摘 要：

為了解決金豺優(yōu)化算法種群多樣性差、收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題，提出了一種多策略強(qiáng)化的金豺優(yōu)化算法（strengthening golden jackal optimization，SGJO）。首先，采用混沌精英池策略生成精英種群以增強(qiáng)種群多樣性并提高初始解質(zhì)量；然后利用自適應(yīng)擾動因子更新個體位置以擴(kuò)大算法的尋優(yōu)范圍；最后，基于種群內(nèi)個體差異引入柯西高斯突變策略，以解決算法易陷入局部最優(yōu)的難題且有效提高了收斂速度。通過在基準(zhǔn)測試函數(shù)與CEC2021測試函數(shù)上進(jìn)行策略有效性實(shí)驗(yàn)，并與其他群智能優(yōu)化算法對比實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證SGJO算法的尋優(yōu)性能，通過Wilcoxon秩和檢驗(yàn)與汽車側(cè)面碰撞優(yōu)化問題來驗(yàn)證SGJO算法的穩(wěn)健性和有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，多策略強(qiáng)化的金豺優(yōu)化算法有效增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)能力及收斂速度，與其他算法相比具有一定的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：金豺優(yōu)化算法；混沌精英池；自適應(yīng)擾動；柯西高斯突變

中圖分類號：TP301.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2024）12-021-3679-10

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.05.0150

Multi-strategy strengthening golden jackal optimization

Lin Yushan， Liu Sheng

（School of Management， Shanghai University of Engineering Science， Shanghai 201620， China）

Abstract：

In order to solve the problems such as poor population diversity， slow convergence and local optimum， this paper proposed a multi-strategy strengthening golden jackal optimization algorithm. Firstly， it used the chaotic elite pool strategy to generate elite population to enhance population diversity and improve the quality of initial solution. Furthermore， it used the adaptive disturbance factor to update the individual position to expand the optimization range of the algorithm. Finally， it introduced the Cauchy Gauss mutation strategy based on individual differences within the population to solve the problem that the algorithm was prone to local optimization and effectively improve the convergence speed. Based on the benchmark test function and CEC2021 test function， the strategy effectiveness experiment verified the optimization performance of the SGJO algorithm. Wilcoxon rank sum test and the vehicle side impact optimization problem verified the robustness and effectiveness of SGJO algorithm. The experimental results show that the multi-strategy strengthening golden jackal optimization algorithm can effectively enhance the optimization ability and convergence speed of the GJO algorithm， and has certain advantages compared with other algorithms.

Key words：golden jackal optimization algorithm; chaos elite pool; adaptive disturbance; Cauchy Gauss mutation

0 引言

金豺優(yōu)化（GJO）算法是一種新的典型的基于群體的元啟發(fā)式算法［1］，該算法的靈感來自于金豺的合作狩獵行為。由于GJO算法的可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)，適用于解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題等優(yōu)勢，眾多研究者將GJO算法應(yīng)用在各個領(lǐng)域，諸如優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)模型、解決混合儲能優(yōu)化配置等方面，且取得了優(yōu)秀的成果。Kumar等人［2］將GJO算法應(yīng)用于解決電池儲能系統(tǒng)和混合能源中的分布式發(fā)電能源管理問題，與其他算法結(jié)果相比得到了成本更低的方法。Aljehane等人［3］建立了基于GJO算法的深度學(xué)習(xí)輔助網(wǎng)絡(luò)安全入侵檢測系統(tǒng)，采用基于改進(jìn)GJO算法的特征選擇方法選擇最優(yōu)特征子集并建立起基于注意力的雙向長短期記憶模型。Liu等人［4］結(jié)合GJO算法和混合深度學(xué)習(xí)模型，通過有效捕捉污水處理廠中多變量時間序列的非線性關(guān)系，進(jìn)而出色地完成了預(yù)測任務(wù)。

雖然金豺優(yōu)化算法在各領(lǐng)域取得了良好的應(yīng)用效果，但仍存在一定的局限性，諸如易陷入局部最優(yōu)、搜索能力不足、收斂速度慢等，眾多學(xué)者針對這些不足對其進(jìn)行了改進(jìn)。謝國民等人［5］在種群初始化階段使用Logistic-Tent復(fù)合混沌映射策略，在位置更新方式上對最優(yōu)位置執(zhí)行高斯變異策略，在更新下一代位置信息時引入基于粒子群算法思想的最優(yōu)個體位置信息；然而復(fù)合混沌映射可能會引起種群中存在重復(fù)個體，導(dǎo)致種群多樣性降低?；亓⒋ǖ热耍?］首先采用Chebyshev混沌映射初始化種群提高了分布均勻性，隨后以一定概率執(zhí)行融合粒子群算法全局最優(yōu)思想的位置更新方式來幫助算法提高搜索效率，最后引入種群收斂檢測機(jī)制幫助算法跳出局部最優(yōu)，但僅融合全局最優(yōu)的位置更新方式會導(dǎo)致尋優(yōu)精度降低。徐凱等人［7］通過賦予金豺一個追捕行為增量函數(shù)來改進(jìn)位置更新方式，幫助算法提升開發(fā)精度，但對最優(yōu)個體的強(qiáng)烈依賴容易使算法陷入局部最優(yōu)。

綜上，本文提出多策略強(qiáng)化的金豺優(yōu)化算法（SGJO）以彌補(bǔ)GJO的短板。首先，在金豺種群初始化階段引入混沌精英池策略，通過Sine映射和透鏡成像反向?qū)W習(xí)方法共同建立精英種群以增加候選解的多樣性；隨后，使用帶擾動因子的位置更新策略幫助算法在探索階段擴(kuò)大尋優(yōu)范圍且避免在開發(fā)階段陷入局部最優(yōu)；最后基于個體適應(yīng)度值與群體平均適應(yīng)度值的比較，引入柯西高斯突變作用下的位置更新策略，不僅能夠有效避免趨優(yōu)帶來的局部困境進(jìn)而提高解的精度，而且在提升算法的收斂速度方面具有卓越表現(xiàn)。

