摘 要：

為了使差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）能夠更好地利用個體鄰域和整個種群的信息，提出了鄰域精英信息和種群全局信息自適應(yīng)的多策略差分進(jìn)化算法（adaptive multi-strategy differential evolution algorithm for neighborhood elite collective information and population global information，MSDE-NECPG）。首先，充分利用個體鄰域中多個精英個體的信息對變異策略進(jìn)行引導(dǎo)，使搜索向更好的方向移動，提高開發(fā)能力。其次，為了讓鄰域的狀態(tài)能夠隨著搜索過程不斷地進(jìn)化，引入鄰域更新機制。當(dāng)鄰域最優(yōu)個體連續(xù)多代更新失敗，鄰域可能陷入局部最優(yōu)，此時擴(kuò)大鄰域半徑，提高探索能力。同時，引入變異策略“DE/current-to-pbest”，這一策略不劃分鄰域，是基于種群的全局信息。兩個策略基于個體的改進(jìn)率進(jìn)行多策略的自適應(yīng)，在局部信息和全局信息之間進(jìn)行平衡。此外，為了防止參數(shù)的錯誤交互，縮放因子F、交叉率CR根據(jù)成功歷史積累進(jìn)行更新，采用分組的參數(shù)自適應(yīng)機制，不斷適應(yīng)搜索過程。最后，為了驗證其有效性，在CEC2014的30個基準(zhǔn)函數(shù)上，與 5 種迄今為止比較先進(jìn)的差分進(jìn)化算法進(jìn)行比較，實驗結(jié)果表明，所提算法的精度、穩(wěn)定性和收斂速度比得上這5種先進(jìn)的算法。

關(guān)鍵詞：差分進(jìn)化；鄰域精英信息；多策略自適應(yīng)；參數(shù)自適應(yīng)

中圖分類號：TP301.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2024）12-024-3710-06

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.05.0118

Adaptive multi-strategy differential evolution algorithm for neighborhood elite collective information and population global information

Song Xiaoyu， Zhu Yanlin， Zhao Ming

（School of Computer Science amp; Engineering， Shenyang Jianzhu University， Shenyang 110168， China）

Abstract：

This paper proposed a multi-strategy differential evolution algorithm （MSDE-NECPG） to better utilize individual neighborhood and global population information in the differential evolution （DE） algorithm. Firstly， it fully utilized the information of multiple elite individuals in the individual neighborhood to guide the mutation strategy， moving the search towards better directions and enhancing the exploitation capability. Secondly， it introduced an update mechanism for the neighborhood to ensure its state evolved continuously throughout the search process. When the optimal individual in the neighborhood fails to update consecutively for multiple generations， the neighborhood may fall into a local optimum. At this point， this paper expanded the neighborhood radius to increase exploration capability. It introduced the mutation strategy “DE/current-to-pbest”， which was based on the global information of the population. These two strategies adaptively adjusted based on the improvement rate of individuals， balancing between local and global information. Furthermore， to prevent parameter error interaction， the scaling factor F and crossover rate CR were updated based on successful historical accumulations， employing a grouped parameter adaptive mechanism to continuously adapt to the search process. Finally， to validate its effectiveness， experiments were conducted on 30 benchmark functions from CEC2014， comparing it with five state-of-the-art differential evolution algorithms. The experimental results demonstrate that the proposed algorithm is comparable to these five advanced algorithms in terms of accuracy， stability and convergence speed.

Key words：differential evolution; neighborhood elite information; multi-strategy adaptive; parameter adaptive

0 引言

因為差分進(jìn)化算法（DE）具有原理簡單、易于實現(xiàn)和魯棒性強等特點［1］，所以被廣泛應(yīng)用于多個領(lǐng)域，比如動態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度［2］、電力調(diào)度［3］和車輛路徑優(yōu)化問題［4］等。然而，DE算法在面對復(fù)雜的問題時，容易出現(xiàn)過早收斂和陷入局部最優(yōu)的問題，導(dǎo)致算法的停滯［1］。

