摘 要：

針對(duì)花授粉算法易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不足和過(guò)早收斂的問(wèn)題，提出一種基于動(dòng)態(tài)多種群機(jī)制的增強(qiáng)花授粉算法（DMEFPA）。首先，DMEFPA使用一種融合個(gè)體適應(yīng)度值和相對(duì)距離的方法挑選中心個(gè)體，使選出的個(gè)體既保持較高質(zhì)量又保持在搜索空間的分布廣泛，再將剩余個(gè)體劃分到距離最近的中心個(gè)體構(gòu)成多種群，隨后依據(jù)概率來(lái)考慮是否接受種群狀態(tài)變化。其次，各子群通過(guò)隨機(jī)順序動(dòng)態(tài)構(gòu)成環(huán)拓?fù)溥M(jìn)行個(gè)體遷移，以增強(qiáng)種群多樣性避免陷入局部最優(yōu)。最后，通過(guò)改進(jìn)局部搜索策略，以完善對(duì)解空間的探索。選用CEC2017測(cè)試函數(shù)集中的12個(gè)函數(shù)作為性能基準(zhǔn)函數(shù)，將DMEFPA和其他5個(gè)改進(jìn)算法：SCFPA、HLFPA、WOFPA、AMSSA、SHSSA進(jìn)行評(píng)測(cè)，并對(duì)改進(jìn)策略進(jìn)行了消融實(shí)驗(yàn)?；趯?shí)驗(yàn)結(jié)果的Friedman檢驗(yàn)表明，在改進(jìn)策略的共同作用下，DMEFPA能獲取最優(yōu)的性能，且全局收斂性能較為穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：花授粉算法； 多種群； 動(dòng)態(tài)拓?fù)洌?個(gè)體遷移； 局部搜索策略

中圖分類號(hào)：TP301.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號(hào)：1001-3695（2024）12-020-3671-08

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.06.0151

Enhanced flower pollination algorithm by adopting dynamic multi-group mechanism

Li Dahai， Ling Jiyuan， Wang Zhendong

（School of Information Engineering， Jiangxi University of Science amp; Technology， Ganzhou Jiangxi 341000， China）

Abstract：

Aiming at overcoming drawbacks of lower accuracy and being trapped easily to local optimums of the flower pollination algorithm （FPA）， this paper proposed an enhanced flower pollination algorithm based on dynamic multi-subgroup mechanism （DMEFPA）. Firstly， DMEFPA selected the central individuals using a method that combined individual fitness values and relative distances， ensuring that the selected individuals maintain high quality while being widely distributed in the search space. Then， it assigned the remaining individuals to the closest central individuals to form multiple subpopulations， and considered the acceptance of population state changes based on probability. Secondly， each subpopulation dynamically formed a ring topology in a random order for individual migration to enhance population diversity and avoid local optima. Finally， the algorithm improved local search strategies to refine the exploration of the solution space. 12 functions from CEC2017 test suit were selected as the benchmark to evaluate the performance of DMEFPA and other 5 algorithms： SCFPA， HLFPA， WOFPA， AMSSA and SHSSA. Friedman test based on experimental results show that DMEFPA can achieve the supreme performance. Ablation experiments were also conducted to verify effectiveness of proposed improvement strategies. Experimental results illustrate that DMEFPA can achieve the outstanding performance and with stable convergence under the joint of all improvement strategies.

Key words：flower pollination algorithm; multi-groups; dynamic topology; individual migration; local search strategy

0 引言

花授粉算法（FPA）是由Yang［1］于2012年提出的一種高效智能優(yōu)化算法。FPA的全局和局部搜索過(guò)程分別模仿植物的異花授粉和自花授粉過(guò)程，并平衡全局搜索和局部搜索之間的切換。由于FPA具有易于實(shí)現(xiàn)、參數(shù)少和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，其已經(jīng)應(yīng)用于求解諸多領(lǐng)域的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題，如信號(hào)去噪優(yōu)化問(wèn)題［2］、任務(wù)調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題［3］等。與其他智能優(yōu)化算法類似，F(xiàn)PA在求解高維復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，存在易陷入局部最優(yōu)和收斂精度低等缺陷［4～6］。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了諸多的改進(jìn)或者增強(qiáng)的FPA。

寧杰瓊等人［7］提出一種基于t-分布擾動(dòng)策略和變異策略的花授粉算法（TMFPA）。TMFPA利用混沌映射初始化種群以解決種群初始分布不均勻的問(wèn)題，且采用t-分布來(lái)擾動(dòng)隨機(jī)個(gè)體加快算法的收斂速度。洪露等人［8］提出基于三重動(dòng)態(tài)調(diào)整的花授粉算法（HLFPA）。HLFPA使用正弦函數(shù)來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)切換概率以平衡算法探索和開(kāi)發(fā)，還在全局搜索過(guò)程當(dāng)中引入動(dòng)態(tài)因子，并在局部搜尋過(guò)程當(dāng)中引入正余弦步長(zhǎng)因子以增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。張水平等人［9］提出基于動(dòng)態(tài)調(diào)整和協(xié)同搜索的花授粉算法（FPADC）。FPADC利用霍爾頓序列以某一質(zhì)數(shù)作為基數(shù)對(duì)其進(jìn)行切分來(lái)生成在解空間中不重復(fù)且均勻分布的初始種群，并對(duì)種群內(nèi)個(gè)體進(jìn)行分工以提升算法的收斂速度與精度。Wang等人［10］提出基于共生制度的蝴蝶和花授粉混合算法（MBFPA）。MBFPA在每次迭代過(guò)程中都將種群劃分為兩個(gè)子群并分別使用蝴蝶飛行方式和花授粉飛行方式，且為兩個(gè)子群引入基于共生機(jī)制協(xié)同進(jìn)化方法。Tawhid等人［11］提出一種鯨魚(yú)和花授粉混合算法（WOFPA）。WOFPA采用WOA的螺旋模型和隨機(jī)搜尋方程代替FPA的全局搜索方程，以提升算法的尋優(yōu)精度。Al-Betar等人［12］提出一種基于多種群機(jī)制的孤島花授算法（ISFPA）。ISFPA在迭代初期利用孤島模型將種群隨機(jī)劃分為多個(gè)子群，并為不同子群設(shè)立個(gè)體轉(zhuǎn)移策略，以增強(qiáng)種群的多樣性并提升算法的尋優(yōu)能力。陳西成等人［13］提出應(yīng)用小生境混沌搜索策略的改進(jìn)花授粉算法（NCFPA）。NCFPA在每次種群更新過(guò)程中利用小生境策略圍繞適應(yīng)度值高的個(gè)體生成小種群，并淘汰適應(yīng)度值較差的個(gè)體以提升算法的全局優(yōu)化能力，引入混沌序列對(duì)精英個(gè)體進(jìn)行局部?jī)?yōu)化以增強(qiáng)算法的搜索精度。

