摘 要：物理動(dòng)畫(huà)（PBA）的目的是通過(guò)初始幀信息迭代生成多幀物理現(xiàn)象動(dòng)畫(huà)。而現(xiàn)有的基于深度學(xué)習(xí)的材料模擬模型基本采用編解碼器來(lái)提高模型的擬合能力，沒(méi)有充分利用材料本身的物理信息，導(dǎo)致模擬的效率和精度較差。針對(duì)該問(wèn)題，提出了融合物理信息的多材料模擬學(xué)習(xí)模型（PILMMS）。該模型將整個(gè)流程按物理概念分為內(nèi)部力、外部力和邊界處理等多個(gè)功能模塊。根據(jù)對(duì)應(yīng)的物理相關(guān)概念和機(jī)制對(duì)功能模塊進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓每個(gè)模塊通過(guò)輸入特征融合對(duì)應(yīng)物理信息。而基于卷積網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的各個(gè)模塊能充分利用局部區(qū)域信息。此外，卷積模塊引入了維度拓寬和縮減。在壓縮信息的同時(shí)，也保證信息的精度。該模型分別被用于學(xué)習(xí)液體、沙子、雪等材料，并生成對(duì)應(yīng)結(jié)果。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該模型具有較強(qiáng)的信息提取能力，并在客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)上都優(yōu)于現(xiàn)有模型。

關(guān)鍵詞：材料模擬； 物理信息； 局部區(qū)域信息； 維度拓寬

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）11-042-3490-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.12.0637

Physics informed learning model for multi-material simulation

Dou Kewei， Zhu Jian^?， Chen Bingfeng， Cai Ruichu

（School of Computers， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China）

Abstract：Physics-based animation（PBA） aims to iteratively generate multiple frames of physical phenomenon animations based on the initial frame information. Existing deep learning based material simulation models usually improve model fitting ability through encoders and decoders， but fail to fully utilize the physical information of the materials themselves， resulting in poor simulation effectiveness and accuracy. To address this problem， this paper proposed a material simulation model based on physical information（PILMMS）. This model divided the entire schedule into multiple functional modules based on physical concepts， including internal force， external force， boundary processing， and so on. it designed each functional module based on its physical concepts and mechanisms， allowing them to integrate the corresponding physical information through input features. Furthermore， the various modules implemented based on convolutional networks could fully utilize local region information. In addition， it introduced dimension expansion and reduction into the convolution module. This ensured the accuracy of information while compressing it. The model was used to learn materials such as liquid， sand， snow， etc and generate corresponding results. It verifies that the proposed model has strong information extraction ability and outperforms existing models in objective evaluation indicators.

Key words：material simulation; physical information; information of local region; dimension expansion

0 引言

近年來(lái)，深度學(xué)習(xí)方法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中各個(gè)方向的研究，包括真實(shí)感渲染、三維重建、物理動(dòng)畫(huà)、圖像生成等。而物理動(dòng)畫(huà)作為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域的重要研究方向，也嘗試與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合。物理動(dòng)畫(huà)（PBA）是指利用物理規(guī)律模擬真實(shí)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)、碰撞等行為，可以應(yīng)用于影視、游戲、科學(xué)研究等領(lǐng)域。2016年，深度學(xué)習(xí)首次在物理動(dòng)畫(huà)領(lǐng)域獲得較大關(guān)注。由于本身擬合功能的強(qiáng)大泛化性和多樣性，其在物理動(dòng)畫(huà)領(lǐng)域中越發(fā)受到重視?；谏疃葘W(xué)習(xí)的物理動(dòng)畫(huà)方法與傳統(tǒng)的物理動(dòng)畫(huà)方法不同。傳統(tǒng)方法往往為基于物理模型實(shí)現(xiàn)的數(shù)值方法，利用算法框架去模擬材料的真實(shí)感動(dòng)態(tài)行為，包括液體、煙霧、沙石等。而基于深度學(xué)習(xí)的方法是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的，其能夠從真實(shí)數(shù)據(jù)或傳統(tǒng)方法生成的數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)潛在或人類無(wú)法感知的規(guī)律。

