本節(jié)課選自上海教育出版社《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第三冊》第10章第4節(jié)“平面與平面的位置關(guān)系”的第2課時——“二面角”，該課時內(nèi)容分為二面角的平面角、平面與平面垂直兩部分，本節(jié)課只學(xué)習(xí)二面角的平面角.

二面角是刻畫兩個相交平面位置關(guān)系的概念和一種度量方式，雖然新課程標(biāo)準(zhǔn)并未對二面角的概念提出明確要求，但其教學(xué)一方面是為了知識體系的完整性，另一方面也為學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力與邏輯推理能力提供了機會.教學(xué)重點應(yīng)放在二面角的平面角的構(gòu)造上，著重于對位置關(guān)系的認(rèn)識，著眼于讓學(xué)生領(lǐng)會類比的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）通過類比平面中的角與三維空間中平面與平面所成的角，認(rèn)識二面角中的面、棱以及二面角的記法，能夠從生活實例中抽象出二面角的幾何模型，感悟類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

（2）經(jīng)歷“構(gòu)造什么”“如何構(gòu)造”“為什么這么構(gòu)造”的探究過程，會構(gòu)造二面角的平面角，能在二面角中作出平面角，體會類比、降維轉(zhuǎn)化思想在知識建構(gòu)與問題解決中發(fā)揮的作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和善于思考的科學(xué)精神.

（3）通過折紙活動，解決“為什么平面角的邊與二面角的棱垂直？”這一問題，在交流與合作的過程中，探索、理解二面角的平面角構(gòu)造的合理性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力與合作精神，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展.

2 教學(xué)策略分析

本節(jié)課是“二面角”的第一課時，屬概念課.本節(jié)課遵循“情境與問題—分析與歸納—本質(zhì)特征的抽象、定義—關(guān)鍵詞辨析—簡單應(yīng)用—聯(lián)系與綜合”的概念形成方式，創(chuàng)設(shè)基于情境與問題導(dǎo)向的啟發(fā)式、探究式課堂，滲透數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，以達(dá)到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考的效果.

教學(xué)策略1以問題驅(qū)動課堂，培養(yǎng)理性思維

本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，由多個由淺入深、循序漸進(jìn)的問題貫穿，以“如何定義二面角？”“如何度量二面角？”“如何構(gòu)造角？”“為什么這樣構(gòu)造？”為主線，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，深入挖掘、探究二面角的平面角構(gòu)造的“情”與“理”，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的科學(xué)精神與有理有據(jù)闡明觀點的理性思維.

教學(xué)策略2以交流構(gòu)建靈動課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

以學(xué)生為課堂主體，圍繞如何度量二面角這一主題，啟發(fā)學(xué)生提出自己的想法，鼓勵其他同學(xué)進(jìn)行說明和補充，形成開放、高效的課堂氛圍.“為什么這么構(gòu)造？”開放性的問題能夠提升學(xué)生作出多種解釋的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，推動師生之間、生生之間的互動和交流向縱深發(fā)展.

教學(xué)策略3以技術(shù)輔助教學(xué)，降低想象難度

除了用投影臺、門等實物進(jìn)行演示，還利用GeoGebra軟件生動地展現(xiàn)二面角的動態(tài)結(jié)構(gòu)與大小變化，為學(xué)生理解二面角提供直觀的示例，幫助學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性思考，循序漸進(jìn)地掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，形成空間觀念，提高空間想象能力.

教學(xué)策略4以情境豐富課堂，實現(xiàn)德育價值

創(chuàng)設(shè)首尾呼應(yīng)的太陽能發(fā)電這一情境，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感與愛國主義情懷，增強學(xué)生的公民意識和社會責(zé)任感；通過講述歐幾里得在《幾何原本》中對平面的傾角的定義，滲透數(shù)學(xué)文化；以蛋白質(zhì)折疊的二面角模型與北斗衛(wèi)星的軌道面與赤道面夾角對比，極微觀和極宏觀的科學(xué)情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)來自于宇宙、數(shù)學(xué)是宇宙的語言”的體驗.

