摘要： 對一種由歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器與雙層線性隔振系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)進行了試驗研究。描述了高靜低動剛度的力學原理，對歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器樣機進行了壓縮試驗，驗證了其負剛度機理。根據(jù)負剛度調(diào)節(jié)器并聯(lián)形式的不同，設(shè)計了約束型和無約束型兩類隔振系統(tǒng)，求解系統(tǒng)的消極隔振模型動力學方程，分析了兩類隔振系統(tǒng)在不同上、下層剛度組合下的隔振性能。搭建兩種高靜低動剛度的隔振試驗系統(tǒng)，通過掃頻和定頻試驗驗證了其隔振性能，并對結(jié)果偏差進行了分析。

關(guān)鍵詞： 雙層隔振； 歐拉屈曲梁； 高靜低動剛度； 隔振試驗； 力傳遞率

中圖分類號： O328；TB535""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0047-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.006

Experimental investigation on a two?stage high?static?low?dynamic stiffness vibration isolation system

SHAO Minqiang¹， LI Yunyun^1，3， ZHOU Xubin^1，2， CHEN Weidong¹， LIU Xingtian²

（1.State Key Laboratory of Mechanics and Control for Aerospace Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China； 2.Laboratory of Space Mechanical and Thermal Integrative Technology， Shanghai Institute of Satellite Engineering， Shanghai 201109， China； 3.Shanghai Spaceflight Precision Machinery Institute， Shanghai 201600， China）

Abstract： A two?stage high?static?low?dynamic stiffness vibration isolation system composed of Euler buckling beam negative stiffness regulator and two?stage linear vibration isolation system in parallel is tested and studied. The mechanical principle of high?static?low?dynamic stiffness is described， and the compression test of the Euler buckling beam negative stiffness regulator prototype is carried out to verify its negative stiffness mechanism. According to the different parallel forms of the negative stiffness regulators， two vibration isolation systems， constrained and unconstrained， are proposed. The dynamic equations of the negative vibration isolation model of the system are solved， and vibration isolation performance of the two types of vibration isolation systems with the different upper and lower stiffness are analyzed in combination. Two vibration isolation test systems of high-static-low?dynamic stiffness vibration isolation systems are built， and their vibration isolation performance is verified by sweep frequency and fixed frequency tests， and the reasons for the deviation of the results are analyzed.

Keywords： two?stage vibration isolation；Euler buckling beam；high?static?low?dynamic stiffness；vibration isolation test；force transmissibility

在被動隔振技術(shù)領(lǐng)域，傳統(tǒng)的單層兩參數(shù)線性隔振系統(tǒng)能夠有效抑制大于系統(tǒng)固有頻率倍頻段的振動干擾，對應(yīng)的振動衰減速率約為-20 dB/dec^［1］。在工程中，通常被隔振對象的質(zhì)量是一定的，因而此類隔振系統(tǒng)的性能需要通過犧牲靜承載能力來獲得提升。針對這一矛盾點，具有高靜低動剛度特性的非線性隔振系統(tǒng)被提出，其原理是在線性隔振系統(tǒng)中引入負剛度彈性元件，從而使系統(tǒng)獲得較低的動剛度甚至準零剛度^［2?3］，從而降低系統(tǒng)的固有頻率，同時保持較小的靜態(tài)變形。近年來國內(nèi)外學者對高靜低動剛度隔振系統(tǒng)進行了一系列的研究。MOLYNEUX^［4］、CARRELLA等^［5］、文獻［6?8］以三彈簧準零剛度模型為研究對象，求解、優(yōu)化該模型，并總結(jié)了模型周期、混沌等復雜的動力學現(xiàn)象?；诖判詮椈?，LI等^［9］提出了一種由磁性彈簧和橡膠記憶膜組成的負剛度磁懸浮隔振系統(tǒng)。ZHENG等^［10］利用由兩個同軸環(huán)形磁鐵排斥性排列組成的扭轉(zhuǎn)磁簧產(chǎn)生負扭轉(zhuǎn)剛度來抵消橡膠彈簧的正剛度。上述這些研究大多集中于電流變或磁流變在半主動或主動液阻懸置中的應(yīng)用^［11?13］。張威等^［14］將兩端剛性固定的余弦梁負剛度元件與垂向正剛度線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振系統(tǒng)，通過改變余弦梁的高厚比來改變系統(tǒng)的剛度以實現(xiàn)低頻隔振。

