摘 要：

針對算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）無法對離散二進制型問題進行優(yōu)化的局限，提出一種使用sigmoid函數(shù)變體實現(xiàn)的離散二進制算術(shù)優(yōu)化算法（BAOA_S），解決了原始算法無法用于離散二進制變量優(yōu)化的問題。進一步提出一種基于突變策略實現(xiàn)的多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）。該算法將原始種群劃分為多個子種群，子種群間通過通信策略進行交流，并使用突變策略進一步增強種群多樣性，克服了BAOA_S無法跳出局部最優(yōu)解的缺陷?；贑EC2013基準函數(shù)將MS-BAOA與BAOA_S、二進制粒子群算法（binary particle swarm optimization algorithm，BPSO）、二進制灰狼優(yōu)化算法（binary gray wolf optimizer，BGWO）、二進制魚群遷徙算法（binary fish migration optimization algorithm，BFMO）以及二進制均衡優(yōu)化器（binary equilibrium optimizer，BiEO）進行了對比，實驗結(jié)果顯示MS-BAOA總體上優(yōu)于對比算法。將MS-BAOA應(yīng)用于配電網(wǎng)故障區(qū)段定位中，實驗結(jié)果顯示該算法能夠?qū)ε潆娋W(wǎng)單點故障以及多點故障實現(xiàn)快速精準定位，進一步驗證了該算法的實用性。

關(guān)鍵詞：算術(shù)優(yōu)化算法；離散二進制；多種群；配電網(wǎng)；故障定位

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2024）12-019-3664-07

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.04.0158

Multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm and its application

Wang Ruobin1a，1b， Geng Fangdong1a，2， Wang Jiawei1a， Xu Lin3， Duan Jianyong1a

（1.a.School of Information Science amp; Technology， b.Beijing Urban Governance Research Center， North China University of Technology， Beijing 100144， China; 2.State Key Laboratory of Traction Power， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 3.STEM， University of South Australia， Adelaide 5095， Australia）

Abstract：

To address the issue that AOA is not applicable to discrete binary type optimization problems， this paper proposed a novel algorithm： the discrete binary arithmetic optimization algorithm employing a variant of the sigmoid function （BAOA_S）. This algorithm was capable of overcoming the challenge of the original AOA’s inability to optimize discrete binary variables. In addition， this paper proposed a multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm （MS-BAOA） employing a mutation stra-tegy to divide the original population into multiple sub-swarms that communicated with one another through the use of specific communication strategies. The mutation strategy was then employed to enhance population diversity， addressing a weakness of the BAOA_S algorithm： the challenge of escaping local optimal solutions. This paper evaluated MS-BAOA against BAOA_S， BPSO， BGWO， BFMO， and BiEO based on the CEC2013 benchmark function. And the experimental results show that MS-BAOA is generally superior to the other algorithms. Furthermore， this paper applied MS-BAOA to solve the fault localization problem of distribution networks. And the experimental results show that the algorithm can realize the fast and accurate localization of single-point faults and multi-point faults in distribution networks further verifying the effectiveness of the algorithm.

Key words：arithmetic optimization algorithm（AOA）; discrete binary; multi-swarm; distribution network; fault location

0 引言

元啟發(fā)式算法（meta-heuristic algorithm）是一種重要的優(yōu)化技術(shù)方法，是基于計算機技術(shù)優(yōu)化的一個重要研究方向。它能夠解決各種復(fù)雜的組合優(yōu)化問題，被廣泛應(yīng)用于信號處理、生產(chǎn)調(diào)度、工程優(yōu)化、圖像處理和任務(wù)分配等眾多領(lǐng)域。相比傳統(tǒng)的優(yōu)化方法（如牛頓法、單純形法等），元啟發(fā)式算法在解決復(fù)雜性高、約束性強的實際工程優(yōu)化問題時往往表現(xiàn)得更加高效，也因此被廣泛應(yīng)用于電子、通信、計算機以及經(jīng)濟學(xué)等諸多學(xué)科的復(fù)雜優(yōu)化問題中。然而，傳統(tǒng)的元啟發(fā)式算法只能解決連續(xù)優(yōu)化問題，無法直接應(yīng)用于二進制型優(yōu)化問題，如特征選擇問題、車間調(diào)度問題以及輻射型配電網(wǎng)故障區(qū)段定位問題等。因此，如何設(shè)計高效的二進制版本的元啟發(fā)式算法以探索其在二進制優(yōu)化問題中的應(yīng)用成為研究的重點?；诖耍孕绿岢龅乃阈g(shù)優(yōu)化算法（AOA）為例，重點關(guān)注智能優(yōu)化算法的二值化方法以及改進策略，并探究其在輻射型配電網(wǎng)故障區(qū)段定位實際應(yīng)用問題中的具體表現(xiàn)。

