【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教材中難度比較高的知識點，相對艱深晦澀，可能會給很多學(xué)生帶來學(xué)習障礙.想要解決二次函數(shù)問題不能依靠生搬硬套定義和公式，而是需要巧借“數(shù)形結(jié)合”的理念，利用函數(shù)圖象反映數(shù)學(xué)問題中的各個參數(shù)和條件，找到解題的入手點.本文將從基礎(chǔ)訓(xùn)練、拓展提升、拔高練習的層面介紹用“數(shù)形結(jié)合”思想解決“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”相關(guān)數(shù)學(xué)問題的方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)問題；初中數(shù)學(xué)

1 “數(shù)形結(jié)合”巧解二次函數(shù)問題——“二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”

1.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

（1）課前預(yù)習測試

教師要求學(xué)生提前預(yù)習教材內(nèi)容，結(jié)合課內(nèi)外資源完成“預(yù)習反饋”任務(wù)卡.

函數(shù)y=x2的圖象開口，對稱軸為，頂點是；在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而.

函數(shù)y=－x2的圖象開口，對稱軸為，頂點是；在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而.

教師要求學(xué)生綜合教材給出的知識點及“預(yù)習反饋”任務(wù)卡填寫內(nèi)容，嘗試畫出二次函數(shù)y=x2的圖象.學(xué)生在教師的指導(dǎo)下按照“列表→描點→連線”完成了這一任務(wù)，見表1.

y=x2的函數(shù)圖象如下：

1.2 拓展提升——y=（ k－1）x2的函數(shù)圖象

問題1 要求學(xué)生在掌握y=ax2函數(shù)圖象繪制方法的基礎(chǔ)上，嘗試畫出y=－ax2（a＞0）的圖象，并且探究兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

根據(jù)圖2給出的函數(shù)圖象，學(xué)生可以總結(jié)出“這兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，開口方向相反，開口大小相同，關(guān)于x軸對稱”.

問題2 嘗試畫出二次函數(shù)y=－12x2，y=－x2，？偆ay=－2x2的函數(shù)圖象，觀察三個函數(shù)圖象的開口大小及其與a的大小之間的關(guān)系.

學(xué)生觀察圖象后發(fā)現(xiàn)：對于拋物線 y=ax2 ，當a＜0時，a越小，開口越小，即|a|越大，拋物線的開口越小.

問題3 觀察函數(shù)y=（ k－1）x2的圖象（如圖4），求k的取值范圍.

通過觀察函數(shù)圖象可以看出，該函數(shù)開口向上，則k－1＞0，即k＞1.

1.3 拔高練習

經(jīng)過基礎(chǔ)訓(xùn)練和拓展提升環(huán)節(jié)的練習，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了二次函數(shù)y=ax2函數(shù)圖象的畫法和性質(zhì)，也可以解決一些相關(guān)的基礎(chǔ)問題.

問題1 如圖5，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標以及兩交點與原點所圍成的三角形的面積.

由題意得y=3x+4y=x2，

解得x=4y=16或x=－1y=1，

通過計算可得兩函數(shù)的交點坐標為A（4，16）和B（－1，1）.

因為直線y＝3x＋4與y軸相交于點C（0，4），即CO＝4，

所以S△ACO=12×4×4=8，S△BOC=12×4×1=2，

所以S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.

問題2 已知二次函數(shù)y＝2x2的圖象（見圖6），

（1）若點（－2，y1）與（3，y2）在此二次函數(shù)圖象上，則 y1 y2；（填“＞”“＝”或“＜”）；

（2）此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，0），長方形ABCD的頂點A、B在x軸上，C、D恰好在二次函數(shù)圖象上，B點的橫坐標為2，求圖中陰影部分的面積之和.

求解第（1）問時可以按照如下步驟：

將（－2，y1）代入二次函數(shù)y＝2x2中，求得y1=2×（-2）2=8；

將（3，y2）代入二次函數(shù)y＝2x2中，求得y2=2×32=18；

因此y1＜y2.

求解第（2）問時可以按照如下步驟：

因為二次函數(shù)y＝2x2的圖象經(jīng)過點C，點C的橫坐標與點B的橫坐標一樣，為2，

所以當x＝2時，y＝2×22＝8．

因為拋物線和長方形都是軸對稱圖形，且y軸為它們的對稱軸，

所以在長方形ABCD內(nèi)，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積，

所以S陰影部分面積之和＝2×8＝16．

2 結(jié)語

根據(jù)分析和研究可以發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”的思想在引導(dǎo)學(xué)生解決二次函數(shù)相關(guān)問題時可以產(chǎn)生比較好的效果.因此，教師可以基于教材整合的知識點和課堂教學(xué)內(nèi)容設(shè)計課后作業(yè)和能力訓(xùn)練數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生得以利用所學(xué)知識和自身能力循序漸進地解決基礎(chǔ)訓(xùn)練、能力提升和拔高訓(xùn)練中給出的數(shù)學(xué)問題，逐步挖掘自身潛力，找到正確的解題方向和方法，從而攻克二次函數(shù)的重難點知識.當學(xué)生掌握利用“數(shù)形結(jié)合”思想解決二次函數(shù)問題的方法之后也可以基于這一理念舉一反三，解決其他方面的數(shù)學(xué)問題.

參考文獻：

[1]張程燕.數(shù)形結(jié)合巧運用，零點分布妙化解——淺談對二次函數(shù)零點分布問題解題教學(xué)的研究[J].數(shù)學(xué)之友，2021（01）：62-65.

[2]黃加陽.數(shù)形結(jié)合思想在解二次函數(shù)問題中的應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）：45-47.