針對單層被動隔振系統(tǒng)振動衰減速率的局限性，為尋求更快的高頻衰減速率，出現(xiàn)了雙層隔振^［15］，近年來國內(nèi)外學者也開始關(guān)注雙層準零剛度的隔振系統(tǒng)。GATTI等^［16］研究了一種由三彈簧準零剛度隔振系統(tǒng)和線性隔振系統(tǒng)串聯(lián)組成的二自由度系統(tǒng)。LU等^［17?18］在雙層線性隔振系統(tǒng)中引入非線性剛度來提高其隔振性能，并利用雙穩(wěn)定復合材料層合板和彈簧板搭建了緊湊型的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)試驗樣機，測試了其隔振性能。LI等^［19］研究了基于雙層準零剛度結(jié)構(gòu)的浮筏隔振系統(tǒng)的力傳遞率。綜上所述，目前對于高靜低動雙層隔振系統(tǒng)的研究，主要還是集中在高靜低動剛度結(jié)構(gòu)的設(shè)計、動力學建模和分析，以及基礎(chǔ)的性能驗證試驗。

作者在前期研究中提出了基于歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器的一類雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)，獲得了這類系統(tǒng)的動力學特性及適用范圍理論研究結(jié)果^［20］。在此基礎(chǔ)上進一步開展試驗研究，本文將歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器引入線性彈簧雙層隔振系統(tǒng)中，采用不同的并聯(lián)形式，設(shè)計并制備了兩類非線性隔振系統(tǒng)樣機，通過隔振試驗驗證了理論分析結(jié)果和隔振性能，并對結(jié)果偏差進行了分析。

1 高靜低動剛度隔振系統(tǒng)樣機制備

1.1 高靜低動剛度原理

根據(jù)前期的研究^［20］，在單層線性隔振系統(tǒng)中并聯(lián)歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器可以構(gòu)建高靜低動剛度隔振系統(tǒng)。如圖1所示，負剛度調(diào)節(jié)器由關(guān)于被隔振質(zhì)量對稱鉸支布置的兩組歐拉屈曲梁（每組兩片）構(gòu)成，假設(shè)受壓的歐拉梁僅在水平方向上產(chǎn)生變形，當對被隔振質(zhì)量施加垂向力F使系統(tǒng)產(chǎn)生垂向（x方向）運動時，變形后的歐拉梁所提供的垂向回復力可以近似為：

（1）

式中，L為歐拉梁未變形時的長度；P_e=EI（π/L）²為兩端鉸支，且初始撓度w₀為零時的歐拉梁所對應(yīng)的臨界失穩(wěn)載荷，EI為歐拉梁的彎曲剛度；k₁和k₃為與初始傾角θ和初始撓度w₀相關(guān)的系數(shù)，具體表達式詳見參考文獻［21］。

選取不銹鋼彈簧片作為歐拉梁的制備材料，將歐拉梁的參數(shù)L=0.054 m， 截面寬度b=8×10^-3"m， 截面高度h=3×10^-4 m， E=206 GPa， I=bh³/12=1.8×10^-14 m⁴， w₀=110^-3 m， θ=25°代入式（1），得到負剛度調(diào)節(jié)器的力?位移曲線和剛度?位移曲線，如圖2和3所示?？梢钥闯?，歐拉梁從初始穩(wěn)定位置運動到關(guān)于水平位置對稱的另一穩(wěn)定位置的過程中，會出現(xiàn)負剛度位移區(qū)間。

利用這樣的負剛度調(diào)節(jié)器與線性彈簧并聯(lián)后，可以得到如圖4所示的單層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)。

假設(shè)線性彈簧的剛度為k_v1，那么整個系統(tǒng)的回復力表達式可寫為：

（2）

式中，關(guān)于位移x的一次項系數(shù)為系統(tǒng)的線性剛度，三次項系數(shù)表示系統(tǒng)的非線性剛度。當系統(tǒng)的線性剛度為零時，會出現(xiàn)一種特殊的高靜低動剛度狀態(tài)——準零剛度。