1 金豺優(yōu)化算法

雄雌金豺配對狩獵通常包括搜尋、包圍和攻擊獵物三個步驟，受此行為的啟發(fā)，金豺優(yōu)化算法的三個階段主要分為初始化種群、追蹤獵物、抓捕獵物。

1.1 初始化種群

金豺的狩獵行為首先建立在搜尋獵物的基礎(chǔ)上。在初始化階段，候選解在搜索空間中隨機(jī)生成并均勻分布，公式如下：

Y0=Ymin+rand（Ymax－Ymin）（1）

其中：rand為［0，1］中均勻分布的隨機(jī)值；Ymin和Ymax分別為解的下界和上界。

將獵物的初始解儲存在獵物矩陣中：

Prey=Y1，1Y1，2…Y1，dY2，1Y2，2…Y2，dYn，1Yn，2…Yn，d（2）

其中：n表示獵物數(shù)量；d表示問題變量；Yi， j表示第i個獵物的第j維。

計(jì)算所有獵物的適應(yīng)度值并儲存在相應(yīng)矩陣中：

FOA=f（Y1，1;Y1，2;…;Y1，d）f（Y2，1;Y2，2;…;Y2，d）f（Yn，1;Yn，2;…;Yn，d）（3）

其中：FOA表示獵物的適應(yīng)度值矩陣； f表示適應(yīng)度函數(shù)。將所有適應(yīng)度值的大小進(jìn)行比較和排序，并將最優(yōu)適應(yīng)度值記為雄金豺YM（t），次優(yōu)適應(yīng)度值記為雌金豺YFM（t），即組成金豺?qū)σ员阆乱浑A段求解。

1.2 追蹤獵物

發(fā)現(xiàn)獵物蹤跡后，雄雌豺狼配合追蹤，若獵物逃離圍捕則繼續(xù)搜索其他獵物。

Y1（t）=YM（t）－E·|YM（t）－rl×Prey（t）|（4）

Y2（t）=YFM（t）－E·|YFM（t）－rl×Prey（t）|（5）

其中：Prey（·）表示獵物位置；t是當(dāng)前迭代次數(shù)；YM（t）、YFM（t）分別表示雄金豺和雌金豺的初始位置；Y1（t）、Y2（t）分別表示因追蹤獵物的位置更新后對應(yīng)的雄金豺和雌金豺位置。

雄雌金豺的抓捕行為取決于獵物的狀態(tài)，這一狀態(tài)體現(xiàn)在獵物的逃脫能量上，記為E。

E=E1E0（6）

其中：E0是獵物逃脫時的初始能量；E1是能量的衰減狀態(tài)。

E0=2r－1（7）

其中：r是［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

E1=c1（1－tT）（8）

其中：c1是值為1.5的常數(shù)，即獵物在逃脫過程中能量E1從1.5線性衰減到0。

在式（4）（5）中，|YM（t）－rl×Prey（t）|表示在追蹤階段雄雌豺狼與獵物的相對距離。獵物的逃跑行為用Lévy運(yùn)動進(jìn)行模擬，即公式中的rl，這是一個基于Lévy分布的隨機(jī)數(shù)，將其與獵物位置Prey（·）相乘以體現(xiàn)獵物逃跑的移動方式。

rl=0.05×LF（y）（9）

LF（y）=0.01×μ×σ|v1β|

σ=Γ（1+β）×sin（πβ2）Γ（1+β2）×β×2β-121/β（10）

其中：μ、v是0～1的任意值；β是設(shè)置為1.5的常數(shù)。

最后，金豺的位置更新公式如下：

Y（t+1）=Y1（t）+Y2（t）2（11）

1.3 抓捕獵物

隨著獵物的逃脫能量持續(xù)衰減，雄雌金豺包圍獵物并實(shí)施抓捕。此階段的雄雌金豺位置更新如下：

Y1（t）=YM（t）－E×|rl×YM（t）－Prey（t）|（12）

Y2（t）=YFM（t）－E×|rl×YFM（t）－Prey（t）|（13）

這一過程用Lévy運(yùn)動模擬雄雌金豺在抓捕獵物過程中的遇障行為，以體現(xiàn)金豺的抓捕活動。

1.4 追蹤和抓捕階段的轉(zhuǎn)換

由于雄雌金豺的追蹤和抓捕行為取決于獵物逃脫能量E的大小，在金豺優(yōu)化算法中，是否將探索階段向開發(fā)階段轉(zhuǎn)換由E的取值決定。如果|E|gt;1，金豺?qū)⒗^續(xù)追蹤獵物，相應(yīng)地，GJO算法仍處于探索階段；如果|E|lt;1，金豺會抓捕獵物，即GJO算法轉(zhuǎn)換到開發(fā)階段。

2 SGJO算法

GJO算法以生成隨機(jī)數(shù)的方式初始化種群會導(dǎo)致種群缺乏多樣性，且算法前期搜索缺乏目標(biāo)性，進(jìn)而導(dǎo)致尋優(yōu)效率較低；其次，GJO算法的位置更新基于對最優(yōu)個體的強(qiáng)烈依賴，容易使算法陷入局部最優(yōu)且難以跳出趨優(yōu)困境；再者，取平均數(shù)的位置更新方式忽略了金豺種群內(nèi)的個體間差異。上述不足最終導(dǎo)致算法尋優(yōu)的精度較低且收斂速度較慢，本文針對基本GJO算法的不足，引入相應(yīng)策略有針對性地進(jìn)行改進(jìn)，從而提升算法的綜合性能。

2.1 混沌精英池策略

研究表明，初始種群的多樣性對算法的收斂速度和精度起著至關(guān)重要的作用［8］。為了獲得更好的初始位置，本文在種群初始化過程中使用了Sine映射和透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略。Sine映射產(chǎn)生的混沌解和透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生的反向解共同構(gòu)成新的種群，選擇此種群中的精英解作為新的精英種群可為算法尋優(yōu)提供高質(zhì)量基礎(chǔ)并增強(qiáng)算法的全局探索能力，彌補(bǔ)了基本GJO算法的不足。

2.1.1 Sine映射初始化種群

由于混沌變量的隨機(jī)性有助于種群保持多樣性，并且遍歷性和不可預(yù)測性［9］也可有效幫助算法跳出局部最優(yōu)，進(jìn)而在全局范圍內(nèi)擴(kuò)大搜索能力，所以許多學(xué)者將其應(yīng)用于搜索問題的優(yōu)化。混沌映射是一種在非線性系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜動態(tài)方法，在算法優(yōu)化領(lǐng)域，混沌映射通過產(chǎn)生0～1的無序值以替代傳統(tǒng)的偽隨機(jī)數(shù)生成方式。