為了充分利用種群個體周圍的信息，許多學(xué)者在變異策略中引入了鄰域。Tian等人［5］提出了基于鄰域的變異策略，利用鄰域中個體的適應(yīng)度值來生成策略的選擇參數(shù)，并且根據(jù)鄰域的性能來識別鄰域的狀態(tài)，提出了鄰域的動態(tài)模型，緩解鄰域的進(jìn)化困境。Yan等人［6］利用鄰域的歷史信息和種群的歷史信息生成變異策略，通過預(yù)測有希望的區(qū)域指導(dǎo)搜索，還引入了重啟機制，利用預(yù)測信息對較差的個體進(jìn)行替換。這些基于鄰域的變異策略還可以進(jìn)一步考慮與基于整個種群的策略組合使用，自適應(yīng)地選擇變異策略，進(jìn)一步平衡探索與開發(fā)。

為了充分利用不同變異策略的搜索特點，許多學(xué)者采用自適應(yīng)的多種變異策略來提升算法的搜索能力。Qin等人［7］提出了一種自適應(yīng)的差分進(jìn)化算法，將四種變異策略進(jìn)行結(jié)合，引入學(xué)習(xí)周期的概念，記錄不同策略在前LP代中生成的實驗向量成功進(jìn)入下一代的個數(shù)和沒有進(jìn)入下一代的個數(shù)，根據(jù)前幾代生成的有希望的解來生成策略的選擇概率。Mallipeddi等人［9］利用集成的方法，將不同的變異策略和控制參數(shù)集成到DE中，為變異策略生成一個變異策略池，每個控制參數(shù)都有一個值池，根據(jù)它們在過去幾代的成功率來選擇變異策略和控制參數(shù)。Wang等人［10］將三個變異策略和三種固定的參數(shù)組合分別放入策略池和控制參數(shù)池，三個策略每次從控制參數(shù)池中隨機選擇一種參數(shù)組合，生成三個實驗向量，從中選擇效果最優(yōu)的組合。在變異策略的選取上需要考慮變異策略之間的能力搭配使得它們優(yōu)勢互補，再結(jié)合自適應(yīng)選擇策略才能充分發(fā)揮各自的作用。

許多學(xué)者還通過參數(shù)自適應(yīng)的方式將控制參數(shù)自動更新到合適的值以使其適應(yīng)算法的搜索過程。Zhang等人［8］利用歷史種群信息對控制參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)更新，使F服從柯西分布，Cr服從正態(tài)分布，記錄每一代的成功值，根據(jù)成功值對參數(shù)進(jìn)行更新。Tanabe等人［11］采用加權(quán)算術(shù)平均值對μF和μCR進(jìn)行更新，并且當(dāng)下一代中存在更好的個體時，F(xiàn)由上一代成功F的加權(quán)算術(shù)平均值更新，Cr由上一代成功Cr的加權(quán)算術(shù)平均值更新。當(dāng)代中沒有更好的個體產(chǎn)生時，F(xiàn)和Cr值保持與上一代相同。Meng等人［12］采用隨機普遍選擇將種群分為K組，對控制參數(shù)進(jìn)行分組處理，每組F服從柯西分布，Cr服從正態(tài)分布，并且引入了某個個體被分類到第k組的概率，根據(jù)概率對μCR獨立更新，防止了參數(shù)的錯誤交互。在參數(shù)自適應(yīng)的選取上還應(yīng)該進(jìn)一步考慮參數(shù)自適應(yīng)機制與策略的適配性和參數(shù)之間的相互影響。

基于上述相關(guān)研究的分析，在算法變異階段，可以考慮變異策略之間的搭配，形成基于個體鄰域的變異策略與整個種群的變異策略。采用多策略自適應(yīng)機制，改善傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法在迭代過程中易陷入局部最優(yōu)的問題。通過鄰域的動態(tài)更新，調(diào)整搜索能力，并且進(jìn)一步設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)機制，考慮與策略的適配性和參數(shù)之間的相互影響，使參數(shù)更新符合進(jìn)化需求，提高算法的效率。為此，本文提出了一種鄰域精英集體信息和種群全局信息自適應(yīng)的多策略差分進(jìn)化算法。