1.2 負剛度調(diào)節(jié)器靜力試驗

為驗證負剛度調(diào)節(jié)器的剛度特性理論分析結(jié)果，采用拉壓試驗機對負剛度調(diào)節(jié)器樣機進行壓縮測試，過程采用位移控制。如圖5所示為制備的負剛度調(diào)節(jié)器，將彈簧片兩端固定在轉(zhuǎn)軸上，利用滾珠軸承來實現(xiàn)鉸支邊界條件，彈簧片采用的材料參數(shù)與1.1節(jié)中歐拉梁的材料參數(shù)一致。當調(diào)節(jié)器上平臺受壓移動時，彈簧片逐漸發(fā)生屈曲，當移動至水平位置時，系統(tǒng)發(fā)生跳變現(xiàn)象，上平臺迅速脫離加載工況，移動至關(guān)于水平位置對稱的另一穩(wěn)定點。

圖6為歐拉梁負剛度調(diào)節(jié)器的理論力?位移曲線和試驗結(jié)果對比，可以看出，隨著壓縮位移增大，歐拉梁負剛度調(diào)節(jié)器先表現(xiàn)為正剛度，力隨位移增大而增大；當壓縮到一定量時（約2 mm）施加的力反而逐漸變小（方向不變），此時系統(tǒng)表現(xiàn)出負剛度；直到到達水平位置，外力大小變?yōu)榱?，系統(tǒng)的負剛度達到極值?？梢钥闯隼碚撉€和試驗曲線吻合較好，負剛度極值約為-1.1 N/mm。

2 雙層隔振系統(tǒng)理論模型

2.1 動力學方程

將歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器引入雙層線性隔振系統(tǒng)中，能夠構(gòu)造出雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)，根據(jù)負剛度調(diào)節(jié)器并聯(lián)形式的不同，可以衍生出兩種構(gòu)型：約束型和無約束型^［22］。前者模型如圖7（a）所示，負剛度調(diào)節(jié)器并聯(lián)于雙層線性隔振系統(tǒng)的上層和下層質(zhì)量與基礎(chǔ)之間；后者模型如圖7（b）所示，上層的負剛度調(diào)節(jié)器并聯(lián)于上層和下層質(zhì)量之間。圖中m₁、m₂為上、下層質(zhì)量；k_v1、k_v2為線性剛度；c₁、c₂為黏性阻尼系數(shù)。

針對消極隔振的情況，對隔振系統(tǒng)引入幅值為u₀的基礎(chǔ)正弦激勵u（t）=u₀sin（ωt），推導得到兩種構(gòu)型的無量綱化動力學方程如下式所示：

（3a）

（3b）

（4a）

（4b）

式中，；；；；；；；ζ₁、ζ₂分別代表上、下層的阻尼比；κ₁₁和κ₁₂分別代表上、下層的線性剛度項，由線性彈簧和歐拉梁在垂直方向的線性部分組成；κ₃₁和κ₃₂分別代表上、下層的非線性剛度項，具體表達式見文獻［22］。系數(shù)κ₁₁和κ₁₂的取值決定了雙層高靜低動隔振系統(tǒng)的剛度特性，對系統(tǒng)隔振性能具有較大影響，通過選取不同的參數(shù)對系統(tǒng)進行動力學仿真研究。

2.2 仿真分析

定義系統(tǒng)的位移傳遞率T_r為上層質(zhì)量無量綱位移響應(yīng)幅值與激勵幅值之比：X₁/U，其中X₁和U分別對應(yīng)無量綱變量和的幅值。系統(tǒng)阻尼比ζ₁、ζ₂均取0.015，利用諧波平衡法求解式（3）和（4），得到邊界值情況下的剛度線性項系數(shù)為κ₁₁=1，κ₁₂=1；κ₁₁=0.5，κ₁₂=1和κ₁₁=1，κ₁₂=0三種情況^［20］，對應(yīng)的系統(tǒng)位移傳遞率如圖8所示。

可以看出，對于約束型模型，在下層引入非線性剛度能夠獲取較好的隔振效果。與上、下層剛度同為線性的情況（圖中藍虛線）相比，上層引入非線性剛度，下層維持線性剛度（圖中紅虛線），沒有明顯拓寬隔振頻帶，且第二個峰值無變化；保持上層線性，下層準零剛度的情況（圖中綠實線），兩個共振峰均明顯向低頻移動，系統(tǒng)非線性增強，隔振頻帶大幅度拓寬。對于無約束型模型，與上、下層同為剛度線性（圖中紅虛線）的情況相比，上層準零剛度，下層剛度線性（圖中藍虛線）這種情況下，第一個共振峰沒有移動，第二個共振峰向低頻移動，幅值均明顯減?。簧蠈觿偠染€性、下層準零剛度（圖中綠實線）的情況下，第一個共振峰向低頻移動，非線性增強，第二個共振峰略向低頻移動，幅值明顯減小；上、下層同為準零剛度（圖中黑虛線）的情況下，兩個共振峰幾乎消失，近似全頻段隔振，隔振效果最好。

