分為個(gè)網(wǎng)格，以第j次融合迭代得到的各個(gè)子孔徑中心為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，在第p行、第q列子孔徑為中心建立的極坐標(biāo)系中，像素值Ipq，j（uj，vj） 計(jì)算過程如公式（9）所示。

（9）

式中：mj和nj分別為第j-1次迭代合并的天線數(shù)量和網(wǎng)格再次劃分的數(shù)量；Ip'q'，j-1（uj-1，vj-1）為第j-1次迭代得到的像素值；p'、q'為將要合并為第j次迭代中第p行、第q列子孔徑的第j-1次迭代中的子孔徑位置；?tp'q'，j-1為第j-1次迭代中第p'行、第q'列子孔徑至像素點(diǎn)（uj-1，vj-1）與至像素點(diǎn)（uj，vj）之間的時(shí)延差值。

2 基于抑制因子加權(quán)的成像算法

2.1 基于相干因子加權(quán)的BP成像

為了提高BP算法成像質(zhì)量，不同學(xué)者利用回波信號(hào)的幅度特性和相位特性分別提出了基于CF、PCF因子加權(quán)的成像方法。CF是一種基于接收陣列回波數(shù)據(jù)空間譜的自適應(yīng)旁瓣抑制方法，是陣列數(shù)據(jù)相干能量與非相干能量和的比值，與目標(biāo)距天線的距離和目標(biāo)散射系數(shù)無關(guān)。BP成像中的CF（x，z）如公式（10）所示。

（10）

式中：分子為在延時(shí)-相加波束形成中得到的相干量；分母為MN倍的非相干量的和。在理想情況下，點(diǎn)散射中心的CF近似為1，在整個(gè)成像區(qū)域，CF為0～1，CF與散射信號(hào)的幅度變化相對(duì)獨(dú)立。在圖像中，CF較高的像素點(diǎn)聚焦質(zhì)量很好，其需要保持幅度；CF較低的像素點(diǎn)聚焦質(zhì)量較差，其幅值需要削弱[5-7]。加入相干因子的成像結(jié)果ICF（x，y）如公式（11）所示。

ICF（x，y）=I（x，y）·CF（x，y） " " " （11）

式中：I（x，y）為BP成像結(jié)果。

2.2 基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像

為了提高FFBP算法成像質(zhì)量，本文提出基于FFBP的抑制因子。FFBP算法的成像分辨率隨迭代進(jìn)行逐步提高，在每次迭代過程中都會(huì)引入時(shí)延差值，直接類比BP成像中的相干因子，將不同子孔徑視為不同通道，效果不佳。

本文在FFBP算法的最后一次迭代前引入抑制因子，減少FFBP算法在迭代過程中由時(shí)延差值導(dǎo)致的誤差，將不同通道迭代得到的像素值和的平方作為引入的抑制因子，在FFBP成像中k次迭代之前引入的抑制因子CFk-1（uk-1，vk-1）如公式（12）所示。

（12）

式中：mk和nk為第k次迭代合并的天線數(shù)量和網(wǎng)格再次劃分的數(shù)量；Ip'q'，k-1（uk-1，vk-1）為第k-1次迭代得到的像素值。

與BP成像中的相干因子加權(quán)方式不同，在FFBP成像中，須將抑制因子與每個(gè)融合后子孔徑對(duì)應(yīng)的圖像進(jìn)行加權(quán)，第k-1次迭代的加權(quán)后結(jié)果如公式（13）所示。

I'pq，k-1（uk-1，vk-1）=Ipq，k-1（uk-1，vk-1）·CFk-1（uk-1，vk-1）" " " " "（13）

將加權(quán)后的值I'pq，k-1（uk-1，vk-1）代入公式（9）進(jìn)行最后一次迭代，得到最終的成像結(jié)果Ipq，k（uk，vk），如公式（14）所示。

（14）

3 試驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證本文提出的基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像方法的成像效果，將AWR1843雷達(dá)傳感器放置在掃描架上進(jìn)行平面掃描。發(fā)射信號(hào)調(diào)頻斜率Kr為63.343 MHz/μs，中心頻率fc為77 GHz，采樣點(diǎn)數(shù)為256，采樣頻率fs為9.121 MHz。

掃描架水平運(yùn)行速度為2 m/min，開發(fā)板信號(hào)采樣間隔為18 ms，

天線間等效采集間隔為0.6 mm，水平采集360點(diǎn)后向下垂直位移2 mm繼續(xù)采集，得到360個(gè)×100個(gè)等效面陣采集數(shù)據(jù)。

分別采集距離面陣0.31 m處的鐵鉗子和鐵圓環(huán)數(shù)據(jù)，使用FFBP和基于抑制因子加權(quán)的FFBP對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行成像試驗(yàn)，編程軟件為MATALB2021a，以目標(biāo)所在位置為中心選取成像區(qū)域，成像區(qū)域網(wǎng)格數(shù)劃分為4個(gè)×360個(gè)×100個(gè)，對(duì)應(yīng)成像區(qū)域大小為0.16 m×2.00 m×2.16 m。2種方法分別運(yùn)行20次，F(xiàn)FBP算法耗時(shí)2.238 8 s，基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像方法耗時(shí)2.264 0 s。

鐵鉗子 FFBP 成像結(jié)果如圖3所示，鐵鉗子基于抑制因子加權(quán)的 FFBP成像結(jié)果如圖 4 所示，圖像動(dòng)態(tài)顯示范圍均為-25 dB～0 dB。鐵圓環(huán)的FFBP 成像結(jié)果如圖5所示，鐵圓環(huán)基于抑制因子加權(quán)的 FFBP 成像結(jié)果如圖 6 所示，圖像動(dòng)態(tài)顯示范圍均為-25 dB～0 dB。

從圖3～圖6可以看出基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像提升了成像質(zhì)量，對(duì)FFBP成像中一些由近似、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等因素導(dǎo)致的誤差抑制效果明顯，成像耗時(shí)接近。

4 結(jié)論

FFBP算法為BP算法的加速算法，成像質(zhì)量不高，為提升成像質(zhì)量，本文提出基于抑制因子加權(quán)的FFBP成像算法。試驗(yàn)結(jié)果說明該算法運(yùn)行時(shí)間基本相同，可以有效提升成像質(zhì)量。本文抑制因子僅考慮與幅度有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的相干因子，將抑制因子放在最后一次迭代之前，后續(xù)可以進(jìn)一步研究與相位有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的相位相干因子或者其他在BP成像中抑制效果不錯(cuò)的加權(quán)因子，也可以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換部分就對(duì)抑制因子進(jìn)行加權(quán)。

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