本文通過Sine混沌映射產(chǎn)生混沌變量，將變量代入待解問題的解空間，最終對個體進(jìn)行混沌攝動。如圖1所示的各混沌映射下的種群分布圖，相較于Chebyshev映射區(qū)間內(nèi)分布不均、Tent映射易衰退為周期序列等特點(diǎn)，Sine映射在搜索空間內(nèi)的分布更無序且效率高［10］，有助于增加種群多樣性。Sine混沌映射的數(shù)學(xué)公式如式（14）所示。其中α是在［0，4］的可調(diào)節(jié)參數(shù)，根據(jù)改進(jìn)GJO算法初始化階段的混沌效果需求靈活調(diào)節(jié)α。

xn+1=α4sin（πxn），0lt;α≤4（14）

2.1.2 透鏡成像反向?qū)W習(xí)初始化種群

凸透鏡成像是一種光學(xué)定律，是指將物體置于離焦處，在凸透鏡的另一側(cè)形成倒置的實(shí)像［11］?；谕哥R成像的反向?qū)W習(xí)有助于金豺種群獲取更多解，進(jìn)而有效保持其多樣性，即通過調(diào)整透鏡反向?qū)W習(xí)中比例因子k的大小實(shí)現(xiàn)反向解的動態(tài)變化，進(jìn)而提高算法的尋優(yōu)精度。由于k的大小與生成的反向解的范圍成反比關(guān)系，將比例因子k值設(shè)置較小以在較大范圍內(nèi)獲得反向解，為算法獲取多樣性解。

當(dāng)前最佳個體X基于一維空間透鏡成像的學(xué)習(xí)過程如圖2所示。由圖中可見，X在x軸上的搜索區(qū)間為［a， b］，個體P的高度為L，它在x坐標(biāo)軸上的投影是X。在基點(diǎn)O上放置一個焦距為f的凸透鏡，將個體P置于焦距f之外，在凸透鏡的另一側(cè)形成高度為L*的倒實(shí)像P*，P*在坐標(biāo)軸x上的投影是X*。因此，可基于透鏡成像的學(xué)習(xí)策略得到P的反向點(diǎn)P*。

根據(jù)圖示和凸透鏡成像原理可得

a+b2-XX*-a+b2=LL*（15）

設(shè)L/L*=k，k稱為比例因子。通過變換式（15）可以得到基于透鏡成像學(xué)習(xí)的反向點(diǎn)X*為

X*=a+b2+a+b2k-Xk（16）

當(dāng)k=1時，即獲得透鏡成像反向?qū)W習(xí)的一種特殊情況，即一般反向?qū)W習(xí)反向解的求解公式：

X*=a+b-X（17）

綜上所述，在初始化階段獵物的種群規(guī)模為N，首先采用Sine映射初始化種群產(chǎn)生N個j維的種群P1，其次采用透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生反向種群P2，此時生成了較開始時兩倍數(shù)量的候選解。隨后合并種群P1和P2，并計(jì)算每個個體的適應(yīng)度值并排序，最終選擇排名前N的個體作為新的精英種群。

2.2 帶自適應(yīng)擾動因子的個體更新策略

由式（11）可以看出，GJO算法的個體位置更新公式以雄雌金豺?yàn)榛A(chǔ)，而雄雌金豺的確定來自于整個種群中的最優(yōu)適應(yīng)度值，顯然過于依賴當(dāng)前最優(yōu)解，而這種依賴性使其容易受困于局部最優(yōu)，從而限制了其尋找全局最優(yōu)解的能力。

受變異策略的啟發(fā)，本文提出了一種帶自適應(yīng)擾動因子的位置更新策略，這使算法在探索階段和開發(fā)階段提升了隨機(jī)漫游的能力，擴(kuò)大了尋優(yōu)范圍，進(jìn)而增加了產(chǎn)生新解的可能性。且正弦因子驅(qū)動曲線向下，在提高解質(zhì)量的同時加快了算法的收斂速度，使得SGJO的收斂性相較于GJO算法大有改善。具體位置更新公式如下：

λ=sin（2π×（1－tT））（18）

YSM（t）=Y1（t）+λ×Y1（t）（19）

YSF（t）=Y2（t）+λ×Y2（t）（20）

其中：λ是擾動因子；YSM（t）、YSF（t）分別是擾動因子驅(qū)動下的新的雄、雌金豺?qū)?yīng)獵物的位置。

2.3 柯西高斯突變引導(dǎo)位置更新

基本GJO算法采用簡單的平均位置更新方法，即通過求雄雌金豺的平均位置獲得最終解，這一方式忽視了金豺種群之間的個體差異。合作捕食是金豺賴以生存的基礎(chǔ)能力，且在群智能優(yōu)化算法中，可將適應(yīng)度值大小的不同視作動物種群間每個個體捕獵能力的差異。因此，GJO算法的平均位置更新方法忽視了群體適應(yīng)度值的比較對于尋優(yōu)結(jié)果的影響，即這種方法可能會導(dǎo)致算法在優(yōu)化過程中的準(zhǔn)確性下降，并且收斂速度緩慢，難以快速找到最優(yōu)解。

為了克服GJO算法存在的問題，根據(jù)算法不同階段求解的特點(diǎn)，本文引入了柯西高斯突變策略以提高GJO算法跳出局部最優(yōu)的能力并提升求解精度?？挛鞣植嫉娜≈捣秶^廣，適合主導(dǎo)完成大范圍搜索；高斯分布的取值范圍雖有限但局部開發(fā)能力較強(qiáng)［12］，適合進(jìn)行精細(xì)求解。算法迭代初期，在較大區(qū)域內(nèi)尋找解決方案以幫助金豺種群提升多樣性，且有效降低了算法陷入局部最優(yōu)的可能性；在后期深入進(jìn)行局部開發(fā)以提升算法尋優(yōu)精度；與此同時，在算法的探索和開發(fā)兩個階段保持平衡，并最終在全局優(yōu)化中取得優(yōu)秀解。