3 試驗研究

3.1 試驗方法

根據(jù)2.2節(jié)分析結(jié)果，參照約束型和無約束型雙層高靜低動隔振系統(tǒng)中隔振效果最好的兩種剛度搭配形式制備了兩套試驗樣機，并對樣機進行隔振試驗。試驗原理如圖9所示，整套試驗系統(tǒng)大致分為三個部分：振動臺、隔振系統(tǒng)和信號采集、處理設(shè)備。激振裝置的輸入信號由LMS測試設(shè)備自帶的信號源產(chǎn)生，驅(qū)動振動臺進行掃頻或定頻振動，振動的幅值可以通過振動傳感器的反饋信號進行控制。信號采集、處理設(shè)備采集的信號分為兩路，分別采集振動臺面的加速度值和質(zhì)量塊上的加速度值。對于隔振系統(tǒng)而言，這兩路信號分別為加速度的輸入和經(jīng)過隔振系統(tǒng)后的加速度輸出。

掃頻隔振試驗的現(xiàn)場如圖10所示，采用2點平均控制法，在振動臺上設(shè)置2個控制傳感器，另外2個加速度傳感器用于采集臺面輸入的加速度信號，1個置于上層質(zhì)量，采集輸出的加速度信號。隔振系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示，試驗工況如表2所示。作為對照，還將進行無約束型系統(tǒng)上、下層結(jié)構(gòu)均為線性時的隔振試驗，具體實施方式為拆除上、下層的負剛度調(diào)節(jié)器。

3.2 結(jié)果對比與分析

對于簡諧信號，加速度和位移之間為ω²倍關(guān)系，加速度響應(yīng)幅值和加速度輸入的比值與位移響應(yīng)和位移輸入的比值一致，因此可以將試驗的加速度傳遞率和位移傳遞率進行比較。兩種構(gòu)型的雙層高靜低動隔振系統(tǒng)試驗結(jié)果和理論對比如圖11所示。其中圖11（a）給出了約束型系統(tǒng)的對比結(jié)果?？梢钥闯?，試驗曲線與理論仿真曲線基本趨勢一致，驗證了理論模型的正確性。然而從結(jié)果來看，系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象不明顯，造成這種現(xiàn)象的原因是用于構(gòu)建下層準零剛度的線性彈簧剛度過大，導致下層結(jié)構(gòu)剛度不匹配，接近線性系統(tǒng)，而理論模型可以實現(xiàn)理想的準零剛度。此外，制造和安裝誤差也會使系統(tǒng)的剛度特性不滿足水平位置的對稱條件，導致系統(tǒng)真實平衡位置偏離剛度極小值位置。另一方面，對于約束型系統(tǒng)，由于雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)具有非線性，其響應(yīng)通常包含多階諧波成分，在對定頻試驗的響應(yīng)信號進行處理時只保留占比最大的一階諧波。比較高頻段的加速度傳遞率，試驗傳遞率的衰減速度小于理論結(jié)果。經(jīng)分析由于試驗系統(tǒng)采用軸承導軌機構(gòu)使隔振器沿特定方向運動，彈簧安裝誤差導致滑動部件在運動過程中產(chǎn)生側(cè)向力，從而引起摩擦，使系統(tǒng)產(chǎn)生摩擦阻尼增大的現(xiàn)象。圖11（b）是無約束型系統(tǒng)的理論加速度傳遞率與實測加速度傳遞率曲線的對比。受振動臺工作頻段限制，試驗起始頻率為2 Hz，在2～5 Hz頻段內(nèi)，理論和試驗值基本一致，5 Hz以上的系統(tǒng)隔振效果試驗值基本維持在-15～-20 dB之間，與理論結(jié)果存在一定差別?？紤]試驗系統(tǒng)受到結(jié)構(gòu)裝配誤差及摩擦阻尼等因素的影響，隔振效果與理論結(jié)果相比會有所減弱。