算術(shù)優(yōu)化算法是一種基于種群的新型元啟發(fā)式算法，通過模擬數(shù)學(xué)中的加法、減法、乘法、除法等運算符操作進行科學(xué)優(yōu)化［1］。相比粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）和差分進化算法（differential evolution，DE）等經(jīng)典算法，其操作更加簡單且尋優(yōu)精度高，能夠從諸多候選解中快速找出符合特定標(biāo)準的最佳解。因此，以AOA解決配電網(wǎng)故障定位問題具有一定的適應(yīng)性和先進性。

輻射型配電網(wǎng)中的故障區(qū)段定位問題是一種典型的二進制優(yōu)化問題，其目的在于根據(jù)二進制故障信息實現(xiàn)對故障區(qū)段的精準定位。然而，傳統(tǒng)的配電網(wǎng)故障區(qū)段定位方法如矩陣法等容錯性較差，容易發(fā)生誤判［2］。因此，如何設(shè)計高性能的二進制版本元啟發(fā)式算法以實現(xiàn)快速精準地定位配電網(wǎng)故障區(qū)段成為新的研究熱點。

配電網(wǎng)故障區(qū)段定位中，在一定區(qū)域內(nèi)是否含有故障信息本質(zhì)上是二進制變量，但原始的算術(shù)優(yōu)化算法是針對連續(xù)變量進行優(yōu)化求解的。因此，如何設(shè)計二進制化方法使得算術(shù)優(yōu)化算法可以用于該問題的優(yōu)化成為研究的重點。元啟發(fā)式算法的離散二進制化主要包括兩種方式：a）將傳統(tǒng)算法的搜索空間壓縮到［0，1］，將新位置值和某一閾值（比如0.5）比較，大于該閾值設(shè)置為1，否則為0；b）使用傳遞函數(shù)（transfer function）將位置值轉(zhuǎn)換為選擇為1的概率，將此概率與隨機數(shù)比較，大于隨機數(shù)設(shè)置為1，否則為0［3］。相比較而言，利用傳遞函數(shù)進行離散二進制化的方法操作更加簡單且尋優(yōu)速度快，因此受到研究人員的廣泛關(guān)注。然而，基于傳遞函數(shù)實現(xiàn)的二進制算法仍然面臨容易陷入局部最優(yōu)且求解精度低的問題。因此，如何提升基于傳遞函數(shù)實現(xiàn)的二進制算法的性能成為研究的重點。

基于此，提出一種使用sigmoid函數(shù)變體實現(xiàn)的離散二進制算術(shù)優(yōu)化算法（binary arithmetic optimization algorithm， BAOA_S），與傳統(tǒng)S型傳遞函數(shù)相比收斂速度更快，并提出一種基于突變策略實現(xiàn)的多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithm， MS-BAOA），該算法將原始種群劃分為兩個子種群，增加了種群多樣性，提高了算法的求解精度，同時引入的突變策略進一步解決了BAOA_S種群單一的問題，克服了BAOA_S容易陷入局部最優(yōu)解的缺陷。將MS-BAOA應(yīng)用于配電網(wǎng)故障區(qū)段定位中，實現(xiàn)了對配電網(wǎng)單點故障和多點故障區(qū)段的快速精準定位。

1 相關(guān)工作

元啟發(fā)式算法又稱智能優(yōu)化算法（intelligent optimization algorithm），是一種基于計算智能解決復(fù)雜優(yōu)化問題的方法。智能優(yōu)化通過模擬生物群體行為、物理現(xiàn)象、化學(xué)現(xiàn)象以及人類智能等揭示算法設(shè)計的原理，并根據(jù)特定問題提煉出相應(yīng)迭代搜索模型，從而構(gòu)建智能化的優(yōu)化算法。