本文的主要貢獻(xiàn)如下：

a）將鄰域概念引入變異策略。為個體構(gòu)建鄰域，在鄰域中隨機選取多個精英個體進(jìn)行線性組合，利用精英個體的集體信息引導(dǎo)變異策略加大個體周圍的局部搜索能力。

b）對鄰域進(jìn)行動態(tài)更新。當(dāng)鄰域最優(yōu)個體連續(xù)多代更新失敗時，擴(kuò)大鄰域的范圍，避免搜索策略陷入局部最優(yōu)，調(diào)整搜索能力。

c）個體鄰域和整個種群的變異策略進(jìn)行多策略自適應(yīng)選擇。在每一代基于個體的改進(jìn)率自適應(yīng)地選擇變異策略，適應(yīng)進(jìn)化需求。

d）設(shè)置參數(shù)自適應(yīng)機制。參數(shù)按策略分組并自適應(yīng)調(diào)整，對每一個變異策略分配一組參數(shù)，該組參數(shù)根據(jù)成功歷史積累進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。并且，每組參數(shù)將F和CR分組進(jìn)行更新，防止每一組參數(shù)之間的誤交互，更新到合適的值。

1 基礎(chǔ)DE算法

DE算法是一種用于全局優(yōu)化的進(jìn)化算法，其搜索過程分為以下幾個階段：

a）初始化階段：隨機生成一定數(shù)量的個體作為初始種群。第i個個體是xi， j={xi，1，xi，2…，xi，D}，其中D是維度。

xi， j=xlj+rand（0，1）（xuj－xlj）（1）

b）變異階段：變異操作是通過對這幾個不同個體的差異進(jìn)行線性組合得到的。這個差異向量稱為變異向量。

vi=xr1+F（xr2－xr3）（2）

其中：F為縮放因子；xi表示種群中第i個個體。

c）交叉階段：將變異向量與目標(biāo)個體進(jìn)行交叉操作，生成一個新的個體。

ui， j=vi， j" if rand（0，1）≤CR or j=jrand

xi， j" otherwise （3）

d）選擇階段：比較新生成的個體與原始個體，選擇其中更優(yōu)秀的個體作為下一代的種群。

xi=ui" if f（ui）≤f（xi）

xi" otherwise（4）

e）終止條件：當(dāng)函數(shù)評估的次數(shù)達(dá)到函數(shù)評估的最大次數(shù)（FESmax）時，算法將停止運行，輸出數(shù)據(jù)。

2 改進(jìn)算法

2.1 鄰域精英集體信息引導(dǎo)的變異策略（NECI）

變異策略在差分進(jìn)化算法中具有重要的作用，現(xiàn)在的研究中，大多數(shù)的變異策略是基于整個種群的搜索。相比于整個種群的搜索，基于鄰域的變異策略更注重局部搜索，可以避免過度探索導(dǎo)致搜索空間過大、計算復(fù)雜度過高的問題。但不是鄰域中所有的個體都可以引導(dǎo)變異策略向好的方向發(fā)展，所以本文利用鄰域中精英個體進(jìn)行引導(dǎo)，并且為了避免一個固定的精英個體可能產(chǎn)生陷入局部最優(yōu)的問題，又選取多個精英個體進(jìn)行線性組合，引導(dǎo)變異策略向好的方向發(fā)展，并且具有一定的隨機性，不至于陷入局部最優(yōu)。

NECI變異策略采用基于索引的環(huán)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為每個個體創(chuàng)建鄰域N（i），鄰域的索引范圍以當(dāng)前個體為中心上下各一半，引入鄰域精英集合信息的均值xcnbest，它是在鄰域中適應(yīng)度值排名前20%的個體中隨機選取m個個體的集合，m是在［1，20%N（i）］中隨機生成的一個整數(shù)，保證在鄰域中選擇多個精英個體的同時又增加隨機性，使精英集合信息能夠引導(dǎo)變異策略向好的方向發(fā)展的同時又減少了陷入局部最優(yōu)的可能。