其中，第一個(gè)有影響力的使用深度學(xué)習(xí)的方法是由Tompson等人^［1］ 提出的FluidNet。其合并多個(gè)不同層次卷積網(wǎng)絡(luò)的輸出，通過(guò)端到端的方式學(xué)習(xí)投影步驟迭代求解器的非線性映射。其強(qiáng)大的擬合能力帶來(lái)的加速作用，展現(xiàn)出令人印象深刻的潛力。與此同時(shí)，Yang等人^［2］提出一種基于局部信息的求解器網(wǎng)絡(luò)，而前者的求解器網(wǎng)絡(luò)是基于全局信息的。之后，Gao等人^［3］在兩者的基礎(chǔ)上提出混合局部和全局的方法，并輔以多樣性場(chǎng)景進(jìn)行數(shù)據(jù)增強(qiáng)。這啟發(fā)后續(xù)諸多工作^{［4，5］} 嘗試使用深度學(xué)習(xí)解決物理動(dòng)畫(huà)中計(jì)算復(fù)雜或耗時(shí)長(zhǎng)的部分。

除此之外，還有一部分工作^［6～12］嘗試?yán)没邳c(diǎn)實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)達(dá)到更精細(xì)的效果。其中第一個(gè)有影響力使用圖網(wǎng)絡(luò)的工作由Sanchez-Gonzalez等人^［13］提出，通過(guò)近鄰搜索構(gòu)建點(diǎn)之間的邊，利用點(diǎn)和邊上的信息進(jìn)行交替更新。最后通過(guò)對(duì)點(diǎn)進(jìn)行編解碼實(shí)現(xiàn)端到端的預(yù)測(cè)任務(wù)。之后文獻(xiàn)［14，15］利用圖網(wǎng)絡(luò)來(lái)學(xué)習(xí)模擬布料或多體的動(dòng)態(tài)行為，但這些工作每一次迭代必備的建立圖步驟都需耗費(fèi)一定的時(shí)間。相比于基于網(wǎng)格的方法^{［16～20］}，基于點(diǎn)的方法模擬效果更好，但在計(jì)算性能方面一般遜色于基于網(wǎng)格的方法。

除了在網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)上進(jìn)行創(chuàng)新，一些研究者嘗試從物理方程或概念入手。根據(jù)數(shù)值計(jì)算的經(jīng)典方法，在特征或算法上進(jìn)行基于物理的創(chuàng)新或巧妙設(shè)計(jì)。Raissi等人^［21］提出基于物理信息的網(wǎng)絡(luò)，讓模型從物理數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)物理方程的解，實(shí)現(xiàn)對(duì)物理方程的快速求解。之后，Chu等人^［22］將NS方程引入到對(duì)煙霧體密度在時(shí)間維度上的評(píng)估中，在體密度的基礎(chǔ)上重建三維空間中的煙霧。這種利用物理模型的方法能夠?qū)崿F(xiàn)更恰當(dāng)?shù)念A(yù)測(cè)，但重建體煙霧對(duì)存儲(chǔ)和計(jì)算存在較高要求。而Tang等人^［23］將物理信息引入到流體控制上，通過(guò)將形變網(wǎng)絡(luò)改變的流向輸入模型，去預(yù)測(cè)流體速度場(chǎng)的變化量來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)流體的控制。但這種方法存在一定的控制局限性。據(jù)本文調(diào)查，目前基于深度學(xué)習(xí)的材料模擬模型往往采用端到端編解碼器架構(gòu)，缺乏融合物理信息的應(yīng)用。那將物理信息引入到材料模擬模型能否有積極的影響？為此，本文提出了一種融合物理信息的多材料模擬學(xué)習(xí)模型（physics informed learning model for multi-material simulation，PILMMS）。本文方案的原理是，融合物理信息能促進(jìn)模型更容易從多樣的物理數(shù)據(jù)中提取關(guān)鍵信息。

最后，本文的主要貢獻(xiàn)包括：a）提出一種基于卷積網(wǎng)絡(luò)的材料模擬模型，該模型能有效地提取局部區(qū)域的有效信息，提高材料的模擬性能；b）將物理信息引入到材料模擬模型，提供一種新的信息提取方式，提高模型面對(duì)多樣性數(shù)據(jù)的健壯性；c）將碰撞處理機(jī)制引入到邊界處理步驟，能有效地捕捉邊界的重要信息，提高模型對(duì)材料模擬的精度。