經(jīng)典的元啟發(fā)式算法包括模擬鳥群和魚群的粒子群算法、模擬生物進化機制的遺傳算法以及模擬群體內(nèi)個體間的合作競爭的差分進化算法等。目前，相關(guān)研究除了對原始算法進行改進和完善以外，提出性能更好且操作簡單的新算法也成為重要的研究方向之一，比如模擬亨利定律行為的亨利氣體溶解度優(yōu)化算法［4］、模擬群體免疫策略和社交距離的冠狀病毒群體免疫優(yōu)化算法［5］、模擬塘鵝覓食行為的塘鵝優(yōu)化算法［6］以及模擬數(shù)學(xué)運算符操作的算術(shù)優(yōu)化算法［1］等，這些研究不同程度地促進了元啟發(fā)式算法的多元化發(fā)展。算術(shù)優(yōu)化算法是一種新型的元啟發(fā)式算法，其靈感來源于算術(shù)運算中的四則運算符操作（即乘法、除法、加法和減法），由于其操作簡單且尋優(yōu)速度快，所以在多個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。Khatir等人［7］提出基于算法優(yōu)化算法的改進人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于解決功能分級材料的損傷量化問題。Agushaka等人［8］ 利用自然對數(shù)和指數(shù)算子所能產(chǎn)生的高密度值來增強 AOA 的探索能力，在工程設(shè)計問題中表現(xiàn)出了優(yōu)異的性能。Premkumar等人［9］提出一種多目標(biāo)算術(shù)優(yōu)化算法，解決了真實世界中的受限多目標(biāo)優(yōu)化問題。鄭婷婷等人［10］在2021年通過引入自適應(yīng)t分布變異策略和余弦控制因子的動態(tài)邊界策略提出了一種改進算術(shù)優(yōu)化算法，與鯨魚優(yōu)化算法、灰狼優(yōu)化算法等算法的對比實驗驗證了所改進算法在解決大規(guī)模優(yōu)化問題時的優(yōu)異性能。蘭周新等人［11］2022年提出的多策略融合算術(shù)優(yōu)化算法提高了原算法的求解精度和收斂速度，為工程設(shè)計優(yōu)化問題提供了新的解決方案。

雖然各種元啟發(fā)式算法已經(jīng)應(yīng)用于較多復(fù)雜優(yōu)化問題，比如旅行商問題［12］、路徑規(guī)劃［13，14］、工程優(yōu)化［15］、資源分配［16］等。然而，許多實際應(yīng)用優(yōu)化屬于離散型優(yōu)化問題，如特征選擇、生產(chǎn)調(diào)度、選址問題、裝箱問題以及模型優(yōu)化問題等。為了使元啟發(fā)式算法能夠解決這些離散型問題，將連續(xù)值轉(zhuǎn)換為二進制值提供了一種可行的研究思路，因此有必要對原始算法進行改進，實現(xiàn)相應(yīng)的二進制版本。元啟發(fā)式算法的離散二進制算法早期可追溯到Kennedy和Eberhart在1997年提出的離散二進制粒子群算法（binary particle swarm optimization， BPSO），該算法使用sigmoid作為傳遞函數(shù)將連續(xù)運動空間映射到了離散問題空間，解決了離散變量的優(yōu)化問題。之后國內(nèi)外學(xué)者在原算法上進行了改進和完善，并提出了新的離散二進制算法。Mirjalili等人［17］提出二進制蝙蝠算法（binary bat algorithm， BBA），并通過實驗驗證了該算法在大多數(shù)基準數(shù)據(jù)集上的性能優(yōu)于經(jīng)典遺傳算法和粒子群算法。Emary等人［18］基于sigmoid傳遞函數(shù)提出兩種二進制灰狼優(yōu)化算法（binary gray wolf optimization， BGWO），并將其應(yīng)用于特征選擇領(lǐng)域，在最小化選取特征數(shù)量的同時最大限度地提高了分類精度。Arora等人［19］使用S型和V型傳遞函數(shù)提出了兩種二進制蝴蝶優(yōu)化算法（binary butterfly optimization algorithm， BBOA），并證明了該算法在搜索特征空間和選擇分類任務(wù)中的優(yōu)勢。Pan等人［20］引入新的傳遞函數(shù)，提出二進制版本的魚群遷徙算法（binary fish migration algorithm， BFMO），并引入了ABFMO算法解決了算法停滯和容易陷入局部最優(yōu)的問題。Faramarzi等人［21］提出二進制版本的均衡優(yōu)化器（binary equilibrium optimizer，BiEO），對比實驗證明了與同類算法的顯著差異，同時驗證了在解決高維優(yōu)化問題時BiEO表現(xiàn)出的優(yōu)異性能。孫林等人［22］基于S型和V型傳遞函數(shù)提出二進制哈里斯鷹優(yōu)化算法，并結(jié)合KNN（k-nearest neighbor classification）分類器實現(xiàn)兩種元啟發(fā)式特征選擇方法，在15個數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果證明了所提出的基于V型傳遞函數(shù)改進的特征選擇算法具備良好的尋優(yōu)能力與分類性能。李忠兵等人［23］提出一種粗精選策略二進制灰狼優(yōu)化算法，實現(xiàn)了在紅外光譜特征提取方面的優(yōu)秀能力，促進了光譜檢測技術(shù)在生物制藥等領(lǐng)域的應(yīng)用。