綜上，針對兩階段尋優(yōu)側(cè)重點(diǎn)和特點(diǎn)的不同，將金豺個體的適應(yīng)度值與群體的平均適應(yīng)度值進(jìn)行比較，低于平均適應(yīng)度值的個體使用柯西突變，高于平均適應(yīng)度值的個體使用高斯突變進(jìn)行位置更新，最后比較突變攝動前的新、老個體，選擇最優(yōu)個體留在金豺種群中。這一策略使得種群的位置更新更加合理有效，具體公式如下：

zG=（2η）mod 1+rand×1NT（21）

YdS=dmin+（dmax+dmin）×zG（22）

Y*S（t+1）=Y*+YS2（23）

其中：η是標(biāo)準(zhǔn)高斯分布算子；zG是高斯擾動下的解空間；NT是混沌序列中的粒子個數(shù)；rand是（0，1）的隨機(jī)數(shù)；YS（t+1）是新的金豺位置更新公式；dmin和dmax分別是第d維變量YdS的最小值和最大值；Y*是被高斯擾動的個體；YS是高斯擾動產(chǎn)生的量；Y*S是高斯擾動后的個體。

YS（t+1）=Y（t+1）×（1+tan（π×（rand－0.5）））（24）

其中：Y（t+1）為原始個體的位置；YS（t+1）為柯西突變后個體的位置。

2.4 SGJO算法的步驟

綜上針對GJO算法的改進(jìn)策略，SGJO算法的具體步驟如下：

a）參數(shù)初始化，算法種群規(guī)模為N，最大迭代次數(shù)為T；

b）創(chuàng)建獵物矩陣和適應(yīng)度值矩陣；

c）采用Sine映射初始化并建立種群P1，隨后采用透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略建立反向種群P2；

d）合并種群，計(jì)算適應(yīng)度值后排序篩選前N個個體作為新精英種群P；

e）計(jì)算適應(yīng)度值并選出雄金豺和雌金豺；

f）根據(jù)式（6）～（8）計(jì)算逃脫能量E；

g）如果|E|gt;1則選擇式（4）（5）更新獵物位置，否則使用式（12）（13）更新獵物位置；

h）采用帶擾動因子的位置更新策略并根據(jù)式（19）（20）更新獵物位置；

i）比較金豺個體的適應(yīng)度值與群體的平均適應(yīng)度值，低于平均適應(yīng)度值的個體使用柯西突變并根據(jù)式（21）～（23）更新金豺最終位置，高于平均適應(yīng)度值的個體使用高斯突變并根據(jù)式（24）進(jìn)行位置更新；

j）比較突變攝動前的新、老個體的適應(yīng)度值，更新包含最優(yōu)者的金豺種群；

k）判斷是否滿足結(jié)束條件，若不滿足則返回步驟e）繼續(xù)執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)入步驟l）；

l）結(jié)束迭代并輸出最優(yōu)解。

2.5 時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度是算法運(yùn)行效率的重要體現(xiàn)。假設(shè)種群大小為N，最大迭代次數(shù)為itermax，空間維度d；參數(shù)初始化時間為t1，隨機(jī)數(shù)分布到各維的時間為 t2，求解適應(yīng)度值時間為tf，則GJO算法初始化階段的時間復(fù)雜度為T1=O（t1+N（tf+dt2））。在計(jì)算逃脫能量時，由式（6）～（8）求得E、E0、E1的時間分別為t3、t4、t5，由式（9）（10）求得rl的時間為t6，則此階段的時間復(fù)雜度為T2=O（itermax×（N（t3+t4+t5）+t6））。雄金豺和雌金豺在每一維度上位置更新所需時間分別為t7、t8，計(jì)算金豺最終位置的時間為t9，則此階段的時間復(fù)雜度為T3=O（itermax×（N（dt7+dt8）+t9））。

綜上所述，GJO算法的時間復(fù)雜度為T=T1+T2+T3=O（tf+d+itermax×d）。

在SGJO算法中，假設(shè)初始化階段Sine映射初始化時間為g1，透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略建立反向種群時間為g2，則此階段的時間復(fù)雜度為T1′=O（N（dg1+tf）+g2）。計(jì)算逃脫能量的時間復(fù)雜度仍為T2=O（itermax×（N（t3+t4+t5）+t6））。在個體位置更新階段，采用帶擾動因子的位置更新策略的時間為g3，采用柯西高斯突變策略進(jìn)行位置更新的時間為g4，比較新老個體并選擇最優(yōu)個體的時間為g5，則此階段的時間復(fù)雜度為T3′=O（itermax×（N（dt7+dt8+dg3）+g4+g5））。

綜上所述，SGJO算法的時間復(fù)雜度為T′=T1′+T2+T3′=O（tf+d+itermax×d）。

故本文提出的SGJO算法沒有額外增加時間復(fù)雜度，與GJO算法保持一致。

2.6 收斂性分析

在尋優(yōu)中，算法易陷入局部最優(yōu)且種群中個體停滯在當(dāng)前局部最優(yōu)解的邊緣無法跳出，因此對改進(jìn)算法進(jìn)行收斂性分析有助于深入理解算法在求解過程中的行為與特性。根據(jù)文獻(xiàn)［13］提出的適用于隨機(jī)優(yōu)化算法的概率測度法以及收斂準(zhǔn)則進(jìn)行SGJO算法的收斂性分析。

條件1 有f（D（z，ξ））≤f（z），若ξ∈S，則f（D（z，ξ））≤f（ξ）。其中， f（·）是適應(yīng)度函數(shù)，D是隨機(jī)優(yōu)化算法，z是解空間RD子集S中能滿足適應(yīng)度函數(shù)取最小值的一點(diǎn)，ξ是算法D求得的可行解，S是可行解空間。若算法滿足此條件，則說明算法所求新解要優(yōu)于當(dāng)前解，即算法的適應(yīng)度值單調(diào)不增。

條件2 對于S中的任意Borel 子集A，若其測度v［A］gt;0，則有∏∞t=0（1－Pt［A］）=0。其中，測度v［A］定義為A的閉包，Pt［A］是算法D在第t次迭代時的解在子集A中的概率密度。若算法滿足此條件，則說明連續(xù)搜索未尋找到A中點(diǎn)的概率為0，即無法求得全局最優(yōu)解的概率為0。

引理1 對于可測函數(shù)f（·），當(dāng)搜索空間S為RD中的可測子集時，若算法D同時滿足條件1和2，對于算法D產(chǎn)生的解序列為{X（t）}∞t=0，則有l(wèi)imt→∞P［X（t）∈Rε］=1。其中，P［X（t）∈Rε］是t次迭代解X（t）隸屬于最優(yōu)解區(qū)域Rε的概率，Rε是全局最優(yōu)點(diǎn)集合。

定理1 SGJO滿足條件1。在SGJO算法中，經(jīng)t次迭代后求得的解序列為{Y（t）}，全局最優(yōu)解為Yt，對SGJO定義函數(shù)D（·）如下：