本文提出的NECI變異策略如下：

v1i， j=xi， j+F（xcnbest， j－xi， j）+F（xnr1， j－xnr2， j）（5）

其中：F為縮放因子；nr1、nr2是來自個體xi的鄰域N（i）中的隨機整數(shù)，且nr1≠nr2≠i；xnr1的適應(yīng)度值大于xnr2的適應(yīng)度值。xcnbest， j計算公式如下：

xcnbest， j=∑mk=1wk*xk， j（6）

同時，為了保證精英集合信息能夠向好的精英個體偏向，往更好的方向引導(dǎo)變異策略，引入權(quán)重因子wk。通過權(quán)重因子決定個體的比重，使鄰域中越好的個體所占的比重越多，以此來引導(dǎo)策略找到更好的進(jìn)化方向。wk的計算公式如下：

wk=m－k+11+2+…+m" k=1，2，…，m（7）

2.2 鄰域動態(tài)更新機制

鄰域半徑?jīng)Q定著鄰域的范圍大小，對算法的搜索能力、收斂速度有著密切的聯(lián)系。較小的鄰域半徑使得算法能夠快速地收斂到局部最優(yōu)解的附近，提高算法的收斂速度，但是過小的半徑容易使算法陷入局部最優(yōu)。較大的鄰域半徑會擴(kuò)大搜索范圍，使得鄰域最優(yōu)解接近全局最優(yōu)解，但過大的鄰域半徑可能導(dǎo)致搜索空間過于龐大，增加計算成本并降低搜索效率。固定的鄰域半徑難以識別鄰域的進(jìn)化狀態(tài)，當(dāng)鄰域陷入局部最優(yōu)或停滯時，會浪費大量的計算資源。為此本文引入鄰域動態(tài)更新機制，根據(jù)進(jìn)化的狀態(tài)，及時調(diào)整鄰域的半徑，更新鄰域的范圍。

在這一機制中，引入鄰域最優(yōu)個體xnbest，它是鄰域中適應(yīng)度值排名第一的個體，代表著在當(dāng)前的鄰域范圍內(nèi)找到的具有最優(yōu)性能的解。記錄xnbest連續(xù)多代更新失敗的次數(shù)，可以幫助識別鄰域的進(jìn)化狀態(tài)，如果xnbest多次更新失敗，可能意味著算法已經(jīng)陷入局部最優(yōu)或停滯。

在開始時，將xnbest連續(xù)更新失敗的次數(shù)設(shè)置為0，當(dāng)xnbest沒有更新時次數(shù)增加1，當(dāng)獲得更好的xnbest時，次數(shù)回歸到0。當(dāng)次數(shù)到達(dá)規(guī)定閾值時，表示鄰域最優(yōu)個體連續(xù)多代更新失敗，此時鄰域可能陷入局部最優(yōu)或停滯，可以通過增加鄰域半徑，擴(kuò)大鄰域范圍，增加鄰域的多樣性。

Nri=Nri+10%NP

其中：Nri是N（i）的半徑，將Nri初始化為10%NP，以保證算法在早期階段的探索。

本文的鄰域動態(tài)更新機制利用鄰域的最優(yōu)個體來識別當(dāng)前鄰域的進(jìn)化狀態(tài)，通過擴(kuò)大鄰域半徑，向鄰域內(nèi)增加新個體，提高其多樣性。這一方法能夠有效地利用鄰域個體信息，根據(jù)搜索過程中的情況自適應(yīng)地調(diào)整鄰域大小，引導(dǎo)個體向更有希望的方向移動，提高鄰域的多樣性，幫助算法跳出局部最優(yōu)。

2.3 多策略自適應(yīng)選擇機制

為了平衡全局和局部的信息，本文引入了基于整個種群信息的變異策略DE/current-to-pbest，這一策略不劃分鄰域，使用整個種群中排名靠前的精英個體引導(dǎo)變異策略，擴(kuò)大搜索范圍，提高算法的開發(fā)能力［8］。