盡管以上研究都提出了相應(yīng)的二進制版本的優(yōu)化算法用于探索其在二進制型優(yōu)化方面的應(yīng)用，然而它們沒有充分考慮到種群單一性所導(dǎo)致的收斂速度慢等問題。面對優(yōu)化問題的復(fù)雜性，根據(jù)無免費午餐原理，需提出性能更加優(yōu)越的改進算法或新算法來適應(yīng)更具挑戰(zhàn)性的實際應(yīng)用需求。

基于此，本文提出一種基于二進制方法改進的算術(shù)優(yōu)化算法，并引入新的sigmoid函數(shù)變體作為傳遞函數(shù)，與經(jīng)典sigmoid傳遞函數(shù)相比，收斂速度更快且尋優(yōu)精度高。其次，引入多種群策略和突變策略增強算法多樣性，子種群間執(zhí)行通信策略以防止子種群陷入局部最優(yōu)，進一步提升算法性能。將其應(yīng)用于配電網(wǎng)故障定位中，有利于實現(xiàn)離散型配電網(wǎng)的單點故障以及多點故障的快速精準定位。

2 算術(shù)優(yōu)化算法及其改進

2.1 算術(shù)優(yōu)化算法

算術(shù)優(yōu)化算法是一種模擬數(shù)學(xué)中的算術(shù)運算符操作的新型元啟發(fā)式算法。與其他元啟發(fā)式算法類似， AOA也包括了探索（exploration）階段和開發(fā)（exploitation）階段，在探索階段，搜索代理根據(jù)乘除運算符操作進行位置更新，保障算法全局搜索的能力；在開發(fā)階段，搜索代理根據(jù)加減運算符操作進行位置更新，保障算法局部開發(fā)的能力。

1）數(shù)學(xué)加速器加速函數(shù)

AOA通過數(shù)學(xué)優(yōu)化器加速函數(shù)（math optimizer accelerated， MOA）選擇執(zhí)行全局搜索階段還是局部開發(fā)階段，當(dāng)r1gt;MOA時，AOA進入全局探索階段，當(dāng)r1lt;MOA時，AOA進入局部開發(fā)階段。MOA的計算如式（1）所示。

MOA（t）=Min+t×Max-Min T（1）

其中：r1表示0～1的隨機數(shù)；Min 與 Max分別是加速函數(shù)的最小值和最大值，為 0.2和1；T表示最大迭代次數(shù)；t表示當(dāng)前迭代。

2）探索階段

AOA利用除法運算和乘法運算操作實現(xiàn)全局搜索。當(dāng)r2gt;0.5時，AOA執(zhí)行乘法搜索策略，當(dāng)r2lt;0.5時，算法執(zhí)行除法搜索策略。探索階段的位置更新如式（2）所示。

X（t+1）=Xb（t）MOP+ξ×（（（UB－LB）×μ+LB））" r2lt;0.5

Xb（t）×MOP×（（UB－LB）×μ+LB） else （2）

其中：r2為0～1的隨機數(shù)；UB（upper bond）表示搜索空間的最大值；LB（lower bond）表示搜索空間的最小值；μ表示搜索過程中的控制參數(shù)，值為0.499；ξ為一個極小值；Xb（t）表示第t次迭代的最優(yōu)值。MOP表示數(shù)學(xué)優(yōu)化器概率（math optimizer probability），計算公式為

MOP（t+1）=1－t1/α/T1/α（3）

其中：α是一個敏感系數(shù)，表示迭代過程中的局部開發(fā)精度，取值為5。

3）開發(fā)階段

AOA利用加法運算和減法運算進行局部開發(fā)，當(dāng)r3gt;0.5時算法執(zhí)行加法運算，當(dāng)r3lt;0.5時算法執(zhí)行減法運算，位置更新公式為

X（t+1）=Xb（t）－MOP×（（UB－LB）×μ+LB" r3lt;0.5

Xb（t）+MOP×（（UB－LB）×μ+LBelse （4）

其中：r3表示0～1的隨機數(shù)。

AOA的具體流程如圖1所示。

2.2 多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法

2.2.1 傳遞函數(shù)