上述對(duì)FPA的改進(jìn)主要集中在以下三點(diǎn)：a）優(yōu)化種群的初始分布，如TMFPA［7］及FPADC［9］分別利用混沌映射與霍爾頓序列初始化種群，使得初始種群均勻分布；b）保持或增強(qiáng)種群的多樣性，如TMFPA［7］利用t-分布擾動(dòng)隨機(jī)個(gè)體以保持多樣性，ISFPA［12］將種群劃分為多種群并構(gòu)建子群間信息交流以保持種群的多樣性；c）融合有效的全局或局部搜索機(jī)制，如NCFPA［13］利用小生境機(jī)制淘汰較差個(gè)體以提升算法的尋優(yōu)能力，MBFPA［10］將種群劃分為兩個(gè)子群并引入共生機(jī)制以提升算法的探索和開(kāi)發(fā)能力。為進(jìn)一步提升FPA的性能，本文提出一種基于動(dòng)態(tài)多子群機(jī)制的增強(qiáng)花授粉算法DMEFPA，并主要采用了以下三項(xiàng)改進(jìn)策略：

a）提出一種融合個(gè)體適應(yīng)度值和距離信息的方法將花粉種群劃分為多個(gè)子群，并依據(jù)概率來(lái)考慮是否接受種群多樣性變化。該策略使各子群盡量均勻地分布在解空間中以更有效地探索解空間。

b）將多子群通過(guò)隨機(jī)順序構(gòu)成環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，通過(guò)適應(yīng)度排序來(lái)選擇合適的遷移個(gè)體，并將遷移個(gè)體替換為下一子群中適應(yīng)度值最差的個(gè)體，加強(qiáng)子群間的信息交流以提升種群多樣性，降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。

c）利用改進(jìn)局部搜索策略以更好地平衡種群的探索和開(kāi)發(fā)能力，并增強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力。

本文采用了CEC2017中的12個(gè)測(cè)試函數(shù)將DMEFPA和其他5個(gè)改進(jìn)算法，即HLFPA［8］、WOFPA［11］、SCFPA［14］、AMSSA［15］以及SHSSA［16］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，并對(duì)DMEFPA采用的改進(jìn)策略進(jìn)行了消融實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在綜合改進(jìn)策略的共同作用下，DMEFPA的綜合優(yōu)化性能突出，且全局收斂性能穩(wěn)定。

1 花授粉算法

FPA是模擬自然界植物的自花授粉與異花授粉過(guò)程。授粉的傳播媒介有生物和非生物兩種。生物授粉通常視作異花授粉，可在大范圍內(nèi)傳播。非生物授粉通常視作自花授粉，傳播媒介主要有風(fēng)、雨等。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，Yang在算法中假定每株植物僅開(kāi)一朵花，每朵花僅產(chǎn)生一個(gè)花胚，一個(gè)花胚即優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)解?；ㄊ诜鄣倪^(guò)程可歸納為以下四點(diǎn)：

a）植物的異花授粉對(duì)應(yīng)算法的全局尋優(yōu)階段，生物載體攜帶花粉并執(zhí)行Lévy飛行規(guī)律。

b）非生物的自花授粉對(duì)應(yīng)算法的開(kāi)發(fā)階段，局部搜索是同種類的植物不同花朵之間通過(guò)風(fēng)實(shí)現(xiàn)傳粉。

c）繁衍概率對(duì)應(yīng)花朵的恒常性，兩朵花（個(gè)體）的相似和關(guān)聯(lián)性成比例。

d）植物的生物授粉與非生物授粉的切換概率由參數(shù)p∈［0，1］決定。由于受到位置、風(fēng)等因素影響，整個(gè)授粉過(guò)程中，局部授粉的概率更大。

由上述描述可知，異花授粉（全局授粉）和自花授粉（局部授粉）為FPA的核心。FPA的全局尋優(yōu)公式描述如下：

Xt+1i=Xti+L（λ）（Xti-Xbest）" rand gt; p（1）

其中：Xti、Xt+1i分別表示的是種群中的第i個(gè)粒子的第t代解及其下一迭代解。Xbest是種群迭代過(guò)程當(dāng)中的最優(yōu)解，L（λ）為服從Lévy飛行的步長(zhǎng)，其計(jì)算如式（2）所示。

L（λ）～λΓ（λ）sin（πλ/2）π·1s1+λ（sgt;gt;s0gt;0）（2）

其中：Γ（λ）是標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)，λ通常設(shè)為1.5。利用式（1）進(jìn)行全局尋優(yōu)，在全局最優(yōu)解Xbest的引導(dǎo)下，種群會(huì)容易獲得更優(yōu)解，同時(shí)因?yàn)長(zhǎng)évy飛行每次迭代都能獲得一個(gè)隨機(jī)步長(zhǎng)，以確保種群的多樣性。

FPA的局部尋優(yōu)公式描述如下：

Xt+1i=Xti+ε（Xtj－Xtk）" rand≤p（3）

其中：Xtj和Xtk是花粉種群中隨機(jī)挑選的兩個(gè)不同個(gè)體；ε是［0，1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)。其目的是用ε擾動(dòng)確保每次獲取的解都具有隨機(jī)性。