1 方法論

1.1 理論基礎(chǔ)

傳統(tǒng)方法中，往往通過(guò)求解控制方程來(lái)模擬不同材料的動(dòng)態(tài)行為。本工作采用的控制方程如下：

DρDt=0（1）

ρDvDt=▽·σ+ρg（2）

式（1）為質(zhì)量守恒方程，用于保證物體的總質(zhì)量在整個(gè)物理系統(tǒng)中保持不變。其中：ρ為物體密度;t為時(shí)間。式（2）為動(dòng)量守恒方程，用于保證物體的總動(dòng)量在整個(gè)物理系統(tǒng)中保持不變。其中：v為物體速度；g為外部力加速度;σ為應(yīng)力張量;▽·σ為基于材料類型的力。

1.2 算法流程

為實(shí)現(xiàn)模擬不同材料的動(dòng)態(tài)行為的目標(biāo)，本文構(gòu)建了一個(gè)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型，用于學(xué)習(xí)和求解控制方程或系統(tǒng)。為了讓模型能夠求解系統(tǒng)，使其通過(guò)觀察粒子的運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。而該系統(tǒng)是馬爾可夫的，即系統(tǒng)在下一幀的狀態(tài)僅取決于當(dāng)前幀的狀態(tài)。因此，整個(gè)模型（PILMMS）可以定義如下：

A′_P=PILMMS（A_P）（3）

其中：A_P為當(dāng)前幀的粒子狀態(tài)；A′_P為下一幀的粒子狀態(tài)；PILMMS（·）為模型函數(shù)。

如圖1所示，融合物理信息的多材料模擬學(xué)習(xí)模型（PILMMS）主要由粒子轉(zhuǎn)換到網(wǎng)格（particle to grid，P2G）、內(nèi)部力模塊（internal force module，IFM）、外部力（external force mo-dule，EFM）、邊界處理模塊（boundary process module，BPM）、預(yù)測(cè)模塊（prediction module，PM）、網(wǎng)格轉(zhuǎn)換到粒子（grid to particle，G2P）、積分（integration，INT）七個(gè)部分組成。該網(wǎng)絡(luò)模型的任務(wù)是根據(jù)輸入的當(dāng)前幀的粒子狀態(tài)預(yù)測(cè)下一幀的粒子狀態(tài)，狀態(tài)包括位置和速度等。把輸入的粒子狀態(tài)定義為A_P，輸出的粒子狀態(tài)定義為A′_P，其中下標(biāo)P或G表示為粒子集合或網(wǎng)格集合。

粒子轉(zhuǎn)換到網(wǎng)格部分用于將粒子集合上的狀態(tài)A_P轉(zhuǎn)換為網(wǎng)格集合上的狀態(tài)A_G，其操作如式（4）所示。

A_G=f_P2G（A_P）（4）

其中：f_P2G（·）代表粒子轉(zhuǎn)換到網(wǎng)格的操作。在P2G中，把速度和質(zhì)量從粒子轉(zhuǎn)換到離粒子空間位置最近的網(wǎng)格。

網(wǎng)格上的狀態(tài)A_G，隨后被輸入到內(nèi)部力模塊（IFM）。IFM根據(jù)材料類型計(jì)算對(duì)應(yīng)材料本身內(nèi)蘊(yùn)的影響力，這有利于模型學(xué)習(xí)不同材料類型的動(dòng)態(tài)行為，其操作如式（5）所示。

F^*_G=f_IFM（A_G，e）（5）

其中：f_IFM（·）代表內(nèi)部力模塊的操作；e為材料類型的獨(dú)熱碼。IFM的輸出F^*_G為基于材料類型內(nèi)部力計(jì)算的隱式特征。

隨后將F^*_G輸入外部力模塊（EFM），EFM根據(jù)設(shè)置參數(shù)模擬環(huán)境的外部影響力，比如重力、風(fēng)力、引力、斥力等。這將有利于模型學(xué)習(xí)外部力對(duì)材料動(dòng)態(tài)行為的影響。其操作為

F^**_G=f_EFM（F^*_G，f_ext）（6）

其中：f_EFM（·）代表外部力的操作；f_ext為手動(dòng)設(shè)置的外部力大?。籈FM的輸出F^**_G為經(jīng)過(guò)外部力計(jì)算的隱式特征。