在AOA中，算術(shù)運算得到的是連續(xù)值，而在二進制算術(shù)優(yōu)化算法中，算術(shù)運算符操作只能在搜索空間中獲取{0，1}的值。在空間中利用這兩個值可以解決許多的優(yōu)化問題，比如特征選擇、機組組合、生產(chǎn)調(diào)度等。雖然AOA在連續(xù)型空間中表現(xiàn)良好，但該算法仍然缺乏二進制版本。

為了將連續(xù)空間轉(zhuǎn)換為二進制空間，二進制元啟發(fā)式算法通常采用傳遞函數(shù)將位置映射到［0，1］，然后將映射后的概率值與［0，1］的隨機數(shù)進行比較，以此確定位置取值是0或1。傳遞函數(shù)的取值決定著0和1的切換速率，因此傳遞函數(shù)對于二進制元啟發(fā)式算法的性能有著重要影響，常用的四種S型傳遞函數(shù)如圖2（a）所示。此時當(dāng)x取值較大時仍有較大概率取值不為1，與原目標(biāo)相矛盾，因此有必要對該函數(shù)進行拉伸，二進制算術(shù)優(yōu)化算法采用修正后的sigmoid函數(shù)變體作為傳遞函數(shù)，其圖像如圖2（b）的S曲線。

在AOA中，算術(shù)運算隨機改變在連續(xù)空間中的位置，而在BAOA中，空間僅限制于由0和1組成的超立方體，不能在空間內(nèi)任意選擇位置。此時為了使AOA適應(yīng)二進制搜索空間，有必要對AOA的模型進行修改。同時，為了充分利用AOA逃避局部最優(yōu)的能力，不應(yīng)對算法進行過度調(diào)整。AOA中的位置更新如式（2）（4）所示，此時當(dāng)取得二進制的0值時，BAOA在探索階段無法跳出局部解，因此需要對探索階段的式（2）進行改進，改進計算方式如式（5）所示 。

X（t+1）=Xb（t）+（-1）randi（［0，1］）MOP+ξ×（（（UB-LB）×μ+LB）） ""r2lt;0.5

（Xb（t）+（-1）randi （［0，1］））×MOP×（（UB-LB）×μ+LB）" else（5）

此時探索階段通過式（5）進行位置更新，開發(fā)階段通過式（4）進行更新，為完成從連續(xù)算法到二進制算法的過渡，仍需要利用傳遞函數(shù)執(zhí)行另一次位置更新。此時需要將式（4）（5）獲得的位置值通過式（6）（7）再次執(zhí)行更新，這時已經(jīng)成功地將連續(xù)值限制到{0，1}。

trans_val=1/（1+exp（－5×（Xb－0.5）））（6）

Xb=1" trans_val≥rand0" else（7）

從式（6）可以看出，與常用S型傳遞函數(shù)相比，所提出的修正傳遞函數(shù)斜率更高，這增大了二進制算法的0與1的切換速率，保障了算法的快速收斂能力。同時，由于搜索代理的位置被限制在了{0，1}，所以修正傳遞函數(shù)向右平移0.5個單位，以保證0和1取值的公平性。假設(shè)當(dāng)x取值為0.8時，對比修正傳遞函數(shù)和常用S型傳遞函數(shù)的值可得，修正S型傳遞函數(shù)的y值為0.817 6，其他S型傳遞函數(shù)的y值分別為0.832 0、0.690 0、0.598 7以及0.566 3，這些值表示了連續(xù)位置值轉(zhuǎn)換為1的概率。當(dāng)搜索代理位置發(fā)生移動時，例如向左移動0.1個單位，此時修正S型傳遞函數(shù)的y值變化為0.731 1，變化差值為0.086 5，其他傳遞函數(shù)的y值分別變化為0.802 2、0.668 2、0.586 6和0.558 1，差值分別為0.029 8、0.021 8、0.012 1以及0.008 2，均小于修正S型傳遞函數(shù)的值，這表明所提修正傳遞函數(shù)擁有更高的0和1切換概率，有利于避免算法陷入局部最優(yōu)。