2 基于動(dòng)態(tài)多種群機(jī)制的增強(qiáng)花授粉算法

基于對(duì)式（1）的分析可知，原FPA在每輪迭代中都是基于貪婪策略引導(dǎo)種群中所有個(gè)體向著已知最優(yōu)個(gè)體位置靠近。這意味花粉種群的多樣性會(huì)隨迭代次數(shù)的增加快速降低，從而導(dǎo)致算法易陷入局部最優(yōu)、收斂精度低和早熟［17］。本文提出的DMEFPA采用多子群以及依概率選擇接受種群狀態(tài)變化，并使用基于動(dòng)態(tài)環(huán)型拓?fù)涞膫€(gè)體遷移機(jī)制來(lái)提升種群的多樣性，最后利用改進(jìn)局部搜索策略增強(qiáng)算法局部尋優(yōu)性能。

2.1 動(dòng)態(tài)多子群策略

目前已有許多學(xué)者提出使用多種群方法來(lái)增強(qiáng)FPA的性能。多種群方法一般是將初始種群劃分為多個(gè)子群，并讓不同的子群探索解空間的不同區(qū)域。多種群劃分方法通?；谶m應(yīng)度信息、距離信息或隨機(jī)來(lái)劃分。隨機(jī)多種群的劃分方法［12］雖然有助于維持種群多樣性，但由于種群劃分完全隨機(jī)確定，在后續(xù)迭代中可能無(wú)法維持子種群的個(gè)體質(zhì)量，易導(dǎo)致算法陷入隨機(jī)性過(guò)高和搜尋精度不高的窘境。基于適應(yīng)度值［13，18］的多種群劃分方法通常依據(jù)個(gè)體適應(yīng)度的優(yōu)劣來(lái)劃分子種群。雖然該類種群劃分方法能夠幫助種群迅速收斂，但無(wú)法避免因個(gè)體聚集在局部最優(yōu)附近所導(dǎo)致被劃分的子種群聚集的現(xiàn)象，從而使種群過(guò)分趨優(yōu)而無(wú)法對(duì)解空間進(jìn)行更充分的探索。因?yàn)榛诰嚯x的多種群劃分［9，19］ 完全忽略個(gè)體的適應(yīng)值，所以該子種群劃分方法可能造成某些子群所含個(gè)體總體質(zhì)量較低的問(wèn)題?；诰嚯x的多種群劃分有利于構(gòu)成優(yōu)勢(shì)子種群，因?yàn)閷儆诟鱾€(gè)子種群的個(gè)體完全由個(gè)體位置確定，聚集在當(dāng)前最優(yōu)位置附近的個(gè)體可能被劃分到同一個(gè)子種群?；谏鲜龇治?，本文提出的DMEFPA使用了一種綜合考慮個(gè)體適應(yīng)度值和個(gè)體間距離信息的子種群劃分方法，提高子種群個(gè)體總體質(zhì)量，也同時(shí)維持子種群的多樣性，從而增強(qiáng)算法的尋優(yōu)性能。

本文提出了動(dòng)態(tài)多種群策略，該策略首先包括一種結(jié)合個(gè)體適應(yīng)度和距離信息的多子種群劃分方法，以及依據(jù)種群離散度決定是否重新劃分種群的機(jī)制。假設(shè)以適應(yīng)度值最小的解為當(dāng)前最優(yōu)解。該方法首先對(duì)種群中所有個(gè)體利用適應(yīng)度值進(jìn)行由小到大排序，設(shè)Si表示排序后個(gè)體的序號(hào)。隨后計(jì)算序號(hào)為Si的個(gè)體與前Si－1個(gè)花粉個(gè)體之間的歐氏距離的平均值Li，其公式為

Li=1Si－1∑Si－1m=1∑Dj=1（XSi， j－Xm， j）2（4）

為使適應(yīng)度值最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)子群，對(duì)適應(yīng)度值最優(yōu)個(gè)體S1賦予種群中的最大平均距離L1。分析式（4）可知，Li越大，表示該花粉個(gè)體與適應(yīng)度值更優(yōu)個(gè)體間的偏離程度越大。隨后對(duì)每個(gè)個(gè)體的平均距離Li進(jìn)行由大到小的排序，并對(duì)所有排序后的個(gè)體賦排序編號(hào)Qi。再按式（5）為每個(gè)花粉個(gè)體賦予綜合權(quán)重Ei作為挑選子群中心個(gè)體的指標(biāo)。即對(duì)所有花粉個(gè)體的權(quán)重Ei進(jìn)行由小到大排序，并選擇排序靠前的n個(gè)花粉個(gè)體作為構(gòu)建n個(gè)花粉子群的中心個(gè)體。式（5）為

Ei=Si+Qi（5）

按上述方法挑選子群中心的動(dòng)機(jī)是：適應(yīng)度值較小的個(gè)體序號(hào)Si也較小，擁有更大平均距離Li的個(gè)體的序號(hào)Qi越小。當(dāng)個(gè)體同時(shí)擁有較小的適應(yīng)度值及較高的平均距離時(shí)，其權(quán)重Ei也會(huì)越小，從而可以確保跳出的作為子種群中心的個(gè)體既具有較好的適應(yīng)度，又保證被選出的個(gè)體較為分散。