D（Yt，Yi（t））=Yt"" f（Yt）≤f（Yi（t））Yi（t）f（Yt）gt;f（Yi（t））（25）

由式（25）可見，最優(yōu)解Yt對應(yīng)的全局最優(yōu)適應(yīng)度值單調(diào)不增，SGJO滿足條件1。

定理2 SGJO滿足條件2。經(jīng)改進(jìn)后SGJO算法的位置更新公式如下：

Yi（t+1）=g1×YSM，i（t）+g2×YSF，i（t）（26）

YSM，i（t）=（YM，i（t）－E×|YM，i（t）－rl×prey（t）|）×（1+λ） |E|≥1

（YM，i（t）－E×|rl×YM，i（t）－prey（t）|）×（1+λ） |E|lt;1（27）

YSF，i（t）=（YFM，i（t）－E×|YFM，i（t）－rl×prey（t）|）×（1+λ） |E|≥1

（YFM，i（t）－E×|rl×YFM，i（t）－prey（t）|）×（1+λ） |E|lt;1（28）

其中：YSM，i（t）和YFM，i（t）分別為雄金豺和雌金豺的樣本空間；Yi（t+1）為金豺最終位置的樣本空間。通過以上策略，隨著迭代的進(jìn)行，雄金豺和雌金豺均趨于最優(yōu)，因而金豺最終位置達(dá)到樣本空間Yi（t+1）的概率大于0，所以Yi（t+1）的閉包v［Yi（t+1）］隨迭代次數(shù)的增加而變大，并集∪Ni=1Yi（t+1）的閉包v［∪Ni=1Yi（t+1）］，因此存在t0，使得tlt;t0時，v［∪Ni=1Yi（t+1）∩S］gt;v［S］，即S∪Ni=1Yi（t+1）。由此，SGJO滿足條件2。

綜上所述，SGJO算法同時滿足條件1和2，由引理1可知，SGJO算法具有全局收斂性。本文通過收斂性分析，一方面確定了SGJO算法在理論上能夠求得全局最優(yōu)解以確保算法的可靠性，另一方面在實(shí)踐上驗(yàn)證了改進(jìn)策略和參數(shù)設(shè)置的有效性。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

為驗(yàn)證SGJO的算法優(yōu)越性，本文選取經(jīng)典的正余弦優(yōu)化算法（SCA）［14］、白鯨優(yōu)化算法（WOA）［15］、灰狼優(yōu)化算法（GWO）［16］、麻雀搜索算法（SSA）［17］以及基本金豺優(yōu)化算法（GJO）和改進(jìn)的金豺優(yōu)化算法MGJO［18］、IGJO［19］分別在基準(zhǔn)測試函數(shù)和CEC2021測試函數(shù)上進(jìn)行對比驗(yàn)證。

3.1 參數(shù)設(shè)置與測試函數(shù)說明

仿真實(shí)驗(yàn)在Intel CoreTM i9-12900H CPU @2.50 GHz，16 GB內(nèi)存配置的平臺進(jìn)行，使用Windows 11操作系統(tǒng)，仿真軟件為MATLAB R2021a。為保證實(shí)驗(yàn)公平，本文將各算法參數(shù)與原文獻(xiàn)保持一致，具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。為保證實(shí)驗(yàn)有效，本文設(shè)置SGJO算法的運(yùn)算參數(shù)與其他各算法相同，即種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為1 000，均進(jìn)行30次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

本節(jié)首先選取20個具有不同特征的基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)性能驗(yàn)證，其中函數(shù)F1～F7為單峰函數(shù)，因其只有一個全局最優(yōu)解，可用于檢驗(yàn)算法在開發(fā)階段的性能；F8～F13為多峰函數(shù)，F(xiàn)14～F20為固維復(fù)合函數(shù)，除一個全局最優(yōu)解之外，還有多個局部最優(yōu)解，因此可用于檢驗(yàn)算法的局部逃逸能力，并可驗(yàn)證算法在開發(fā)和探索階段的平衡能力?；鶞?zhǔn)測試函數(shù)的詳細(xì)信息如表2所示。

3.2 改進(jìn)策略有效性分析

SGJO算法增加的三種策略分別與GJO算法的融合記作GJO1、GJO2、GJO3。GJO1是在種群初始化階段使用混沌精英池策略生成精英種群；GJO2是引入自適應(yīng)擾動因子分別更新雄雌金豺個體；GJO3是采用柯西高斯突變策略更新金豺最終位置。將SGJO算法與GJO、GJO1、GJO2、GJO3算法在基準(zhǔn)測試函數(shù)上進(jìn)行策略有效性實(shí)驗(yàn)，各算法在相同條件下進(jìn)行30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

在表3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，加粗字體數(shù)據(jù)表示平均尋優(yōu)精度比GJO低的值，其中，GJO1、GJO2、GJO3分別在10、11、14個函數(shù)上的平均尋優(yōu)精度得到提升，SGJO在18個函數(shù)上的平均尋優(yōu)精度優(yōu)于GJO。具體來看，GJO1在F2、F7、F8上的最優(yōu)值優(yōu)于GJO，這說明混沌精英池策略提高了GJO的求解精度；GJO2在F1～F4、F9～F11、F14～F19上均求得最優(yōu)值，說明在GJO中引入自適應(yīng)擾動因子策略，可以凸顯增強(qiáng)全局搜索能力的優(yōu)勢；GJO3在基準(zhǔn)測試函數(shù)上的表現(xiàn)僅次于SGJO，不僅在大部分函數(shù)中取得最優(yōu)解，而且穩(wěn)定性也較GJO有所提高，例如在優(yōu)化條件較高的F8上的求解值大幅提升，說明將柯西高斯突變策略用于改進(jìn)GJO的位置更新有助于算法跳出局部最優(yōu)并且能夠提高尋求最優(yōu)解的概率。

在單峰函數(shù)F1～F7的表現(xiàn)上，SGJO算法均取得了最優(yōu)解且算法求解的穩(wěn)定性大大提升。在多峰與固維復(fù)合函數(shù)的求解結(jié)果中，僅F13、F16～F18的穩(wěn)定性稍顯遜色，但數(shù)值結(jié)果相差極小。這說明SGJO算法不僅將三種策略融合良好，而且能夠平衡算法的探索與開發(fā)能力，有效改進(jìn)了GJO算法的性能。