2.2.2 多種群策略和突變策略

為進一步提升二進制算術(shù)優(yōu)化算法的性能，引入多種群策略和突變策略實現(xiàn)一種多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）。其中，多種群策略表示為將整個種群劃分為2個規(guī)模相同的子種群，每個子種群獨立進行迭代并通過通信策略進行交流，通信過程交換部分個體。通信策略對子種群的性能有著重要的影響，MS-BAOA采用兩種適合于算術(shù)優(yōu)化算法的子種群通信策略。如圖3所示，通信策略1表示算法每執(zhí)行K次迭代，子種群1和2的最優(yōu)個體被全局最優(yōu)個體替換；通信策略2表示算法每執(zhí)行M次迭代，子種群1和2交換最優(yōu)個體。

盡管多種群策略增加了算法的種群多樣性，然而由于算術(shù)優(yōu)化算法僅通過種群最優(yōu)值進行位置更新的獨特機制，使算法容易陷入局部最優(yōu)。所以通過引入突變策略進一步增加種群多樣性，防止算法過早收斂。如圖4所示，突變策略表示為每次迭代后都對種群最優(yōu)個體隨機選取dim/2個維度值進行突變，突變后的新個體重新計算適應(yīng)度，如果新個體的適應(yīng)度值優(yōu)于原始個體，則替換突變前的個體進入下次迭代，否則，仍保留原始個體。

基于以上策略，實現(xiàn)多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法（multi-swarm binary arithmetic optimization algorithms，MS-BAOA）的主要流程如圖5所示。

3 性能對比實驗

3.1 不同傳遞函數(shù)對比

為評估MS-BAOA的性能以及所提策略對算法性能的影響，選取了CEC2013基準測試函數(shù)中的11個函數(shù)對MS-BAOA以及BAOA_S、BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4進行測試。其中，MS-BAOA表示所提基于突變策略的多種群二進制算術(shù)優(yōu)化算法， BAOA_S表示使用修正傳遞函數(shù)并不使用多種群策略和突變策略的二進制算術(shù)優(yōu)化算法，BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4分別表示使用S1、S2、S3、S4傳遞函數(shù)但不使用所提出策略的二進制算術(shù)優(yōu)化算法，S1、S2、S3、S4表達式在圖2中列出。

由于CEC2013測試函數(shù)是針對連續(xù)型算法進行測試的函數(shù)集，所以考慮由0和1組成的矩陣空間在CEC2013上的最佳解為二進制算法的最優(yōu)解，當(dāng)二進制算法越貼近該最佳解時，證明算法的性能越優(yōu)。由于每一維度的搜索空間被限制在了{0，1}，所以對于30維的CEC2013測試函數(shù)來說，二進制算法的搜索空間為230。

為保證實驗的公平性，每種算法的總體規(guī)模設(shè)置為30，最大迭代次數(shù)為200次，實驗運行 30次。BAOA族算法對比實驗結(jié)果如表1所示，AVG表示30次獨立實驗的平均值，STD表示標(biāo)準差，RANK表示Friedman檢驗平均排名?？梢钥闯?，BAOA_S相比于BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4表現(xiàn)更加出色，僅在f7、 f8、 f13上未達到最優(yōu)，整體排名第一，這表明了所提出的修正傳遞函數(shù)相比于傳統(tǒng)S型傳遞函數(shù)性能更優(yōu)，驗證了所提出的傳遞函數(shù)的有效性。進一步，將使用多種群策略和突變策略的MS-BAOA與未使用多種群策略和突變策略的BAOA_S相比，由于MS-BAOA和BAOA_S都是使用修正后的傳遞函數(shù)，所以兩者在測試函數(shù)上的表現(xiàn)差異證明了所提出的多種群策略和突變策略的有效性。 同時，MS-BAOA和BAOA_S1、BAOA_S2、BAOA_S3、BAOA_S4相比，MS-BAOA在11個函數(shù)中的9個函數(shù)上排名第一，僅在f8和f13上沒有達到最佳，表明所提出的修正傳遞函數(shù)和多種群策略以及突變策略對提升算法性能是有效的。

3.2 與其他二進制算法對比

為進一步驗證MS-BAOA的性能，將MS-BAOA與經(jīng)典二進制算法BPSO、BGWO、BFMO以及BiEO進行對比，每種算法的種群規(guī)模設(shè)置為30，最大迭代次數(shù)為200次，實驗結(jié)果取30次獨立實驗的平均值。

實驗結(jié)果如表2所示，從表中數(shù)據(jù)可以看出，MS-BAOA在11個函數(shù)中的9個函數(shù)上排名第一，僅在f1函數(shù)上差于BiEO，在f8函數(shù)上差于BFMO，整體排名第一，優(yōu)于其他四種算法，這證明了所提MS-BAOA在解決二進制優(yōu)化問題上具有一定的優(yōu)越性。