模型不僅學(xué)習(xí)內(nèi)部力和外部力，還需學(xué)習(xí)模擬過(guò)程中的邊界處理。為防止材料逃出有限的模擬空間，引入邊界處理模塊（BPM）處理靠近模擬空間邊界的材料。將F^**_G輸入BPM，有利于模型學(xué)習(xí)邊界附近材料的精細(xì)處理。其操作如式（7）所示。

F^***_G=f_BPM（F^**_G，A_bd）（7）

其中：f_BPM（·）代表邊界處理模塊；A_bd代表邊界網(wǎng)格的狀態(tài)；BPM的輸出F^***_G代表經(jīng)過(guò)邊界處理計(jì)算的隱式特征（BPM模塊將在1.4節(jié)中詳細(xì)敘述）。

把完成邊界處理的結(jié)果F^***_G輸入預(yù)測(cè)模塊（PM）生成網(wǎng)格殘差Δv_G。其操作如式（8）所示。

Δv_G=f_PM（F^***_G）（8）

其中：f_PM（·）代表預(yù)測(cè)模塊的操作；PM的輸出Δv_G代表網(wǎng)格速度的變化量。

再把網(wǎng)格殘差Δv_G和網(wǎng)格速度v_G相加生成新的網(wǎng)格速度v′_G，其操作如式（9）所示。

v′_G=v_G+Δv_G（9）

隨后將新的網(wǎng)格速度v′_G轉(zhuǎn)換為新的粒子速度v′_P，其操作如式（10）所示。

v′_P=f_G2P（v′_G）（10）

其中：f_G2P（·）代表網(wǎng)格轉(zhuǎn)換到粒子的操作。

最后，將新的粒子速度v′_P通過(guò)歐拉積分生成新的粒子位置x′_P。其操作如式（11）所示。

x′_P=x_P+Δt v′_P（11）

其中：Δt為相鄰幀間的時(shí)間間隔。值得注意的是，整個(gè)模擬過(guò)程是迭代求解的，所以會(huì)生成多幀的位置和速度。因此，本文會(huì)在后面的描述中使用上標(biāo)n表示當(dāng)前幀的序號(hào)。

1.3 粒子與網(wǎng)格的轉(zhuǎn)換

粒子和網(wǎng)格上狀態(tài)的相互轉(zhuǎn)換皆基于插值的方法實(shí)現(xiàn)。通過(guò)計(jì)算粒子與其關(guān)聯(lián)網(wǎng)格們的權(quán)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)值守恒的狀態(tài)轉(zhuǎn)換。本文采用的插值函數(shù)為B樣條核函數(shù)，計(jì)算的權(quán)值為空間各個(gè)維度的核函數(shù)乘積，粒子與其關(guān)聯(lián)網(wǎng)格的權(quán)值計(jì)算為

w_pi=K（x_p，i）=K（x_p-ihh）K（y_p-jhh）K（z_p-khh）（12）

其中：x_p=［x_p，y_p，z_p］為粒子位置；i=［i，j，k］為關(guān)聯(lián)網(wǎng)格位置；h為網(wǎng)格的空間間隔。K為B樣條核函數(shù)，與生成數(shù)據(jù)集的算法保持一致，其如式（13）所示。

K（x）=12|x|³-|x|²+23 0≤|x|lt;1

-16|x|³+|x|²-2|x|+431≤|x|lt;20otherwise（13）

根據(jù)式（13），每個(gè)粒子在每個(gè)空間維度都關(guān)聯(lián)4個(gè)網(wǎng)格，所以每個(gè)粒子總共關(guān)聯(lián)4×4×4=64個(gè)網(wǎng)格，但每個(gè)網(wǎng)格關(guān)聯(lián)的粒子數(shù)量是不一致和不固定的。因此式（4）（10）表示為

A_i=∑pw_piA_p（14）

A′_p=∑iw_piA′i（15）

其中：A=［vⁿ，mⁿ］包含的狀態(tài)為當(dāng)前幀速度和質(zhì)量，值得注意的是，每個(gè)粒子的質(zhì)量是不變的；A′=［vⁿ］包含的狀態(tài)為下一幀速度。