變異策略DE/current-to-pbest的公式為

v2i， j=xi， j+F（xpbest， j－xi， j）+F（xr1， j－r2， j）（8）

其中：F為縮放因子；xpbest是當(dāng)前種群中前p％個個體（p=0.05）；r1是［1，NP］中的隨機整數(shù)，r2是從P∪A中選取的，A是外部存檔，A初始化為空。將每代的劣解添加到存檔中。存檔大小超過固定閾值時，則從外部存檔A中隨機選擇解并刪除，r1≠r2≠i 。

由于這一策略更加側(cè)重于整個種群信息的使用，在多數(shù)情況下，可能會忽略搜索的精度。為此本文根據(jù)個體的改進(jìn)率將基于整個種群信息的變異策略DE/current-to-pbest與基于個體鄰域信息的變異策略進(jìn)行自適應(yīng)策略選擇，保證搜索的廣度和精度。

在初始階段，每一個變異策略的機會均等，在每一代結(jié)束后，根據(jù)變異策略對個體的改進(jìn)率更新策略選擇的概率參數(shù)，使算法自適應(yīng)地選擇變異策略，識別個體狀態(tài)。策略選擇的概率參數(shù)設(shè)置為p1，將p1初始化為0.5，保證策略的機會均等，同時，為了保證在算法運行中每一個變異策略都可以被使用，改進(jìn)率最小為0.2，最大到0.8，在0.2～0.8動態(tài)變化。

p1的更新公式如下：

pg+11=（1－c）pg1+cΔg1（9）

其中：c為學(xué)習(xí)率，為常數(shù)0.1；g為代數(shù)；Δg1是變異策略1的改進(jìn)率，改進(jìn)率的計算公式為

Δg1=min（0.8，max（0.2，w1w1+w2））（10）

其中：w1是變異策略1的新舊適應(yīng)度差的和，w1的計算公式為

w1=∑ni=1f（xi）－f（ui）（11）

其中： f（a）表示個體a的適應(yīng)度值。

改進(jìn)率是在變異操作后個體在適應(yīng)度上的改善程度，是評估個體變異后性能提升的一種指標(biāo)［13］。本文提出的多策略自適應(yīng)選擇機制根據(jù)變異策略對個體的改進(jìn)率更新策略選擇的概率參數(shù)，能夠使算法根據(jù)進(jìn)化的需求自適應(yīng)的選擇變異策略，提高引導(dǎo)精準(zhǔn)性，有效對變異策略進(jìn)行引導(dǎo)。

同時本文選取的變異策略中用于引導(dǎo)的信息類別分別為基于鄰域精英集體信息和基于種群全局信息，其中基于鄰域精英集體信息更注重局部搜索，幫助算法更好地利用局部信息，可以避免過度探索導(dǎo)致搜索空間過大、計算復(fù)雜度過高的問題。而基于種群全局信息更加側(cè)重全局搜索，擴(kuò)大搜索范圍，提高算法的開發(fā)能力。兩者搭配使用可以保證算法在進(jìn)化過程中的精度與廣度，提高算法的效率［14］。

2.4 參數(shù)自適應(yīng)機制

差分進(jìn)化算法中控制參數(shù)縮放因子F和交叉率Cr對算法的性能和收斂速度有著重要的影響。為了更好地提高參數(shù)對變異策略的適應(yīng)能力，為每個變異策略都設(shè)置一組參數(shù)池，這一參數(shù)池中有K組參數(shù)，根據(jù)成功歷史積累進(jìn)行更新，以此來防止參數(shù)的錯誤交互，能夠很好地反映當(dāng)前對參數(shù)大小的需求，同時通過分組可以使參數(shù)具有一定的隨機性，避免相同的參數(shù)失去參數(shù)的配合，提高多樣性。將整個種群分為k組，每組有唯一的一對μF-μCR，第 k組的位置參數(shù)μFk和交叉率μCRk使用公式獨立更新。