在挑選出子群中心個(gè)體后，將種群中除被選出的中心個(gè)體之外的剩余個(gè)體劃分到距離其最近的中心個(gè)體所屬的子群。按上述方法挑選子群中心個(gè)體不僅考慮了適應(yīng)度值，同時(shí)還考慮了個(gè)體與適應(yīng)度值更優(yōu)個(gè)體間的平均距離，可以使子群中心個(gè)體同時(shí)具有較優(yōu)適應(yīng)度和相對(duì)分散兩種特性，從而使以中心個(gè)體為核心來(lái)劃分的子群，既保證了子群的分布又具有相對(duì)分散的特性。上述的子群劃分機(jī)制依賴參數(shù)：子群數(shù)量n。子群數(shù)量過(guò)多會(huì)使每個(gè)子群擁有的個(gè)體數(shù)量過(guò)少并降低子群機(jī)制對(duì)算法的影響。文獻(xiàn)［17］指出，在多數(shù)情況下，子群數(shù)量為3時(shí)可以在降低分群復(fù)雜性的同時(shí)還能保證種群的多樣性，并使算法具備良好的收斂性能。本文也選擇將參數(shù)子群數(shù)量n的大小設(shè)為3。圖1（a）展示了只依據(jù)適應(yīng)度挑選最優(yōu)個(gè)體作為子群中心的多種群劃分效果圖。圖1（b）顯示了使用本文方法進(jìn)行多種群劃分的效果圖。如圖1（a）所示，只依據(jù)個(gè)體適應(yīng)度挑選出的子群中心個(gè)體彼此靠近，導(dǎo)致分群效果不佳。如圖1（b）所示，通過(guò)本文方法選出的子群中心在保證適應(yīng)度較低的同時(shí)又相對(duì)分散，所以能夠?qū)⒄麄€(gè)種群較為均勻地劃分為3個(gè)子群，有利于對(duì)解空間進(jìn)行探索和開(kāi)發(fā)。

為了避免因每輪迭代都劃分子群造成的計(jì)算復(fù)雜度增大的問(wèn)題，本文提出的動(dòng)態(tài)多種群策略還包括一種依據(jù)種群離散度來(lái)決定是否重新劃分種群的方法。該方法首先按式（6）計(jì)算其值介于［0，1］內(nèi)的種群多樣性指標(biāo)Div，并使用Div值計(jì)算作為重新劃分子群的概率P。即以概率P接受種群是否使用反向?qū)W習(xí)來(lái)重新生成種群并進(jìn)行子群的劃分。

Div=ω1×1N∑Ni=1exp（－‖Xi－1N∑Ni=1Xi‖2）+ω2×exp（－tT）（6）

其中：N表示種群個(gè)體的數(shù)量；Xi為種群中第i個(gè)個(gè)體；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；ω1和ω2為調(diào)節(jié)種群離散度和迭代次數(shù)對(duì)于Div值的權(quán)重系數(shù)，此處設(shè)ω1為3/4并設(shè)ω2為1/4。Div同時(shí)考慮了種群的離散程度及算法的迭代次數(shù)，并為種群的離散程度賦予更高的權(quán)重。再按式（7）對(duì)Div值進(jìn)行歸一化處理并將其投影到［0，1］區(qū)間，得到概率P。如式（7）所示，當(dāng)Div越小表示種群多樣性越高，概率P值就越小，反之種群多樣性越低則概率P值就越大。

P=exp（－11+Div）（7）

DMEFPA以概率P使用如式（8）所示的質(zhì)心反向?qū)W習(xí)策略［20］對(duì)所有個(gè)體生成其反向個(gè)體，再按適應(yīng)度篩選較優(yōu)的個(gè)體以獲得新的種群并重新劃分子群。質(zhì)心反向?qū)W習(xí)公式如下：

X*i=2Xm－Xi（8）

其中：Xi為種群個(gè)體；Xm為種群的質(zhì)心；X*i為個(gè)體對(duì)應(yīng)的反向個(gè)體。使用質(zhì)心反向?qū)W習(xí)的目的是圍繞種群的質(zhì)心進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，可以使獲得的個(gè)體反向解更傾向于探索種群外空間，以增強(qiáng)種群跳出局部最優(yōu)能力。

上述依據(jù)種群離散度指標(biāo)Div值來(lái)決定是否重新劃分種群方法的核心思想是：當(dāng)種群多樣性降低時(shí)，各子群更趨向于相同的方向探索，則以概率P隨機(jī)重新生成更高質(zhì)量的種群并重新劃分子種群，可以增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力并提高算法的全局尋優(yōu)性能。

2.2 子種群的個(gè)體遷移策略

文獻(xiàn)［21］指出為多子種群構(gòu)建有效的信息共享方式，能夠使子群在共享信息中獲益并更徹底地探索其所在搜索空間。構(gòu)建個(gè)體遷移方式通常存在兩種子群的拓?fù)錁?gòu)成形式：靜態(tài)拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)洹Ｔ陟o態(tài)拓?fù)洚?dāng)中，子種群間的信息交流方式是按固定順序依次對(duì)各個(gè)子種群進(jìn)行個(gè)體遷移。由于子種群間信息交換方式持續(xù)固定的路徑，所以可能導(dǎo)致子種群的多樣性損失較大。動(dòng)態(tài)拓?fù)湫问嚼秒S機(jī)順序構(gòu)成動(dòng)態(tài)拓?fù)?，所以各個(gè)子種群間完全是隨機(jī)選擇其他子種群進(jìn)行個(gè)體遷移，可以有利于提高子種群的多樣性。 基于上述分析，DMEFPA采用了一種基于環(huán)型拓?fù)涞膭?dòng)態(tài)個(gè)體遷移策略進(jìn)行3個(gè)子群間的個(gè)體遷移，以降低子群個(gè)體質(zhì)量劣化的概率。

該動(dòng)態(tài)個(gè)體遷移策略先將3個(gè)子群以隨機(jī)順序構(gòu)成一個(gè)環(huán)型拓?fù)?，如圖2所示。

再按環(huán)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)依次從各子群中選出被遷移的個(gè)體，并將環(huán)型拓?fù)渲性撟尤旱南乱粋€(gè)子群中適應(yīng)度值最差的個(gè)體替換為選出的遷移個(gè)體。如圖2所示，先從子群2中選出被遷移的個(gè)體來(lái)替換子群1中適應(yīng)值最差的個(gè)體，完成一次子群間的個(gè)體遷移。按環(huán)型拓?fù)湟来芜M(jìn)行，直到子群2的適應(yīng)值最差的個(gè)體被從子群3中選出的遷移個(gè)體替換為止。每個(gè)子群中的遷移個(gè)體都使用依據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值的隨機(jī)機(jī)制選出。該隨機(jī)遷移個(gè)體選出機(jī)制首先分別對(duì)每個(gè)子群內(nèi)的個(gè)體依據(jù)其適應(yīng)度值進(jìn)行由小到大的排序，設(shè)子群中個(gè)體在按適應(yīng)值排序后的序號(hào)為Si，然后按式（9）計(jì)算個(gè)體的權(quán)重αi：