1.4 基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

為實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的整體一致性和通用性，本文基于基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)所有的功能模塊；而不同功能模塊主要通過(guò)輸入特征來(lái)區(qū)分。本文采用卷積層結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)，，其中卷積操作定義為conv（s，o），其中s是濾波器的大小，o是濾波器的數(shù)量。

如圖2所示，基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)由多個(gè)卷積單元（conv unit）和一個(gè)1×1×1卷積層組成，并在輸出的末端加入殘差連接。每個(gè)卷積單元由3×3×3卷積層、批量歸一化（batch normalization，BN）^［24］、LeakyReLU^［25］、dropout^［26］組成。在受到U-Net^［27］的啟發(fā)下，將整個(gè)基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分為上模塊（up module）和下模塊（down module）兩部分。up module包含的conv unit負(fù)責(zé)提取信息和拓寬特征維度；conv unit的輸出特征維度為輸入特征維度的兩倍。down module則負(fù)責(zé)相反的功能，將輸入特征與up module對(duì)應(yīng)的conv unit的輸出特征拼接到一起，最后被轉(zhuǎn)換為輸出特征。其conv unit的輸入特征維度為輸出特征維度的兩倍。這種設(shè)計(jì)既能夠壓縮信息的內(nèi)容，同時(shí)也能保證一定的信息精度。

1.5 邊界處理模塊

與內(nèi)部力和外部力模塊一樣，邊界處理模塊也融合物理信息作為輸入特征，以提高網(wǎng)絡(luò)對(duì)邊界處多樣數(shù)據(jù)的健壯性。與內(nèi)部力和外部力模塊只修改輸入特征不同，邊界處理模塊還引入碰撞處理機(jī)制解決物體和邊界的交互。受到文獻(xiàn)［28］啟發(fā)，本文根據(jù)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)特性引入虛擬網(wǎng)格表示邊界網(wǎng)格。通過(guò)僅在靠近邊界的材料網(wǎng)格周圍生成虛擬邊界網(wǎng)格，能夠有效減少邊界處理的計(jì)算復(fù)雜度。這種設(shè)計(jì)策略只需關(guān)注邊界附近的網(wǎng)格，而無(wú)須對(duì)整個(gè)模擬空間進(jìn)行處理，從而顯著提高計(jì)算效率和降低存儲(chǔ)占用。通過(guò)將材料網(wǎng)格與虛擬邊界網(wǎng)格進(jìn)行碰撞處理來(lái)實(shí)現(xiàn)邊界處理。而受文獻(xiàn)［29］啟發(fā)，碰撞處理采用基于質(zhì)量的設(shè)計(jì)，即質(zhì)量越大的材料保持本身移動(dòng)趨勢(shì)的能力和影響周圍材料移動(dòng)趨勢(shì)的能力越大。在本工作中，邊界網(wǎng)格被假設(shè)成一種具有龐大質(zhì)量的固定剛體材料。這種設(shè)計(jì)能夠防止材料在模擬過(guò)程中逃出有限的模擬空間。融合對(duì)應(yīng)的物理信息作為引導(dǎo)，式（7）可以表示為

F^***_G=f_BPM（F^**_G，mⁿ_G，v_bd，m_bd）（16）

其中：mⁿ_G為當(dāng)前幀的材料網(wǎng)格的質(zhì)量；v_bd為邊界網(wǎng)格的速度，為零向量；m_bd為邊界網(wǎng)格的質(zhì)量，為粒子質(zhì)量的64倍。

1.6 損失函數(shù)

本文選擇粒子的速度作為標(biāo)簽值和預(yù)測(cè)值。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，相比于選擇網(wǎng)格上的特征，選擇粒子上特征來(lái)計(jì)算損失函數(shù)得到的模擬效果更精細(xì)。此外，選擇平滑L₁函數(shù)來(lái)優(yōu)化模型。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，某些粒子的標(biāo)簽值與預(yù)測(cè)值之間存在差值較大的情況，即存在離群點(diǎn)的情況。平滑L₁函數(shù)能有效地保證模型在面對(duì)離群點(diǎn)的情況下是可優(yōu)化的。其表示為

l（，）=（-）²2β if |-|lt;β

|-|-β2otherwise（17）

其中：為標(biāo)簽值;為預(yù)測(cè)值;β為手動(dòng)設(shè)置的閾值。

除了計(jì)算粒子集合的N個(gè)粒子的平均損失外，還計(jì)算向前預(yù)測(cè)多幀的平均損失，即當(dāng)前幀的狀態(tài)會(huì)被迭代模擬T幀，分別計(jì)算T個(gè)幀損失值的平均值。因在模擬迭代過(guò)程中往往出現(xiàn)累積預(yù)測(cè)誤差，這種設(shè)計(jì)能夠提高模型的健壯性和預(yù)測(cè)結(jié)果的確定性。因此整個(gè)損失函數(shù)可以表示為