3.3 與其他群智能優(yōu)化算法對比

為驗(yàn)證SGJO算法的有效性，將SGJO與其他群智能優(yōu)化算法以及他人改進(jìn)的GJO算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，結(jié)果如表4所示。由表4的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可見，SGJO的綜合表現(xiàn)優(yōu)于其他對比算法。具體而言，在單峰函數(shù)F1～F7的求解結(jié)果中，除F5、F6之外均取得最優(yōu)值，且在F6中僅次于GWO和SSA，最終尋優(yōu)結(jié)果相差不大。在多峰函數(shù)F8～F13的求解結(jié)果中，F(xiàn)8、F12、F13的結(jié)果沒有取得最優(yōu)，但F8上的表現(xiàn)與其他算法相比差距極小，且F13的排名僅次于WOA和SSA，F(xiàn)12的排名中也處于中游位置。對比固維復(fù)合函數(shù)F14～F20的求解結(jié)果，在除F15之外的其他函數(shù)的求解中均取得最優(yōu)值，且F15的求解值不僅與最優(yōu)值極其接近，而且穩(wěn)定性顯著提升，這說明SGJO算法的魯棒性更好。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可見，由于混沌精英池策略的加入導(dǎo)致SGJO算法的尋優(yōu)范圍擴(kuò)大，進(jìn)而使算法的收斂速度稍有下降；而引入的柯西高斯突變策略須進(jìn)行適應(yīng)度值比較，在一定程度上增加了運(yùn)算量，導(dǎo)致優(yōu)化性能略有下降。對比其他算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，SSA算法在處理此類問題時表現(xiàn)優(yōu)越，可作為進(jìn)一步優(yōu)化SGJO算法的借鑒與參考。

為了更直觀地比較各算法的尋優(yōu)精度與收斂速度，本文選取了部分收斂曲線圖如圖3所示。在函數(shù)F1～F4的收斂曲線圖中，SGJO算法于迭代早期即求得最優(yōu)解；函數(shù)F9、F15與F18的收斂曲線可以體現(xiàn)SGJO算法收斂速度快、收斂精度高的特性；對比F7與F14的收斂曲線，雖SGJO的收斂速度不是最快，但與其他表現(xiàn)突出的算法相差極小，且多次跳出局部最優(yōu)并取得最優(yōu)解。

與MGJO、IGJO的求解結(jié)果及收斂曲線比較分析，雖MGJO與IGJO已大大改善了GJO的不足，但SGJO的綜合性能強(qiáng)于MGJO、IGJO。觀察單峰函數(shù)的收斂曲線可知，SGJO幾乎在200次迭代時已能取得最優(yōu)值，遠(yuǎn)超MGJO與IGJO。

由此可見，SGJO算法不僅尋優(yōu)精度高，而且魯棒性佳，且在求解具有全局最優(yōu)解和多個局部最優(yōu)解的函數(shù)時，能夠在快速收斂的同時多次跳出局部最優(yōu)并提升求解精度。因此SGJO算法不僅大大提升了GJO的綜合性能，且在與其他算法的比較中表現(xiàn)突出，具有極強(qiáng)的競爭力。

綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，SGJO算法首先采用混沌精英池的初始化方式，通過擴(kuò)大種群范圍為尋優(yōu)提供優(yōu)質(zhì)候選解，進(jìn)而提升了算法獲得高質(zhì)量解的概率。隨后，為金豺的個體更新增加自適應(yīng)擾動因子，使算法提升隨機(jī)漫游的能力，進(jìn)而幫助算法在加快收斂速度的同時擴(kuò)大尋優(yōu)范圍。最后，針對算法兩階段尋優(yōu)側(cè)重點(diǎn)的不同，并結(jié)合柯西高斯突變自身特性的不同，在比較金豺個體差異的基礎(chǔ)上，選擇優(yōu)質(zhì)個體并有效更新金豺種群。但SGJO算法仍存在不足，例如初始化階段增加新解的多樣性犧牲了算法的部分收斂速度，且在求解多峰函數(shù)時由于運(yùn)算量增加，導(dǎo)致性能略有下降，仍存在改進(jìn)空間。

3.4 CEC2021測試函數(shù)

為了進(jìn)一步測試SGJO算法解決復(fù)雜問題的能力，本文選取CEC2021測試函數(shù)［20］進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。CEC2021測試函數(shù)是IEEE進(jìn)化計(jì)算機(jī)大會單目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化競賽中提出的10個在10維、20維上可擴(kuò)展的復(fù)雜測試函數(shù)，具體信息如表5所示，各算法參數(shù)設(shè)置同表1。本文在20維上進(jìn)行了與其他算法的對比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表6所示。為直觀比較各算法的收斂速度與收斂精度，選取部分函數(shù)的收斂曲線如圖4所示。

從表6可以看出，SGJO算法在函數(shù)F1～F5、F8、F9上的平均值、最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差均求得理想值。從收斂曲線圖的對比可以直觀地體現(xiàn)其卓越性能，且F2、F3在初次迭代求得最佳解，即縱坐標(biāo)軸上五角星符號處；F6、F7雖未在算法比較中奪得第一，但在F6中排名第三，在F7中排名第二，且穩(wěn)定性優(yōu)越，結(jié)果較為理想，并且F6、F7的求解精度略低于最優(yōu)解，但收斂速度極快；在F10中，標(biāo)準(zhǔn)差和平均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他算法，魯棒性極佳。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果的收斂曲線對比圖可見，SGJO的收斂速度極快，幾乎可以在200次迭代內(nèi)取得最優(yōu)解，與MGJO和IGJO的收斂速度相比有大幅提升。說明SGJO算法無論在全局搜索能力還是收斂速度、尋優(yōu)精度等方面均取得最優(yōu)表現(xiàn)。

因此，在CEC2021測試集上的表現(xiàn)進(jìn)一步證明了本文改進(jìn)的SGJO算法在增加種群多樣性、提升尋優(yōu)精度和平衡探索和開發(fā)階段的有效性和優(yōu)越性能，相較于其他對比算法，其在測試集上表現(xiàn)出最佳性能。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