αi=2β×e（-β×（Si-1））N×（1+e（-β×（Si-1）））2（9）

其中：N為該子群的大??；β為權(quán)重變化控制因子。通過(guò)權(quán)重計(jì)算個(gè)體被選為子群的遷移個(gè)體的概率Gi=αi/（α1+…+αN）。如式（9）所示，個(gè)體的適應(yīng)值排序序號(hào)Si越小，其權(quán)重αi就越大，該個(gè)體被選為子群的遷移個(gè)體的概率就越大，從而下一子群中適應(yīng)度值最差的個(gè)體就越可能被上一子群中更好的個(gè)體替換。該動(dòng)態(tài)個(gè)體遷移策略的基本思想是淘汰每個(gè)子群中適應(yīng)度最差的個(gè)體并引入其他子群中適應(yīng)值較優(yōu)的個(gè)體，以維持種群的個(gè)體質(zhì)量。該策略也符合適者生存的自然選擇原則。

為觀察式（9）中參數(shù)β對(duì)個(gè)體權(quán)重αi大小的影響，圖3繪制了個(gè)體權(quán)重αi隨著個(gè)體適應(yīng)度排序序號(hào)Si以及參數(shù)β的變化曲線圖。觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)：β的值越大，個(gè)體權(quán)重αi隨適應(yīng)度排序的增加而快速下降，從而適應(yīng)度排序靠前的個(gè)體占據(jù)了絕大部分被選中的概率，導(dǎo)致選擇的遷移個(gè)體擁有較好的適應(yīng)度值以增強(qiáng)子群多樣性，并可以防止子群向已知最優(yōu)個(gè)體快速收斂。反之，β的值越小，個(gè)體權(quán)重αi隨適應(yīng)度排序的增加緩慢下降，導(dǎo)致適應(yīng)度排序靠后的個(gè)體被選中的概率相對(duì)偏高，但有助于子群保持高度的搜索多樣性并消減了子群陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。基于上述考慮，DMEFPA將參數(shù)β設(shè)立為0.4，可以使遷移個(gè)體增強(qiáng)子群的多樣性同時(shí)還降低了子群陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。

最后，個(gè)體遷移策略的使用頻率過(guò)大或過(guò)小都將對(duì)算法性能進(jìn)行損害。文獻(xiàn)［21，22］通過(guò)實(shí)驗(yàn)表明子群間信息交流頻率為50最佳，即算法每50次迭代進(jìn)行一次信息交流，有利于保持種群多樣性的同時(shí)能夠獲得更好的收斂性能，所以本文提出的個(gè)體遷移策略頻率也設(shè)置為50。

DMEFPA采用的個(gè)體遷移機(jī)制能夠和多種群機(jī)制形成良好的互補(bǔ)。如圖1（a）展示了只使用適應(yīng)度選擇個(gè)體進(jìn)行子種群劃分的弊端。在圖1（a）中，適應(yīng)度較優(yōu)的個(gè)體全集中在圖的左半?yún)^(qū)域，且適應(yīng)度值最優(yōu)的幾個(gè)個(gè)體分別陷入三個(gè)局部中，導(dǎo)致被劃分出的3個(gè)子種群在圖1（a）中大致分為上、中、下三層。圖1（b）顯示了利用本文提出多種群劃分方法的子種群劃分的結(jié)果。該劃分方法將整個(gè)種群劃分為了3個(gè)較為均勻散布的子種群，可以使算法能夠更加全面地探索解空間。同時(shí)，采用動(dòng)態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的子種群間的個(gè)體遷移機(jī)制可以在擁有不同進(jìn)化方向的子群間進(jìn)行信息的相互交流，有利于對(duì)解空間的探索和開(kāi)發(fā)，且避免子種群陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致種群停滯進(jìn)化。

2.3 改進(jìn)局部搜索策略

對(duì)FPA的局部尋優(yōu)式（3）進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，個(gè)體的局部尋優(yōu)方式是由子群內(nèi)兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的差分向量引導(dǎo)的，導(dǎo)致此種單個(gè)突變算子的搜索范圍有限。當(dāng)算法面臨多峰目標(biāo)函數(shù)時(shí)，單個(gè)突變算子存在全局與局部搜索能力之間的平衡問(wèn)題。在將種群劃分為多子群后，子群的搜索范圍縮小將導(dǎo)致單個(gè)突變算子的開(kāi)發(fā)局部區(qū)域能力進(jìn)一步受限。為增強(qiáng)算法對(duì)局部區(qū)域的開(kāi)發(fā)，受三角變異的啟發(fā)［23］，本文提出一種改進(jìn)的局部搜索策略，如式（10）所示。

Xt+1i=Xti+ε（Xtj－Xtk）+ε（Xtb－Xtw）（10）

其中：Xtj和Xtk是子群中隨機(jī)挑選的兩個(gè)個(gè)體；Xtb、Xtw分別是子群中適應(yīng)度值的最優(yōu)個(gè)體和最差個(gè)體；ε是［0，1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