L（θ）=1T∑Tt=11N∑Np=1l（^n+t_p，^n+t_p）（18）

其中：θ為模型的參數(shù)；t向前迭代預(yù)測(cè)的幀序號(hào)；p為粒子的序號(hào)；^n+t_p為粒子速度的標(biāo)簽值；^n+t_p為粒子速度的預(yù)測(cè)值。這樣的損失函數(shù)設(shè)計(jì)能夠從時(shí)間和空間兩個(gè)維度訓(xùn)練模型，以提高模型模擬的精確度。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

1）數(shù)據(jù)集 與文獻(xiàn)［13］保持一致，本文采用物質(zhì)點(diǎn)法（material point method，MPM） ^{［30，31］}生成高精度的多種材料數(shù)據(jù)集。物質(zhì)點(diǎn)法是一個(gè)目前多用于模擬不同材料的數(shù)值方法，通過(guò)將不同材料的本構(gòu)模型代入應(yīng)力張量來(lái)轉(zhuǎn)換為受力，使得離散化單元能夠模擬廣泛類型材料的動(dòng)態(tài)行為。一般離散化單元代表粒子或網(wǎng)格，而物質(zhì)點(diǎn)法正是粒子和網(wǎng)格混合的方法，這也是本文選擇物質(zhì)點(diǎn)法作為基準(zhǔn)算法去生成數(shù)據(jù)集的原因。在生成的數(shù)據(jù)集中，本文創(chuàng)建了30個(gè)隨機(jī)生成的不同場(chǎng)景。生成的內(nèi)容包括材料的初始位置、剛體邊界、材料的隨機(jī)初始速度等。

2）實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié) 除非另有說(shuō)明，否則每個(gè)卷積層的conv（s，o）的卷積核大小s為3，核數(shù)量o為32，1個(gè)步伐和4個(gè)填充。使用Adam^［32］優(yōu)化器進(jìn)行優(yōu)化，其中β₁=0.9和β₂=0.999，并在訓(xùn)練過(guò)程中使用權(quán)重衰減。學(xué)習(xí)率最初設(shè)置為1×10^-4，然后每4×10³個(gè)epoches降低為之前的0.5倍，直到1×10⁶個(gè)epoches結(jié)束。批的大小設(shè)置為2，迭代次數(shù)設(shè)置為2。此外，每完整訓(xùn)練完網(wǎng)絡(luò)一次，都對(duì)數(shù)據(jù)集的幀進(jìn)行一次隨機(jī)排列，防止網(wǎng)絡(luò)對(duì)特定幀序列過(guò)擬合。輸入特征的噪聲分布的平均值為0，方差為1×10^-5。所有實(shí)驗(yàn)都在配備Python 3.8，PyTorch 1.11和Nvidia A4000的GPU服務(wù)器上進(jìn)行。

2.2 消融實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證各個(gè)模塊的作用，實(shí)驗(yàn)把網(wǎng)絡(luò)框架中的外部力模塊、邊界處理模塊和預(yù)測(cè)模塊去除所得的模型作為base模型，分別在base模型上引入外部力模塊（EFM）、邊界處理模塊（BPM）、預(yù)測(cè)模塊（PM）。而整合了base、EFM、BPM、PM的完整模型記為PILMMS（physics informed learning model for multi-material simulation）。設(shè)置的網(wǎng)格分辨率為 64×64×64，在測(cè)試集上計(jì)算MSE值作為模擬指標(biāo)。