Wilcoxon秩和檢驗(yàn)作為一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，常用于判斷比較算法間有無顯著性區(qū)別。本文為進(jìn)一步評估SGJO算法的優(yōu)越性和可靠性，選取SGJO算法與其他算法在CEC2021測試集函數(shù)上的運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，具體結(jié)果如表7所示。P值的大小可體現(xiàn)出兩種算法間的顯著性差異，即當(dāng)P值小于5%則差異明顯，反之則不明顯。由表7中的結(jié)果可知，大部分P值都小于5%，說明本文的SGJO算法與其他群智能優(yōu)化算法相比差異顯著，SGJO算法在CEC2021測試集函數(shù)上的性能表現(xiàn)優(yōu)于其他算法。SGJO算法的優(yōu)越性和有效性得到進(jìn)一步驗(yàn)證。

4 汽車側(cè)面碰撞優(yōu)化問題求解

上文實(shí)驗(yàn)均體現(xiàn)了SGJO算法在測試函數(shù)中的優(yōu)越性能，為更全面地檢驗(yàn)SGJO算法在處理大規(guī)模工程優(yōu)化問題中的性能表現(xiàn)，本文選取汽車側(cè)面碰撞優(yōu)化問題進(jìn)行求解。汽車側(cè)面碰撞優(yōu)化問題共包括11個決策變量和10個約束條件，此實(shí)驗(yàn)的目的是通過改變車門的參數(shù)結(jié)構(gòu)使車門重量降至最低，以達(dá)到提高汽車側(cè)面碰撞安全性和降低車輛事故風(fēng)險(xiǎn)的目的［21］。

決策變量分別為B柱內(nèi)板厚度x1、B柱加強(qiáng)板厚度x2、車頂橫梁長度x3、B柱外板材料屈服強(qiáng)度x4、門檻梁長度x5、抗側(cè)撞梁長度x6、車頂邊梁長度x7、B柱內(nèi)板材料屈服強(qiáng)度x8、車底部橫梁長度x9、碰撞位置最小角度x10、碰撞位置最大角度x11。

具體數(shù)學(xué)模型如下：

a）目標(biāo)函數(shù)。

min f（x）=1.98+4.90x1+6.67x2+6.98x3+4.01x4+1.78x5+2.73x7

b）變量取值范圍。

0.5≤x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7≤1.5

x8，x9∈{0.192，0.345}

x10≥－30

x11≤30

c）約束條件。

g1f（X）=1.16－0.3717x2x4－0.00931x2x10－0.484x3x9+0.01343x6x10－1≤0

g2f（X）=46.36－9.9x2－12.9x1x2+0.1107x3x10－32≤0

g3f（X）=33.86+2.95x3+0.1792x3－5.057x1x2－11.0x2x8－

0.0215x5x10－9.98x7x8+22.0x8x9－32≤0

g4f（X）=28.98+3.818x3－4.2x1x2+0.0207x5x10+6.63x6x9－

7.7x7x8+0.32x9x10－32≤0

g5f（X）=0.261－0.0159x1x2－0.188x1x8－0.019x2x7+0.0144x3x5+0.0008757x5x10+0.08045x6x9+0.00139x8x11+0.00001575x10x11－32≤0

g6f（X）=0.214+0.00817x5－0.131x1x8－0.0704x1x9+0.03099x2x6－0.018x2x7+0.0208x3x8+0.121x3x9－0.00364x5x6+0.0007715x5x10－0.0005354x6x10+0.00121x8x11+0.00184x9x10－0.02x2－0.32≤0

g7f（X）=0.74－0.61x2－0.163x3x8+0.001232x3x10－0.166x7x9+0.227x2－0.32≤0

g8f（X）=4.72－0.5x4－0.19x2x3－0.0122x4x10+0.009325x6x10+0.000191x11－4≤0

g9f（X）=10.58－0.674x1x2－1.95x2x8+0.02054x3x10－0.0198x4x10+0.028x6x10－9.9≤0

g10f（X）=16.45－0.489x3x7－0.843x5x6+0.0432x9x10－0.0556x9x11－0.000786x11－15.7≤0

將本文的SGJO算法與算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）、蛇形優(yōu)化算法（SO）以及SCA、GWO、SSA、WOA、GJO算法和改進(jìn)的MGJO、IGJO算法進(jìn)行對比，各算法參數(shù)設(shè)置如表1所示，其中AOA與SO算法的參數(shù)信息來源于文獻(xiàn)［22］，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8所示。由表8可見，SGJO算法求解得到的最小質(zhì)量為22.994 8，該結(jié)果在所有對比算法的求解結(jié)果中取得最小值，說明SGJO算法在求解此類工程問題方面具有一定的適用性。

5 結(jié)束語

本文針對金豺優(yōu)化算法種群多樣性差、易陷入局部最優(yōu)且收斂速度慢等缺點(diǎn)，提出一種混沌精英池初始化種群、融入自適應(yīng)擾動因子更新金豺個體，并基于種群平均適應(yīng)度值和柯西高斯突變進(jìn)行選擇性位置更新的SGJO算法。在SGJO算法中，混沌精英池的初始化方式為算法提供了優(yōu)質(zhì)候選解，算法獲得了高質(zhì)量解的概率有所提升；帶自適應(yīng)擾動因子的金豺個體更新策略使算法在探索階段和開發(fā)階段提升了隨機(jī)漫游的能力，擴(kuò)大尋優(yōu)范圍并加快了算法的收斂速度；最后，針對算法兩階段尋優(yōu)側(cè)重點(diǎn)的不同，比較金豺個體的適應(yīng)度值與群體的平均適應(yīng)度值，令其結(jié)合柯西高斯突變擇優(yōu)并更新金豺種群。為評估SGJO算法的有效性，對20個基準(zhǔn)測試和CEC2021測試函數(shù)進(jìn)行了充分實(shí)驗(yàn)，并與其他群智能優(yōu)化算法在同一實(shí)驗(yàn)條件下作對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了SGJO算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力和魯棒性；汽車側(cè)面碰撞優(yōu)化問題的計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步證明了SGJO算法在解決此類工程問題時的適用性。在后續(xù)工作中，研究的重心將放在求解復(fù)雜的多目標(biāo)問題與實(shí)際工程案例應(yīng)用等問題中。

參考文獻(xiàn)：

［1］Chopra N， Ansari M M. Golden jackal optimization： a novel nature-inspired optimizer for engineering applications ［J］. Expert Systems with Applications， 2022， 198（7）： 116924.

［2］Kumar R P， Karthikeyan G. A multi-objective optimization solution for distributed generation energy management in microgrids with hybrid energy sources and battery storage system ［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 75（1）： 109702.