Δ fj=f（ugj）-f（xgj）

ws=Δ fj∑F∈SFK Δ fj

meanWL（SFK）=∑F∈SFKws*F2∑F∈SFKws*F

meanWL（SCRK）=∑F∈SCRK ws*CR2∑F∈SCRK ws*CR

μFK=meanWL（SFK）" if SFK≠

μFK otherwise

μCRK=meanWL（SCRK）" if SCRK≠

μCRK otherwise（12）

其中：SFK、SCRK表示第K組中生成比父代更好的實驗向量的個體的F和CR的集合。為了防止出現(xiàn)偏差，將μF、μCR收斂到一個極小值，本文采用加權(quán)的Lehmer均值對μF、μCR進(jìn)行更新。根據(jù)如下公式分別生成第k組的縮放因子和交叉率。

FK=randc（μFK，σF）（13）

CRK=randn（μCRK，σCR）（14）

其中：μFk、μCRk初始化為0.5；為了保持F和CR值在小范圍內(nèi)穩(wěn)定波動，參考相關(guān)文獻(xiàn)參數(shù)自適應(yīng)地設(shè)置［12］，將σF的初始值設(shè)定為0.2，σCR的初始值設(shè)定為0.1。如果生成了［0，1］之外的CRk值，則用最接近生成值的極限值（0或1）代替。當(dāng)Fk gt; 1時，將Fk截斷為1，當(dāng)Fk≤0時，再次生成有效值。

2.5 復(fù)雜性分析

復(fù)雜性是評估算法性能的重要標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)將分析MSDE-NECPG算法的復(fù)雜性，并與經(jīng)典的DE算法進(jìn)行對比分析。MSDE-NECPG算法與經(jīng)典的DE算法的主要區(qū)別在于引入了NECI策略、鄰域動態(tài)更新機制、多策略自適應(yīng)選擇機制和參數(shù)自適應(yīng)機制。其中NECI策略的主要操作是對每個個體的鄰域進(jìn)行排序并計算出鄰域精英集合信息的均值xcnbest，其復(fù)雜度分別是O（G·Nmax·log2N）和O（G·（NP·D+NP·20%Nmax·D+D）），其中G為最大迭代次數(shù)，Nmax表示最大的鄰域大小。鄰域動態(tài)更新機制在每一代判斷xnbest是否進(jìn)行更新，其復(fù)雜度是O（G·NP·D）。多策略自適應(yīng)選擇機制的主要操作是對每個個體進(jìn)行排序并計算出變異策略的概率參數(shù)，其復(fù)雜度分別是O（G·NP·log2NP）和O（G·NP·D）。參數(shù)自適應(yīng)機制主要操作是通過隨機普遍選擇進(jìn)行種群分組，其復(fù)雜度是O（G·NP·k），k代表對種群劃分的組數(shù)，為常數(shù)4。因此MSDE-NECPG算法的復(fù)雜性為O（G·Nmax·log2N）+O（G·（NP·D+NP·20%Nmax·D+D））+O（G·NP·D）+O（G·NP·log2NP）+O（G·NP·D）+O（G·NP·k）=O（G·NP·20%Nmax·D），經(jīng)典的DE算法的復(fù)雜度為O（G·NP·D）［6］。由于Nmax的大小往往比NP小很多，所以不會造成嚴(yán)重的額外計算負(fù)擔(dān)。

算法的流程如圖1所示。

3 實驗分析

在本章中，通過在CEC2014基準(zhǔn)函數(shù)集上的30個基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行實驗分析，評估了MSDE-NECPG算法的性能并與其他先進(jìn)的算法進(jìn)行了比較。CEC2014基準(zhǔn)函數(shù)集被廣泛使用［15］，包含了多種不同類型的優(yōu)化函數(shù)，如單峰函數(shù)、多峰函數(shù)、混合函數(shù)和組合函數(shù)。

3.1 實驗設(shè)計和參數(shù)設(shè)置

本文利用算法獨立運行51次記錄的平均值（mean error）和方差（std dev）衡量算法的精度、穩(wěn)定性，并且利用收斂圖衡量算法的收斂速度。此外，采用Wilcoxon符號秩檢驗顯示兩個算法在0.05顯著性水平下的差異，采用Friedman檢驗顯示所有算法在測試集上的總體排名。