4 配電網(wǎng)故障區(qū)段定位

配電網(wǎng)的運行狀況復(fù)雜多變，相比輸電網(wǎng)而言更容易受到天氣因素和人為因素的影響，因此所遭受故障的概率也遠大于輸電網(wǎng)。根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，超過80%的停電事故起源于配電網(wǎng)故障。因此，快速、準確地實現(xiàn)配電網(wǎng)故障區(qū)段定位有利于保障供電的可靠性和連續(xù)型，對提高配電網(wǎng)運行效率具有重要的意義。本章應(yīng)用MS-BAOA解決配電網(wǎng)故障區(qū)段定位問題，以探究MS-BAOA在實際應(yīng)用的有效性。

4.1 配電網(wǎng)故障區(qū)段定位原理

1）區(qū)段狀態(tài)編碼

配電網(wǎng)中的重要設(shè)備包括斷路器、分段開關(guān)、聯(lián)絡(luò)開關(guān)等，這些設(shè)備在區(qū)段定位中被稱為節(jié)點。它們將配電線路分成了多個小段，這些小段稱之為區(qū)段。當(dāng)配電網(wǎng)發(fā)生故障時，采集節(jié)點的故障信息就能夠判定出故障的發(fā)生區(qū)段。配電網(wǎng)線路的區(qū)段狀態(tài)用si表示，其編碼規(guī)則如下：

si=1" 區(qū)段存在故障0" 區(qū)段不存在故障 （8）

2）節(jié)點狀態(tài)編碼

配電網(wǎng)的開關(guān)即節(jié)點的狀態(tài)用Ij表示，對于傳統(tǒng)的輻射型配電網(wǎng)，其編碼規(guī)則如下：

Ij=1" 有故障電流通過0" 無故障電流通過 （9）

3）期望函數(shù)

當(dāng)輻射型配電網(wǎng)某區(qū)段發(fā)生故障時，只有靠近電源上游的節(jié)點才能產(chǎn)生故障電流，遠離電源的下游節(jié)點不能產(chǎn)生故障電流。因此輻射型配電網(wǎng)中同一條主線路的各分段開關(guān)的期望函數(shù)構(gòu)建規(guī)則如下：

I*i=s1∪s2∪…∪si（10）

其中：I*i表示節(jié)點i狀態(tài)的期望值；si表示處于相關(guān)節(jié)點 i下游的區(qū)段狀態(tài)的假設(shè)值。

如圖6所示，圖中S表示電源，K1～K14表示斷路器節(jié)點，每個斷路器上均有一個饋線終端單元（feeder terminal unit，

FTU），可以反饋斷路器開關(guān)是否過流，用于表示上傳的故障信息，S1～S14表示區(qū)段。

當(dāng)S10發(fā)生故障，其他區(qū)段正常時，此時區(qū)段狀態(tài)假設(shè)為

［S1－S14］=［00000000010000］（11）

此時根據(jù)式（10）可計算出非故障支路上所有節(jié)點狀態(tài)的期望值。

I*1=s1∪s2∪s3∪s4∪s5∪s6=0I*2=s2∪s3∪s4∪s5∪s6=0I*3=s3∪s4∪s5∪s6=0I*4=s4∪s5∪s6=0I*5=s5∪s6=0I*6=s6=0I*7=s7∪s8∪s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*8=s8∪s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*9=s9∪s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1I*10=s10∪s11∪s12∪s13∪s14=1

I*11=s11∪s12∪s13∪s14=0

I*12=s12∪s13∪s14=0

I*13=s13∪s14=0

I*14=s14=0 （12）

因此可得所有節(jié)點的期望值為

［I*1－I*14］=［00000011110000］（13）

如果真實故障發(fā)生在區(qū)段S10，則節(jié)點狀態(tài)的真實值為

［I*1－I*14］=［00000011110000］（14）

對比兩種結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，期望值和真實值相同，因此期望函數(shù)式（8）真實刻畫了輻射型配電網(wǎng)的電流走向。

4.2 構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)