［3］Aljehane N O， Mengash H A， Eltahir M M， et al. Golden jackal optimization algorithm with deep learning assisted intrusion detection system for network security ［J］. Alexandria Engineering Journal， 2024， 86（1）： 415-424.

［4］Liu Wenli， Liu Tianxiang， Liu Zihan， et al. A novel deep learning ensemble model based on two-stage feature selection and intelligent optimization for water quality prediction ［J］. Environmental Research， 2023， 224（5）： 115560.

［5］謝國民， 王潤良. 基于改進(jìn)金豺算法的短期負(fù)荷預(yù)測［J］. 電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)， 2024， 36（3）： 65-74. （Xie Guomin， Wang Runliang. Short-term power load prediction based on improved golden jackal optimization algorithm ［J］. Proceedings of the CSU-EPSA， 2024， 36（3）： 65-74.）

［6］回立川， 曹明遠(yuǎn)， 遲一璇. 融合粒子群的改進(jìn)金豺算法及應(yīng)用［J］. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)， 2024， 30（5）： 1733-1744. （Hui Lichuan， Cao Mingyuan， Chi Yixuan. Improved golden jackal algorithm based on particle swarm optimization and its application ［J］. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2024， 30（5）： 1733-1744.）

［7］徐凱， 張會妨. 基于自適應(yīng)金豺算法動壓滑動軸承的多目標(biāo)優(yōu)化 ［J］. 機(jī)械強(qiáng)度， 2023， 45（3）： 640-645. （Xu Kai， Zhang Huifang. Multi-objective optimization of hydrodynamic bearing based on adaptive golden jackal algorithm ［J］. Journal of Mechanical Strength， 2023， 45（3）： 640-645.）

［8］Deniz A， Kiziloz E H. On initial population generation in feature subset selection ［J］. Expert Systems with Applications， 2019， 137（12）： 11-21.

［9］Vieira R S S， Mosna R A. Homoclinic chaos in the Hamiltonian dynamics of extended test bodies ［J］. Chaos， Solitons amp; Fractals， 2022， 163（10）： 112541.

［10］劉磊， 姜博文， 周恒揚(yáng)， 等. 融合改進(jìn)Sine混沌映射的新型粒子群優(yōu)化算法 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2023， 57（8）： 182-193. （Liu Lei， Jiang Bowen， Zhou Hengyang， et al. A novel particle swarm optimization algorithm incorporating improved sine chaos mapping［J］. Journal of Xi ’an Jiaotong University， 2023， 57（8）： 182-193.）

［11］Long Wen， Jiao Jianjun， Xu Ming， et al. Lens-imaging learning Harris hawks optimizer for global optimization and its application to feature selection［J］. Expert Systems with Applications， 2022， 202（9）： 117255.

［12］Yao Liguo， Yuan Panliang， Tsai C Y， et al. ESO： an enhanced snake optimizer for real-world engineering problems ［J］. Expert Systems with Applications， 2023， 230（11）： 120594.

［13］Li Yanting， Wang Shuai， Jin Junwei， et al. Imbalanced complemented subspace representation with adaptive weight learning ［J］. Expert Systems with Applications， 2024， 249（9）： 123555.

［14］Mirjalili S. SCA： a sine cosine algorithm for solving optimization problems ［J］. Knowledge-Based Systems， 2016， 96（3）： 120-133.

［15］Mirjalili S， Lewis A. The whale optimization algorithm ［J］. Advances in Engineering Software， 2016， 95（5）： 51-67.

［16］Mirjalili S， Mirjalili S M， Lewis A. Grey wolf optimizer ［J］. Advances in Engineering Software， 2014， 69（3）： 46-61.

［17］Xue Jiankai， Shen Bo. A novel swarm intelligence optimization approach： sparrow search algorithm ［J］. Systems Science amp; Control Engineering， 2020， 8（1）： 22-34.

［18］Kumar S N， Mohanty N K. Modified golden jackal optimization assisted adaptive fuzzy PIDF controller for virtual inertia control of micro grid with renewable energy ［J］. Symmetry， 2022， 14（9）： 1946.

［19］朱興淋， 汪廷華， 賴志勇. 混合策略改進(jìn)的金豺優(yōu)化算法 ［J］. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2024， 60（4）： 99-112. （Zhu Xinglin， Wang Tinghua， Lai Zhiyong. Hybrid-strategy improved golden jackal algorithm ［J］. Computer Engineering and Applications， 2024，60（4）： 99-112.）

［20］Solis F J， Wets R J B. Minimization by random search techniques［J］. Mathematics of Operations Research， 1981， 6（1）： 19-30.

［21］Gu L， Yang R J， Tho C H， et al. Optimization and robustness for crashworthiness of side impact［J］. Vehicle Design， 2001， 26（4）： 348-360.

［22］賈鶴鳴， 陳麗珍， 力尚龍， 等. 透鏡成像反向?qū)W習(xí)的精英池侏儒貓鼬優(yōu)化算法［J］. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2023， 59（24）： 131-139. （Jia Heming， Chen Lizhen， Li Shanglong， et al. Optimization algorithm of elite pool dwarf mongoose based on lens imaging reverse learning［J］. Computer Engineering and Applications， 2023， 59（24）： 131-139.）

［23］王逸文， 王維莉， 楊宇鴿， 等. 多策略融合改進(jìn)的海洋捕食者算法及其工程應(yīng)用［J/OL］. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng).［2024-05-17］. http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.5946.TP.20230515.1111.008.html. （Wang Yiwen， Wang Weili， Yang Yuge， et al. Improved marine predators algorithm with multi-strategy fusion and its enginee-ring applications ［J］. Computer Integrated Manufacturing System. ［2024-05-17］. http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.5946.TP.20230515.1111.008.html.）

［24］王永貴， 趙煬， 鄒赫宇， 等. 多策略融合的蛇優(yōu)化算法及其應(yīng)用 ［J］. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2024， 41（1）： 134-141. （Wang Yonggui， Zhao Yang， Zou Heyu， et al. Multi-strategy fusion snake optimizer and its application ［J］. Application Research of Computers， 2024， 41（1）： 134-141.）

［25］李大海， 曾能智， 王振東. 多策略協(xié)同改進(jìn)的麻雀搜索算法 ［J］. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2023， 40（11）： 3269-3275. （Li Dahai， Zeng Nengzhi， Wang Zhendong. Multi-strategy collaborative improved sparrow search algorithm ［J］. Application Research of Compu-ters， 2023， 40（11）： 3269-3275.）