為了評價MSDE-NECPG的優(yōu)勢，本文將MSDE-NECPG與五個改進(jìn)的DE算法在D= 30、50和100時進(jìn)行比較。這些算法包括JADE、EPSDE 、CIPDE、PALMDE和CoDE。其中JADE算法采用了變異策略DE/current-to-best進(jìn)行更新，MSDE-NECPG算法雖然同樣使用了基于整個種群信息的變異策略DE/current-to-pbest，但與之不同的是，MSDE-NECPG算法將這一策略與鄰域精英集體信息引導(dǎo)的變異策略相結(jié)合，使變異策略基于種群全局信息和鄰域精英集體信息，可以保證算法在進(jìn)化過程中的精度與廣度；CIPDE利用適應(yīng)度值大于等于當(dāng)前個體的集體信息引導(dǎo)的變異策略，MSDE-NECPG算法的NECI變異策略同樣使用了集體信息，但是與之不同的是，MSDE-NECPG算法利用的是鄰域中精英個體的集體信息，并且精英個體的選取是在排名前20%的個體中隨機選取，這樣在引導(dǎo)變異策略向好的方向發(fā)展的同時又增加了隨機性；EPSDE、CoDE和MSDE-NECPG均采用了多策略自適應(yīng)機制，EPSDE根據(jù)在過去幾代的成功率來選擇變異策略，CoDE根據(jù)每一代不同策略生成實驗向量的效果來選擇效果最優(yōu)的變異策略，MSDE-NECPG在每一代基于個體的改進(jìn)率自適應(yīng)地選擇變異策略，適應(yīng)進(jìn)化需求。PALMDE和MSDE-NECPG均對控制參數(shù)進(jìn)行分組處理，其中PALMDE引入了某個個體被分類到第k組的概率，根據(jù)概率對μCR獨立更新，防止了參數(shù)的錯誤交互，MSDE-NECPG根據(jù)成功歷史積累進(jìn)行參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整。與這幾個算法比較可以更好地比較出MSDE-NECPG的精度、穩(wěn)定性和收斂性。

實驗的參數(shù)設(shè)置如下，當(dāng)函數(shù)評估的次數(shù)達(dá)到函數(shù)評估的最大次數(shù)（FESmax）時，算法將停止運行，將函數(shù)最大評估次數(shù)設(shè)置為10 000D，種群大小設(shè)置為10D，算法獨立運行51次。

本文對算法的核心參數(shù)進(jìn)行了敏感性測試，分別對鄰域更新閾值和鄰域半徑更新大小進(jìn)行了實驗。將動態(tài)鄰域更新閾值分別設(shè)置為50、70、90、100、110，鄰域大小的更新分別設(shè)置為1%NP、5%NP、10%NP、15%NP、20%NP，對其進(jìn)行實驗驗證，比較不同參數(shù)設(shè)置下的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。實驗結(jié)果表明上述參數(shù)存在敏感性，并且將動態(tài)鄰域更新閾值設(shè)置為100，鄰域大小的更新設(shè)置為10%NP時，算法的性能最好。本文篇幅有限，上述參數(shù)優(yōu)化的實驗數(shù)據(jù)不進(jìn)行展示。

3.2 比較與討論

3.2.1 均值和方差

表1給出了算法在30維時，顯著性水平為0.05的Wilco-xon符號秩檢驗和Friedman檢驗的統(tǒng)計結(jié)果。“AVE”和“RANK”意指平均排名值和最終的排名。本文篇幅有限，50維和100維的實驗數(shù)據(jù)將不進(jìn)行展示。

在30維時，MSDE-NECPG在第19、22、15、14、21個函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于JADE、EPSDE、CIPDE、PALMDE、CODE。算法的平均排名分別為3.550 0、3.966 7、3.233 3、3.283 3、4.266 7、2.700 0，最終排名分別為4、5、2、3、6、1。

在50維時，MSDE-NECPG在第20、23、16、15、24個函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于JADE、EPSDE、CIPDE、PALMDE、CODE。算法的平均排名分別為3.200 0、4.316 7、3.166 7、3.116 7、4.666 7、2.516 7，最終排名分別為4、5、3、2、6、1。