原FPA的局部搜索策略所使用的變異向量在隨機(jī)個(gè)體相近或搜索空間較小的情況下，會(huì)導(dǎo)致個(gè)體搜索區(qū)域相對(duì)較小，并且使用兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體變異存在一定的盲目性。式（10）在原局部搜索方法的基礎(chǔ)上為其添加一個(gè)最佳最差變異向量。即式（10）對(duì)應(yīng)的改進(jìn)局部搜索策略右邊第一項(xiàng)為隨機(jī)差分項(xiàng)，第二項(xiàng)為最佳最差指導(dǎo)項(xiàng)。由于變異向量決定了探索區(qū)域的范圍，增加最佳最差變異向量可以使其探索區(qū)域更大，且利用了最佳個(gè)體的附近區(qū)域。隨機(jī)差分項(xiàng)具有較強(qiáng)的全局搜索能力，有利于擺脫局部最優(yōu)陷阱；最佳最差指導(dǎo)項(xiàng)具有較強(qiáng)的局部搜索能力，能夠提升收斂速度。因此，改進(jìn)的局部搜索策略在全局和局部搜索能力之間保持適當(dāng)?shù)钠胶狻?/p>

2.4 算法流程

本文提出基于動(dòng)態(tài)多種群機(jī)制的增強(qiáng)花授粉算法（DMEFPA）的偽代碼如下所示。

輸入：算法最大迭代次數(shù)Maxiter；種群大小pop；切換概率p；搜索上界ub和下界lb；問(wèn)題維度dim。

輸出：全局最優(yōu)個(gè)體best及其適應(yīng)度值f（best）。

1 初始化種群個(gè)體，評(píng)估每個(gè)個(gè)體適應(yīng)度值并記錄最優(yōu)個(gè)體；

2 while tlt;Maxiter

3 if t=1

4" for m=1∶pop；

5"" 按照式（5）計(jì)算出排名前的n個(gè)中心個(gè)體并為個(gè)體創(chuàng)建集和S*i中；

6" end for

7" for k=1∶N-n

8"" 將種群中除中心個(gè)體外的所有個(gè)體劃分到相距最近的集合S*i中完成多子群劃分；

9" end for；

10 end if

11 for j=1∶n //遍歷所有子群

12" for i=1∶length（S*i） //遍歷子群內(nèi)全部個(gè)體

13"" if randgt;p

14""" 子群中個(gè)體通過(guò)式（1）進(jìn)行全局尋優(yōu)階段；

15"" else

16""" 子群中個(gè)體通過(guò)式（13）進(jìn)行局部尋優(yōu)階段；

17"" end if

18"" if f（Xt+1）gt;f（Xt）； Xt=Xt+1；

19"" end if；

20" if f（Xt+1）gt;f（best）；Xt=Xt+1；

21" end if

22" end for;

23 end for

24 if 0=mod（t，50） //每50次迭代使用一次個(gè)體遷移策略

25 將所有子群S*i通過(guò)隨機(jī)順序構(gòu)成環(huán)型拓?fù)洌?/p>

26 通過(guò)適應(yīng)度值排序利用式（11）為個(gè)體賦予權(quán)重，隨后利用式（12）計(jì)算個(gè)體遷移概率并生成隨機(jī)數(shù)選擇遷移個(gè)體；

27 end if

28 if rand≤P //隨機(jī)數(shù)小于接受概率P

29 利用質(zhì)心反向?qū)W習(xí)生成反向解并保持適應(yīng)度更優(yōu)個(gè)體

30 返回步驟4～9 //重新劃分子群

31 end if

32 t=t+1

33 算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，是則退出循環(huán)，否則返回步驟11；

34 end while

圖4展示了DMEFPA的流程。

2.5 DMEFPA時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)初始種群大小為N，子種群數(shù)量為n（n=3），解空間維度為D，最大迭代次數(shù)T，多子群遷移次數(shù)t，多子群劃分次數(shù)為m。FPA的時(shí)間復(fù)雜度為O（N×D×T）。對(duì)整個(gè)種群進(jìn)行初始化并評(píng)估每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值的時(shí)間復(fù)雜度為O（N×D+N）。利用適應(yīng)度值結(jié)合距離挑選種群中心個(gè)體并圍繞其劃分多種群的時(shí)間復(fù)雜度為O（N log N×D×m），通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)子群在劃分次數(shù)僅占最大迭代次數(shù)的小部分。通過(guò)多樣性指標(biāo)檢驗(yàn)種群間多樣性情況是否重新劃分子群的時(shí)間復(fù)雜度為O（N×D×T）。所有子群中個(gè)體進(jìn)行全局尋優(yōu)或局部尋優(yōu)的時(shí)間復(fù)雜度為O（N×D×T），各子群構(gòu)成動(dòng)態(tài)環(huán)型拓?fù)洳⑼ㄟ^(guò)適應(yīng)度排序進(jìn)行個(gè)體遷移的時(shí)間復(fù)雜度為O（N log N×D×t）。綜上所述，DMEFPA的時(shí)間復(fù)雜度為O（N×D×T）+O（N log N×D×m）+O（N×D×T）+O（N×D×T）+O（N log N×D×t）=O（N×D×T）。DMEFPA與原FPA時(shí)間復(fù)雜度在同一數(shù)量級(jí)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

3.1 基準(zhǔn)函數(shù)選取

為測(cè)試DMEFPA算法的性能，選取CEC2017標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集中的12個(gè)測(cè)試函數(shù)來(lái)測(cè)試算法的收斂速度和搜索精度。選取的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)分為4類，包括1個(gè)單峰函數(shù)（F1）、3個(gè)多峰函數(shù)（F2～F4）、4個(gè)混合函數(shù)（F5～F8）以及4個(gè)復(fù)合函數(shù)（F9～F12）。除單峰函數(shù)外的其余測(cè)試函數(shù)均存在大量局部最優(yōu)點(diǎn)。測(cè)試函數(shù)類型、測(cè)試函數(shù)名及全局最優(yōu)值詳情如表1所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為測(cè)試DMEFPA性能，將其與HLFPA［8］、WOFPA［11］、SCFPA［14］、AMSSA［15］、SHSSA［16］在上述的12個(gè)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)評(píng)估。為保證實(shí)驗(yàn)的公平性，所有的仿真實(shí)驗(yàn)均在同一環(huán)境下完成：實(shí)驗(yàn)仿真軟件使用MATLAB R2022b，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 11，硬件配置為Intel Core i7-12700H 2.3 GHz，16 GB內(nèi)存。所有算法的種群數(shù)量統(tǒng)一設(shè)定為50、迭代次數(shù)為500、所有算法單獨(dú)運(yùn)行次數(shù)為30、搜索空間上下界為［-100，100］D。

