建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：知識(shí)是不能被傳遞的，是需要主動(dòng)建構(gòu)的.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到課堂實(shí)踐中來，引導(dǎo)學(xué)生利用已知知識(shí)、已有經(jīng)驗(yàn)解決新問題，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，提升教學(xué)有效性.基于這一要求，教師要充分了解學(xué)生的基本學(xué)情，為學(xué)生提供一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，進(jìn)而讓學(xué)生獲得可持續(xù)學(xué)習(xí)的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).筆者在教學(xué)一道高考改編題時(shí)，將解題主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，收獲了許多精彩.

一、問題呈現(xiàn)

例1 滿足條件AB=2，AC=2BC的ΔABC的面積最大值是_______.

本例是2008年江蘇卷中的一道高考題.從代數(shù)、幾何兩個(gè)不同角度分析，該題通常的解法有：一是運(yùn)用余弦定理，將面積轉(zhuǎn)化為以邊BC為自變量的代數(shù)函數(shù)或以角C為自變量的三角函數(shù)，通過求函數(shù)最值得SΔABC的最大值是22；二是以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以邊AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A（－1，0），B（1，0），令動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得，動(dòng)點(diǎn)C是以（3，0）為圓心，22為半徑的圓，所以點(diǎn)C到AB的最大距離為22，由此可得SΔABC面積的最大值為22.

從日常解題反饋來看，在解決類似題目時(shí)，大多學(xué)生會(huì)選擇利用余弦定理求解，第二種解法相對(duì)很少，甚至沒想到.為什么想不到呢？除了缺乏基本題型解法積累，把問題坐標(biāo)化意識(shí)不夠之外，究其原因就是平時(shí)教學(xué)中沒有深度挖掘教材，其實(shí)題目條件符合阿波羅尼斯圓定理，而阿波羅尼斯圓在教材例習(xí)題中出現(xiàn)過，只是因?yàn)閷?duì)該知識(shí)點(diǎn)的挖掘不到位，所以學(xué)生很難想到應(yīng)用該知識(shí)點(diǎn)解決問題.如果在日常教學(xué)中，教師若能組織學(xué)生將類似的題目進(jìn)行歸類、提煉，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的共性，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中定能有意想不到的收獲.

二、改編目的及設(shè)想

一般地，高考真題學(xué)生已經(jīng)有了一定的了解，若課堂上直接呈現(xiàn)原題難免會(huì)出現(xiàn)生搬硬套的情況，這樣也就很難達(dá)到檢測(cè)、鞏固、強(qiáng)化的效果.基于此，教師將問題進(jìn)行改編，給出如下變式題：

變式 在等腰ΔABC中，∠B=∠C，一腰的中線長(zhǎng)是2，求ΔABC面積的最大值.

分析：假設(shè)點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，則SΔABD=SΔBCD，所以SΔABC=2SΔABD，這樣可以將問題轉(zhuǎn)化為研究ΔABD面積最大值的問題.已知ABAD=2，若根據(jù)這一條件，能夠想到阿波羅尼斯圓，也能得到該題的另一種解法.

根據(jù)預(yù)設(shè)，大多學(xué)生會(huì)應(yīng)用余弦定理來解題，而應(yīng)用解析幾何法求解需要在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下完成.教師本想呈現(xiàn)兩種解法即可，但是課堂反饋超過了預(yù)期，充分展示了課堂生成的無限魅力.

三、課堂實(shí)錄

變式給出后，教師預(yù)留十分鐘的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立求解，然后進(jìn)行互動(dòng)交流.