在100維時，MSDE-NECPG在第12、26、17、13、23、26個函數(shù)上的結(jié)果優(yōu)于JADE、EPSDE、CIPDE、PALMDE、CODE。算法的平均排名分別為2.433 3、4.333 3、2.933 3、3.233 3、5.283 3、2.783 3，最終排名分別為1、5、3、4、6、2。

為了進(jìn)一步研究算法的性能，本文在CEC2014 函數(shù)上進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗，結(jié)果表明，在所有情況下，R+值均比R-值更高，在30維、50維、100維時，與JADE、EPSDE相比，P值小于0.05，存在明顯差異。在50維、100維時，與CoDE相比，P值小于0.05，存在明顯差異。

3.2.2 收斂圖

為了進(jìn)一步展示其收斂性能，圖2給出了在CEC2014測試集30維上，MSDE-NECPG與上述DE變體在包括f1、 f9、 f17、 f18、 f19和f22在內(nèi)的6個典型函數(shù)上的演化曲線（參見電子版）。這6個函數(shù)屬于不同類型的函數(shù)，其中f1屬于單峰函數(shù)， f9屬于多模函數(shù)， f17、 f18、 f19和f22屬于混合函數(shù)，選取幾個有代表性的函數(shù)可以反映不同類型函數(shù)的收斂性。

從圖2可以看出，在f1上，ESPDE 和 JADE 在前期收斂速度較快，但在進(jìn)化中后期進(jìn)入乏力階段，而 PALMDE 和 MSDE-NECPG 在中后期收斂速度較快，后期MSDE-NECPG 比 PALMDE 收斂更快，效率更高。在 f9上可以看到，ESPDE 和 MSDE-NECPG 在前期收斂速度較快，但ESPDE在進(jìn)化中后期進(jìn)入乏力階段，后期MSDE-NECPG收斂最快效率最高。在f17上ESPDE和 CoDE 在前期收斂速度較快，但在中后期進(jìn)入乏力階段，而MSDE-NECPG 在進(jìn)化后期收斂速度較快。在f18上ESPDE在前期收斂速度較快，但在中后期進(jìn)入乏力階段，而MSDE-NECPG 在后期收斂速度較快。在 f19 中，可以看到MSDE-NECPG 在評估次數(shù)100 000次之后，與另外幾個算法的差距逐漸拉開，開始大幅收斂。 f22中，進(jìn)化前期，大多數(shù)函數(shù)表現(xiàn)良好，但是在進(jìn)化中期開始平穩(wěn)，而 MSDE-NECPG中后期表現(xiàn)優(yōu)異，收斂速度極快，達(dá)到了較好的收斂效果。

4 結(jié)束語

為了進(jìn)一步挖掘個體鄰域的信息，增強算法的開發(fā)能力，本文將鄰域的概念引入變異策略，利用了精英集體信息對該個體的變異策略進(jìn)行引導(dǎo)；為了讓鄰域的狀態(tài)能夠隨著搜索過程不斷地進(jìn)化，結(jié)合搜索過程的需求，本文將鄰域進(jìn)行動態(tài)更新，當(dāng)鄰域最優(yōu)個體連續(xù)多代更新失敗，擴(kuò)大鄰域半徑，提高了探索能力。同時，引入基于整個種群信息的變異策略“DE/current-to-pbest”，基于個體的改進(jìn)率進(jìn)行多策略的自適應(yīng)，更好地平衡了探索與開發(fā)。對于參數(shù)，根據(jù)成功歷史積累進(jìn)行更新，采用分組的參數(shù)自適應(yīng)機制，不斷適應(yīng)搜索過程，防止了參數(shù)的錯誤交互。

在CEC2014的30個基準(zhǔn)函數(shù)上的對比分析實驗結(jié)果表明，與五種先進(jìn)的差分進(jìn)化算法相比，所提算法的精度、穩(wěn)定性和收斂速度比得上這五種先進(jìn)的算法。

在后續(xù)研究中，尋找合適的方法將本文算法與ABC算法進(jìn)行混合，進(jìn)行算法的優(yōu)勢互補，針對復(fù)雜程度不同的問題可以自適應(yīng)地選擇算法，提高其效率。

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