測(cè)試中使用平均值Mean（均值越小表明該算法尋優(yōu)能力更強(qiáng)），標(biāo)準(zhǔn)差Std（標(biāo)準(zhǔn)差越小表明算法魯棒性越強(qiáng)）作為評(píng)估算法性能優(yōu)劣的指標(biāo)，同時(shí)將Mean作為首要性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，其次為Std。對(duì)比結(jié)果采用排名Rank表示，Count表示算法累計(jì)獲得性能排名第一的次數(shù)，算法平均性能排名使用Ave Rank，整體性能排名為T(mén)otal Rank。

3.3 測(cè)試結(jié)果

表2列出了各算法在12個(gè)測(cè)試函數(shù)在100維情況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)表2可以看出DMEFPA在100維的測(cè)試環(huán)境下Court次數(shù)最多，表明其在多個(gè)測(cè)試函數(shù)上均取得第一，同時(shí)DMEFPA在Ave Rank與Total Rank兩項(xiàng)指標(biāo)上也都取得第一。這表明DMEFPA算法面對(duì)高維測(cè)試函數(shù)時(shí)相較于其他改進(jìn)算法擁有更好的優(yōu)化性能。同時(shí)DMEFPA對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差Std也領(lǐng)先其他改進(jìn)算法，這表明DMEFPA算法擁有更強(qiáng)的魯棒性。

對(duì)于單峰函數(shù)F1，DMEFPA也具有遠(yuǎn)領(lǐng)先其他函數(shù)的收斂速度，該結(jié)果表明DMEFPA對(duì)于高維的單峰函數(shù)具有相較于其他改進(jìn)算法更好的收斂性能。對(duì)于其余測(cè)試函數(shù)均取得了巨大的提升，如在測(cè)試函數(shù)F3、F4、F5、F12中比排名第二的算法提升了13%、55%、56%、11%。該事實(shí)表明相比其他改進(jìn)算法，DMEFPA能夠?qū)τ趽碛卸鄠€(gè)局部最優(yōu)的高維多峰函數(shù)也能獲得更為出色的尋優(yōu)能力。

如表2所示，對(duì)于指標(biāo)Std，DMEFPA在函數(shù)F3、F4、F5、F8、F10上略次于其他改進(jìn)算法，而在剩下7個(gè)測(cè)試函數(shù)上均獲得第一名的優(yōu)異表現(xiàn)，這表明DMEFPA在高維復(fù)雜多峰目標(biāo)函數(shù)上具有比其他FPA改進(jìn)算法更好的魯棒性。

3.4 基于置信區(qū)間的收斂曲線圖的對(duì)比分析

置信區(qū)間作為一種統(tǒng)計(jì)方法，展現(xiàn)了樣本的真實(shí)值以一定概率落在測(cè)量結(jié)果周?chē)某潭?。其?jì)算方法如下：

CI=Mean±z×Stdn（11）

其中：CI為置信區(qū)間；Mean為樣本均值；z為臨界值，代表置信水平，本文設(shè)置為95%的置信水平；Std為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；n為樣本大小。為展示本文算法收斂速度和精度，在得到各被測(cè)試算法的平均收斂曲線的前提下，設(shè)置每30次迭代展現(xiàn)各算法的置信區(qū)間。置信區(qū)間的大小可以代表算法的收斂速度和收斂精度。即置信區(qū)間寬度越小，算法的收斂精度越高，而在同一迭代次數(shù)下，置信區(qū)間位置越低，則算法的收斂速度越快。

圖5列出了DMEFPA和改進(jìn)算法對(duì)上述測(cè)試函數(shù)在100維情況下的部分測(cè)試函數(shù)帶置信區(qū)間的收斂曲線圖。如圖5所示，對(duì)多數(shù)測(cè)試函數(shù)，當(dāng)其他改進(jìn)算法在迭代后期陷入局部最優(yōu)時(shí)，DMEFPA仍然能夠跳出局部最優(yōu)，仍然能夠繼續(xù)探索全局最優(yōu)，且從圖5中能夠發(fā)現(xiàn)，DMEFPA的置信區(qū)間相較其他算法都寬度更窄且位置更低。這表明DMEFPA在收斂精度與收斂速度方面具有更大的優(yōu)越性。

從不同函數(shù)類別來(lái)看，沒(méi)有局部最優(yōu)陷阱的單峰測(cè)試函數(shù)F1可以考驗(yàn)各個(gè)算法的尋優(yōu)能力。因?yàn)楦魉惴ㄔ诤瘮?shù)F1上沒(méi)有陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，所以各算法都能夠在迭代前中期發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)并快速收斂。DMEFPA相較其他算法在迭代前期就快速向全局最優(yōu)收斂并獲得出色的收斂速度。原因可能是采用基于適應(yīng)度結(jié)合距離對(duì)種群進(jìn)行劃分，使被劃分的3個(gè)子群能夠相對(duì)均勻分散在整個(gè)解空間，從而增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)能力。存在大量局部最優(yōu)陷阱的多峰測(cè)試函數(shù)F2～F4可以考驗(yàn)各算法保持種群多樣性和跳出局部最優(yōu)的能力。DMEFPA相較其他改進(jìn)算法，其迭代前期依靠均勻分散在解空間的多子群向全局最優(yōu)快速收斂，在迭代后期其他改進(jìn)算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，DMEFPA仍然能夠繼續(xù)優(yōu)化，這可能是由于子群間的相互信息交流幫助不同子群跳出局部最優(yōu)，并且改進(jìn)后的局部搜索策略存在更強(qiáng)的變異能力導(dǎo)致的。對(duì)于混合測(cè)試函數(shù)F5～F8，DMEFPA迭代前期的收斂速度就明顯快于其他改進(jìn)算法，而迭代后期由于DMEFPA的種群多樣性優(yōu)于其他改進(jìn)算法，從而可以獲得更高的收斂精度。對(duì)于組合測(cè)試函數(shù)F9～F12，當(dāng)其他改進(jìn)算法陷入局部最優(yōu)無(wú)法向下迭代時(shí)，DMEFPA可以利用子群間的信息交流，并在動(dòng)態(tài)步長(zhǎng)和改進(jìn)局部搜索策略幫助下繼續(xù)向更優(yōu)解空間探索，從而獲得更高的尋優(yōu)精度。