從圖12給出的結(jié)果可知，定頻試驗和掃頻試驗的結(jié)果一致，針對不同的激勵形式，隔振系統(tǒng)具有較好的一致性和穩(wěn)定性；對比上、下層均為線性的剛度組合形式，上、下層均為準零剛度的系統(tǒng)將隔振頻帶明顯拓寬，基本實現(xiàn)全頻段隔振（起始頻率小于2"Hz）；相比線性隔振系統(tǒng)，在傳遞率峰值位置，文中采用的雙層準零剛度隔振系統(tǒng)加速度傳遞率下降35 dB以上，效果明顯優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)；在較高的頻率范圍內(nèi)，雙層準零剛度隔振系統(tǒng)的傳遞率較為平緩，反映綜合隔振性能優(yōu)于純線性隔振系統(tǒng)。

4 結(jié)" 論

本文對一種由歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器與雙層線性隔振系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)進行試驗研究。對高靜低動剛度的力學原理進行了描述，制備了歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器樣機，對其進行了壓縮試驗，對比了理論和測試的結(jié)果。根據(jù)負剛度調(diào)節(jié)器的并聯(lián)形式的不同，提出了約束型和無約束型兩種隔振系統(tǒng)，求解了系統(tǒng)的消極隔振模型動力學方程，分析了兩類隔振系統(tǒng)在不同上、下層剛度組合下的隔振性能。最后，搭建了兩種高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的隔振試驗系統(tǒng)，通過掃頻和定頻試驗驗證了其隔振性能，并對結(jié)果偏差進行了分析。總結(jié)全文可以得到以下結(jié)論：

（1）經(jīng)靜力學試驗驗證，基于歐拉屈曲梁的負剛度調(diào)節(jié)器在從一個穩(wěn)定位置變形到關(guān)于水平位置對稱的另一個穩(wěn)定位置的過程中，能夠在水平位置附近表現(xiàn)出負剛度特性。

（2）經(jīng)仿真分析可知，對于約束型系統(tǒng)，上層線性，下層準零剛度時，系統(tǒng)的隔振性能最優(yōu)；對于無約束型系統(tǒng)，上、下層同為準零剛度時，系統(tǒng)的隔振性能最優(yōu)，在一定條件下能實現(xiàn)全頻段隔振。

（3）理論分析所得加速度傳遞率與隔振試驗結(jié)果吻合度較高，驗證了理論模型的正確性。對于無約束型系統(tǒng)，在上、下層均接近準零剛度的狀態(tài)下，起始隔振頻率小于2 Hz，相較上、下層均為線性的情況綜合隔振性能有大幅度改善。

（4）綜合比較三種情況下的試驗結(jié)果和理論分析結(jié)果，對造成隔振性能下降的原因進行分析，可歸結(jié)于三點：①安裝和制造誤差，系統(tǒng)的真實平衡位置偏離剛度極小值位置；②剛度匹配誤差，樣機中構(gòu)建下層準零剛度的線性彈簧剛度過大，接近線性系統(tǒng)；③阻尼過大，線性彈簧安裝誤差導致摩擦增大。

歐拉屈曲梁雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)試驗研究有效驗證了理論結(jié)果的正確性，同時也對此類隔振器的工程應(yīng)用提供了有價值的試驗依據(jù)和指導。

參考文獻：

［1］""""""" 劉海平， 申大山， 趙鵬鵬. 非線性三參數(shù)隔振器動力學特性研究［J］. 振動工程學報， 2021， 34（3）： 490?498.

LIU Haiping， SHEN Dashan， ZHAO Pengpeng. Dynamic performance of a three?parameter isolator with nonlinear characteristic［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（3）： 490?498.

［2］""""""" IBRAHIM R A. Recent advances in nonlinear passive vibration isolators［J］. Journal of Sound and Vibration， 2008， 314（3?5）： 371?452.

［3］""""""" 彭獻， 黎大志， 陳樹年. 準零剛度隔振器及其彈性特性設(shè)計［J］. 振動、測試與診斷， 1997， 17（4）： 44?46.

PENG Xian， LI Dazhi， CHEN Shunian. Quasi?zero stiffness vibration isolators and design for their elastic characteristics［J］. Journal of Vibration， Measurement amp; Diagnosis， 1997， 17（4）： 44?46．

［4］""""""" MOLYNEUX W. Supports for vibration isolation［R］. UK： Aeronautical Research Council， 1957.

［5］""""""" CARRELLA A， BRENNAN M J， WATERS T P， et al. Force transmissibility of a nonlinear vibration isolator with high?static?low?dynamic?stiffness［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2012， 55（1）： 22?29.

［6］""""""" CAO Q J， WIERCIGROCH M， PAVLOVSKAIA E E， et al. Archetypal oscillator for smooth and discontinuous dynamics［J］. Physical Review E， 2006， 74（4）： 046218.