由表1第1～4行可見(jiàn)，分別引入外部力、邊界處理和預(yù)測(cè)模塊，對(duì)base模型在MSE值上分別有0.41×10^-6、0.92×10^-6和0.16×10^-6的降低。其中單獨(dú)引入邊界處理模塊的降低幅度比較大，單獨(dú)引入預(yù)測(cè)模塊的降低幅度比較小。原因是邊界處理模塊利用額外的邊界網(wǎng)格對(duì)材料網(wǎng)格進(jìn)行修正和更新，引入了有效的額外信息。而外部力模塊僅輸入手動(dòng)設(shè)置的外部力參數(shù)，預(yù)測(cè)模塊則僅讓材料網(wǎng)格進(jìn)行自更新。這兩個(gè)模塊皆缺乏必要的額外信息，所以對(duì)base模型在MSE值上的降低比較小。由第3～6行可見(jiàn)，外部力模塊和預(yù)測(cè)模塊分別與邊界處理模塊組合，比原來(lái)模型分別有0.35×10^-6和0.21×10^-6的降低。原因是外部力模塊引入外部信息來(lái)提高信息的有效性，而預(yù)測(cè)模塊因缺乏關(guān)鍵外部信息而無(wú)法從特征中提取出更多有效信息，所以性能略差。

由表1最后一行可見(jiàn)，整合了base模型、外部力模塊、邊界處理模塊、預(yù)測(cè)模塊的完整模型的性能達(dá)到最優(yōu)值，為 1.32×10^-6。相比于base模型降低1.45×10^-6，證實(shí)了本文模型的合理性。

2.3 對(duì)比現(xiàn)有先進(jìn)模型

將本文方法與幾種最先進(jìn)的材料模擬模型方法進(jìn)行了比較，包括GNS^［13］ 、CConv^［19］、DMCF^［20］。GNS在材料模擬模型方面提出首個(gè)具有較大影響力的圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工作。CConv利用球函數(shù)映射將粒子采樣的權(quán)值參數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)變成球形連續(xù)的，使得整個(gè)卷積網(wǎng)絡(luò)模型能更好地近似基于粒子的材料模擬器。DMCF使用網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)核函數(shù)來(lái)盡可能保證模擬過(guò)程的動(dòng)量守恒。本文通過(guò)運(yùn)行公開(kāi)代碼或自己復(fù)現(xiàn)大多數(shù)方法。而數(shù)據(jù)集方面，測(cè)試集屬于數(shù)據(jù)集的一小部分，并且在訓(xùn)練的過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)模型沒(méi)有使用測(cè)試集進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。測(cè)試集又被分為液體（liquid）、沙子（sand）和雪（snow）三個(gè)不同類型的數(shù)據(jù)集。以上方法都會(huì)被這些不同的數(shù)據(jù)集分別訓(xùn)練并測(cè)試，最后得到對(duì)應(yīng)的MSE度量值。而MSE度量值分為一步和兩步，由當(dāng)前幀迭代預(yù)測(cè)一或兩幀的預(yù)測(cè)值與標(biāo)簽值計(jì)算損失函數(shù)得出。

1）模擬指標(biāo)

由表2可知，兩步MSE值一般比一步MSE值更大；原因是兩步累積的預(yù)測(cè)誤差往往比一步累積的預(yù)測(cè)誤差更大。其中CConv和DMCF在liquid測(cè)試集上的性能比其在sand和snow測(cè)試集上的性能更好，可見(jiàn)CConv和DMCF在流體材料上的模擬比其他材料更優(yōu)。這也許因?yàn)镃Conv和DMCF模型針對(duì)液體材料進(jìn)行設(shè)計(jì)，使得其在液體模擬上有更高的性能。所以在整體上，GNS和PILMMS模型的性能皆優(yōu)于CConv和DMCF。而融合物理信息的PILMMS，在各個(gè)不同材料的測(cè)試集上，指標(biāo)皆優(yōu)于采用編解碼器結(jié)構(gòu)的GNS。在不同材料測(cè)試集上分別達(dá)到0.80×10⁶/2.52×10⁶、0.71×10⁶/2.32×10⁶、1.3×10⁶/3.94×10⁶，這也驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。