基于各饋線區(qū)段狀態(tài)的真實信息與實際上傳的故障信息偏差最小的原則，構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)如式（15）所示。

fitness=∑Dimj=1|Ij－I*j（Sj）|+ω∑Dimj=1|Sj|（15）

其中：Ij表示第j個開關(guān)節(jié)點FTU上傳的故障信息；I*j（Sj）表示第j個開關(guān)節(jié)點的期望狀態(tài)；Dim表示配電網(wǎng)中的饋線區(qū)段的總數(shù)；Sj表示第j個區(qū)段的故障狀態(tài)；ω∑Dimj=1|Sj|表示權(quán)系數(shù)與故障設(shè)備數(shù)的乘積；ω是根據(jù)故障診斷理論中的“最小集”概念設(shè)置的權(quán)重系數(shù)，其值在0～1，用于表明故障區(qū)間數(shù)越少解越優(yōu)，避免出現(xiàn)誤診斷，設(shè)置ω=0.5；fitness表示每個潛在解所對應(yīng)的適應(yīng)度值，值越小表示越貼近真實信息，因此適應(yīng)度函數(shù)應(yīng)取極小值。

4.3 實驗及結(jié)果分析

利用MS-BAOA設(shè)計配電網(wǎng)故障定位實驗，通過構(gòu)建兩種輻射型電網(wǎng)模型搭建多種不同實驗場景，兩種電網(wǎng)模型如圖7所示，其中S表示電源，Ki表示斷路器節(jié)點，Si表示配電網(wǎng)區(qū)段。

在輻射型電網(wǎng)模型1中，共有14個斷路器節(jié)點，分別設(shè)置單點故障區(qū)段為S10和多點故障區(qū)段為S2、S10兩種實驗場景；在輻射型電網(wǎng)模型2中，共有12個斷路器節(jié)點，設(shè)置多點故障區(qū)段為S5、S6和S5、S8、S11兩種實驗場景，分別進行獨立實驗。種群大小規(guī)模設(shè)置為10，最大迭代次數(shù)為200，實驗結(jié)果取10次平均值，實驗環(huán)境如表3所示。

將MS-BAOA與BPSO、BGWO、BFMO以及BiEO進行實驗對比，多次實驗結(jié)果的平均值如表4所示，每隔5次迭代的實驗結(jié)果收斂曲線如圖8所示?？梢钥闯觯琈S-BAOA和BiEO在四種實驗場景中都得到了最佳值，除了在模型2中的S5、S6故障區(qū)段場景中收斂速度低于BiEO，在其他場景中均優(yōu)于其他四種算法，這表明了相比于其他算法，MS-BAOA收斂速度更快、精度更高，能夠在較短時間內(nèi)找到最佳解，并準確輸出故障區(qū)段，驗證了MS-BAOA在解決輻射型配電網(wǎng)故障區(qū)段定位上的有效性。

在單點故障發(fā)生時，如模型1的S10區(qū)段發(fā)生短路故障，此時FTU上報故障信息為［00000011110000］，表明節(jié)點開關(guān)7～10經(jīng)歷了故障電流，經(jīng)過MS-BAOA算法計算，輸出結(jié)果為［00000000010000］，顯示饋線區(qū)段S10發(fā)生故障，準確實現(xiàn)了電網(wǎng)模型1中的單點故障定位。多點故障發(fā)生時，如模型2中的S5、S8、S11發(fā)生相間短路故障時，此時FTU上報故障信息為［111111110010］，表明節(jié)點開關(guān)1～8、11經(jīng)歷了故障電流，經(jīng)過MS-BAOA算法計算，輸出結(jié)果為［000010010010］，顯示饋線區(qū)段S5、S8、S11發(fā)生故障，準確實現(xiàn)了電網(wǎng)模型2中的多點故障定位。

5 結(jié)束語

針對算術(shù)優(yōu)化算法無法解決二進制優(yōu)化問題的局限性，提出了一種引入sigmoid函數(shù)變體實現(xiàn)的二進制算術(shù)優(yōu)化算法BAOA_S，突破了AOA在處理離散二進制型優(yōu)化問題上的局限性。進一步地，提出一種基于突變策略的多種群算術(shù)優(yōu)化算法，即MS-BAOA，解決了BAOA_S收斂速度慢、求解精度低的問題。通過與其他算法在CEC2013基準測試函數(shù)上的對比，驗證了MS-BAOA的優(yōu)勢。將MS-BAOA應(yīng)用于輻射型配電網(wǎng)故障定位中，能夠快速準確地定位單點以及多點故障區(qū)段，較好地滿足了配電網(wǎng)故障定位實時準確的要求，進一步驗證了該算法在實際應(yīng)用中的有效性。未來工作中，將進一步探究MS-BAOA在解決大規(guī)模二進制優(yōu)化問題中的具體表現(xiàn)和改進策略，并嘗試將代理模型與MS-BAOA相結(jié)合，用于解決昂貴優(yōu)化問題。

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