［7］""""""" CAO Q J， WIERCIGROCH M， PAVLOVSKAIA E E， et al. The limit case response of the archetypal oscillator for smooth and discontinuous dynamics［J］. International Journal of Non?Linear Mechanics， 2008， 43（6）： 462?473.

［8］""""""" HAO Z F， CAO Q J. The isolation characteristics of an archetypal dynamical model with stable-quasi-zero-stiffness［J］. Journal of Sound and Vibration， 2015， 340： 61?79.

［9］""""""" LI Q， ZHU Y， XU D， et al. A negative stiffness vibration isolator using magnetic spring combined with rubber membrane［J］. Journal of Mechanical Science and Technology， 2013， 27（3）： 813?824.

［10］""""" ZHENG Y S， ZHANG X N， LUO Y J， et al. Analytical study of a quasi?zero stiffness coupling using a torsion magnetic spring with negative stiffness［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 100： 135?151.

［11］""""" CHOI S B， HONG S R. Dynamic modeling and vibration control of electrorheological mounts［J］. Journal of Vibration and Acoustics， 2004， 126（4）： 537?541.

［12］""""" LEE B H， LEE C W. Optimal design of electromagnetic type active control engine mount in consideration of actuator efficiency［C］//Proceedings of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering Conference， 2007.

［13］""""" CIOCANEL C， NGUYEN T， SCHROEDER C， et al. Performance evaluation of a semi active magnetorheological mount［C］//SAE World Congress amp; Exhibition， 2008.

［14］""""" 張威， 王文波， 李雙寶. 雙穩(wěn)態(tài)余弦梁非線性隔振器的動力學與隔振特性研究［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（2）： 113?122.

ZHANG Wei， WANG Wenbo， LI Shuangbao. Dynamics and isolation performance of a nonlinear vibration isolator with a bistable cosine?shaped beam［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（2）： 113?122.

［15］""""" MEAD D J. Passive Vibration Control［M］. New York： Wiley， 1998.

［16］""""" GATTIA G， KOVACIC I， BRENNAN M J. On the response of a harmonically excited two degree-of-freedom system consisting of a linear and a nonlinear quasi-zero stiffness oscillator［J］. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329（10）： 1823?1835.

［17］""""" LU Z Q， BRENNAN M J， YANG T J， et al. An investigation of a two?stage nonlinear vibration isolation system［J］. Journal of Sound and Vibration， 2013， 332（6）： 1456?1464.

［18］""""" LU Z Q， YANG T J， MICHAEL J B， et al. Experimental investigation of a two?stage nonlinear vibration isolation system with high?static?low?dynamic stiffness［J］. Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（2）： 021001.

［19］""""" LI Yingli， XU Daolin. Force transmissibility of floating raft systems with quasi?zero?stiffness isolators［J］. Journal of Vibration and Control， 2018， 24（16）： 3608?3616.

［20］""""" 利云云， 周徐斌， 陳衛(wèi)東， 等. 一類雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)動力學特性和應(yīng)用局限性研究［J］. 振動工程學報， 2021， 34（2）： 364?371.

LI Yunyun， ZHOU Xubin， CHEN Weidong， et al. Dynamic characteristics and application restrictions of a two?stage vibration isolation system with high-static-low-dynamic stiffness［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（2）： 364?371.

［21］""""" 劉興天. 基于歐拉屈曲梁負剛度調(diào)節(jié)器的高靜低動剛度隔振器研究［D］. 上海： 上海交通大學， 2013.

LIU Xingtian. Research on high?static?low?dynamic stiffness isolator with Euler buckled beam negative stiffness corrector［D］. Shanghai： Shanghai Jiao Tong University， 2013.

［22］""""" 利云云. 基于歐拉屈曲梁的雙層準零剛度隔振器行為和實驗研究［D］. 南京： 南京航空航天大學， 2020.

LI Yunyun. Dynamic behavior and experimental study of a two?stage vibration isolation system with quasi?zero stiffness based on Euler buckled beam［D］. Nanjing： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2020.

第一作者："邵敏強（1979―），男，博士，副教授。E?mail：m.q.shao@nuaa.edu.cn通信作者："陳衛(wèi)東（1962―），男，博士，教授。E?mail：chenwd@nuaa.edu.cn

基金項目："國家自然科學基金資助項目（51875363，51505294）