2）計(jì)算性能

表3顯示不同模型在計(jì)算性能上的定量結(jié)果，其中的數(shù)據(jù)或由本文計(jì)算，或來(lái)自原始論文。在模型參數(shù)上，GNS由于本身較高的深度和較多的模塊，導(dǎo)致其參數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他方法。而PILMMS雖然在參數(shù)量上多于最少的CConv，但僅達(dá)到0.23×10⁶。除此之外，其他方法都受限于近鄰搜索附帶的冗余顯存占用，而PILMMS利用卷積網(wǎng)絡(luò)省略掉這部分顯存占用，在推斷過(guò)程達(dá)到了最少的3.34 GB。同時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度的減少也帶來(lái)推斷速度的提升，達(dá)到平均每幀5.31 ms，這也證明本文方法優(yōu)于其他方法。因?yàn)楸疚牡挠?jì)算瓶頸主要集中在相鄰區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)層計(jì)算上。但模型的存儲(chǔ)空間大小固定，所以影響計(jì)算速率的主要因素是輸入信息量的大小。以基于粒子的方法為例，假設(shè)粒子數(shù)量為N，每個(gè)查詢粒子的平均鄰居數(shù)為M。需要為每個(gè)查詢粒子分配對(duì)應(yīng)鄰居的信息，則對(duì)應(yīng)的空間復(fù)雜度為O（NM）。而粒子間通常存在相同的鄰居粒子，導(dǎo)致冗余信息占據(jù)額外的空間。同時(shí)每個(gè)查詢粒子需要自身信息和鄰居粒子進(jìn)行信息交互，因此時(shí)間復(fù)雜度為O（NM）。而PILMMS是基于網(wǎng)格的方法，假設(shè)有效的網(wǎng)格數(shù)量為L(zhǎng)，一般也小于N。由于卷積層的特性，無(wú)須分配鄰居網(wǎng)格的信息，所以對(duì)應(yīng)的空間復(fù)雜度為O（L），時(shí)間復(fù)雜度為O（27L），遠(yuǎn)小于基于粒子的方法。

2.4 視覺(jué)效果

圖3模擬的都是材料方塊垂直掉落場(chǎng)景。對(duì)于液體，材料方塊碰撞形成的豐富飛濺和浪花接近物理事實(shí)。對(duì)于沙子，材料方塊碰撞形成的滑落符合視覺(jué)直覺(jué)。對(duì)于雪，材料方塊碰撞形成的多樣性破碎和散落具有真實(shí)感。

圖4展示液體、沙子和雪三種材料下落過(guò)程中與三角體邊界交互的模擬結(jié)果。在液體和三角體碰撞的過(guò)程中，液體在自由表面表現(xiàn)出的光滑和濺到地面表現(xiàn)出的漣漪，都能表明本文方法能夠很好地模擬液體的視覺(jué)效果。而在沙子和三角體碰撞的過(guò)程中，沙子在整體上表現(xiàn)出的散落和在三角體表面表現(xiàn)出的滑落，都能表明本文方法能夠很好地模擬沙子的視覺(jué)效果。最后在雪和三角體碰撞的過(guò)程中，雪在整體上表現(xiàn)出的結(jié)果和掉落三角體上表現(xiàn)的附著，都能表明本文方法能夠很好地模擬雪的視覺(jué)效果。以上結(jié)果都能從視覺(jué)效果上表明本文方法在模擬不同材料方面的能力。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)現(xiàn)有材料模擬模型的端到端編解碼器架構(gòu)缺乏物理信息引導(dǎo)的問(wèn)題，提出了融合物理信息的多材料模擬學(xué)習(xí)模型（PILMMS）。該模型融合物理信息機(jī)制，為對(duì)應(yīng)功能模塊輸入設(shè)計(jì)特定的物理信息，以此充分利用物理信息的多樣性。同時(shí)將算法分為多個(gè)功能，為每個(gè)功能設(shè)置對(duì)應(yīng)的模塊，以此提高模型的拓展性和泛化性。若后續(xù)出現(xiàn)額外功能或新材料類型的需求，只需要添加額外功能模塊或修改原有模塊的輸入，而不必費(fèi)時(shí)地修改模塊結(jié)構(gòu)或更改算法流程的順序。除此之外，利用卷積網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以此提高模型計(jì)算效率和特征提取能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型在各數(shù)據(jù)集上的性能比較上都優(yōu)于現(xiàn)有模型。此外，未來(lái)工作中將參照文獻(xiàn)［33］研究利用上層次化區(qū)域的信息，進(jìn)一步提升模擬效率和精度。

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