3.5 基于箱線圖的對(duì)比分析

圖6展現(xiàn)了DMEFPA和改進(jìn)算法對(duì)上述部分測(cè)試函數(shù)在100維時(shí)獨(dú)立執(zhí)行30次后獲得的箱型圖。在箱型圖中，箱體中的紅色線條代表中位數(shù)，箱體的上界與箱體的下界分別為整體數(shù)值的上四分位數(shù)與下四分位數(shù)；其次箱體兩頭的虛線代表了數(shù)據(jù)的離散程度，虛線越長(zhǎng)代表數(shù)據(jù)越分散；最后，箱體外側(cè)的紅色符號(hào)+代表異常值，異常值越少說(shuō)明算法穩(wěn)健性越強(qiáng)。從圖6中可以看出，除F3外，DMEFPA的箱體均比其他改進(jìn)算法的箱體更扁，這表明DMEFPA的最優(yōu)值波動(dòng)幅度不大，其魯棒性也更好。同時(shí)，DMEFPA的箱體下界同樣比其他改進(jìn)算法更低并且中位線也低于其他改進(jìn)算法，并且除F11外DMEFPA的箱型圖中的離群值相較于其他改進(jìn)算法也較少，這表明DMEFPA擁有更高的收斂精度。以上事實(shí)表明DMEFPA極大增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性。

3.6 完整性消融實(shí)驗(yàn)

為展現(xiàn)DMEFPA使用策略的有效性，對(duì)DMEFPA中的各策略還進(jìn)行了完整性消融實(shí)驗(yàn)。設(shè)DMEFPA中對(duì)FPA中僅采用多子群策略的算法為DMEFPA1，對(duì)同時(shí)采用多子群策略和個(gè)體遷移策略的算法為DMEFPA2，對(duì)采用多子群策略并使用改進(jìn)局部搜索方法的算法為DMEFPA3。將標(biāo)準(zhǔn)FPA和DMEFPA1、DMEFPA2、DMEFPA3使用表1中列出的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行性能測(cè)試。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行10次，算法的迭代次數(shù)為500，其余算法詳細(xì)參數(shù)與3.2節(jié)中的設(shè)置相同。表3列出了測(cè)試的數(shù)據(jù)。

如表3所示，使用多子群方法的DMEFPA1以及多子群采用個(gè)體遷移策略的DMEFPA2在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上都優(yōu)于FPA，使用多子群算法同時(shí)增強(qiáng)子群間的信息交流的DMEFPA2在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上都優(yōu)于DMEFPA1及DMEFPA3。上述的結(jié)果表明多子群方法可以有效地增強(qiáng)算法的尋優(yōu)性能，并且增強(qiáng)子群間的信息交流也能提升子群的多樣性。同時(shí)，僅使用多子群策略和改進(jìn)局部搜索方法的DMEFPA3性能提升不大，該事實(shí)表明使用個(gè)體遷移策略配合多子群策略能夠有效地提升多子群的有效性。對(duì)于DMEFPA，其收斂精度高于其他參與測(cè)試的算法，表明DMEFPA所提出的各個(gè)改進(jìn)策略對(duì)提升算法性能能發(fā)揮不可或缺的作用。

3.7 Friedman檢驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證DMEFPA算法與其他5種算法的顯著性差異，將6種算法運(yùn)行30次得到的平均值采用Friedman檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示。若表中的P-value值小于0.01，則表明算法間存在顯著性差異。表4中除P-value以外的其他值為各算法的秩平均值。如表4所示，對(duì)于30維、50維、100維，DMEFPA的P-value分別為2.68E-09、1.49E-09、3.29E-09均遠(yuǎn)小于0.01，這表明DMEFPA相較其他改進(jìn)算法存在較大的顯著性差異。在不同維度中，DMEFPA的秩平均值也都小于其他算法，這反映了DMEFPA的性能是最優(yōu)的。綜上所述，DMEFPA的尋優(yōu)能力在統(tǒng)計(jì)學(xué)上相較于其他改進(jìn)算法存在明顯提升。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)FPA容易陷入局部最優(yōu)、算法早熟和收斂精度低等缺點(diǎn)，本文提出了一種基于動(dòng)態(tài)多種群機(jī)制的增強(qiáng)花授粉算法DMEFPA。DMEFPA采用的動(dòng)態(tài)多種群策略首先利用適應(yīng)度值結(jié)合距離信息挑選子群中心，并將剩余個(gè)體劃分到距離最近的子群中心的方法完成多子群劃分，再依據(jù)概率接受是否生成新種群并重新劃分子種群。該策略可以增強(qiáng)種群多樣性并提升算法尋優(yōu)能力。DMEFPA的動(dòng)態(tài)多種群策略還引入了個(gè)體遷移機(jī)制，以保持子群個(gè)體的整體質(zhì)量，并降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。此外，DMEFPA還采用了改進(jìn)局部搜索策略進(jìn)一步提升算法的尋優(yōu)能力。12個(gè)CEC2017測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比參與測(cè)試的其他5個(gè)改進(jìn)算法，F(xiàn)riedman算法可以獲取最優(yōu)的性能。未來(lái)計(jì)劃對(duì)DMEFPA進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)，并將其應(yīng)用于解決多目標(biāo)問(wèn)題，探索DMEFPA算法面對(duì)復(fù)雜的工程應(yīng)用問(wèn)題等復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的可能性。

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