掃碼看視頻片段3 教學(xué)過程重要片段

3.1 情境與問題

播放紀(jì)錄片《輝煌中國》中介紹青海共和光伏電站的視頻片段，展示上海龍陽路地鐵站光伏發(fā)電項目的照片.

問題1用數(shù)學(xué)的眼光來看，展示的圖中蘊含哪些幾何元素間的位置關(guān)系？

問題2當(dāng)光伏板轉(zhuǎn)動時，光伏板與水平面所在的兩個相交平面間的哪個量在變化？

教學(xué)說明：借助太陽能發(fā)電的情境，啟發(fā)學(xué)生從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)研究二面角的必要性與意義，引出主題.

3.2 分析與探究

3.2.1 二面角的概念

直線上的一點可以將直線分為兩部分，每部分稱為射線.類似地，在空間中，平面上的一條直線也將平面分為兩部分，每部分稱為半平面.在平面內(nèi)，兩條直線相交會形成四個角.在空間中，兩個平面相交也會形成四個二面角.

問題3類比角的概念，你能給出空間中二面角的定義嗎？（類比結(jié)果見表1.）

3.2.2 二面角的度量

問題4在我們身邊有哪些二面角的形象？

教學(xué)說明：啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，通過在生活中尋找二面角，感受二面角的幾何形象，深化對概念的認(rèn)知.

展示蛋白質(zhì)肽鏈的β折疊與北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道示意圖.

教學(xué)說明：引出二面角的度量問題，突出二面角度量的重要性.極微觀和極宏觀的科學(xué)情境，形成強烈對比，調(diào)動學(xué)生的求知熱情.

用教室的門演示：隨著兩個半平面位置關(guān)系的變化，二面角是有大有小的.

問題5如何度量二面角的大小？

生：用一個平面內(nèi)的角來刻畫二面角的大小.

教學(xué)說明：以簡馭繁，滲透將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題的降維轉(zhuǎn)化思想，為接下來的探究活動作鋪墊.

問題6怎樣構(gòu)造角來刻畫二面角的大小？

追問1：為什么將角的頂點取在棱上？

生：（1）直線與平面所成角的頂點為兩個幾何對象的公共點.類似地，用一個平面內(nèi)的角來度量二面角，角的頂點也應(yīng)為兩個面的公共點，即二面角的棱上的點.（2）頂點取在棱上時，兩條邊就可以取在二面角的兩個面內(nèi)，體現(xiàn)兩個面的相對位置.

教學(xué)說明：通過類比直線與平面所成的角，建立新舊知識的聯(lián)系.

追問2：當(dāng)二面角αlβ給定時，∠AOB的大小與點O在棱上的取法有關(guān)嗎？

教學(xué)說明：通過等角定理證明所構(gòu)造的角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，強調(diào)二面角的構(gòu)造的任意性與確定性.

追問3：為什么角的兩邊要與二面角的棱垂直？不垂直可以嗎？

活動1將半透明紙折成二面角，在二面角內(nèi)畫出不同的角，驗證你的想法，并交流討論.（畫法如圖1.）

生1：符合直觀.當(dāng)兩個半平面重合、完全展開成一個完整平面時，邊與棱垂直的角分別是0和π，與我們對二面角大小的直觀認(rèn)識符合.掃碼看圖2動畫

生2：唯一確定.當(dāng)頂點O確定時，在兩個面內(nèi)只能作唯一一條垂直于棱的射線，此時角唯一確定.

Geogebra軟件演示（如圖2）：

教學(xué)說明：問題6及一系列追問將角的構(gòu)造問題進(jìn)行拆解，一步步啟發(fā)學(xué)生思考每個環(huán)節(jié)的原理.活動1旨在讓學(xué)生在實踐中體驗二面角的平面角的建構(gòu)過程，在交流討論中互相啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)關(guān)系，從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出、分析解決問題的能力，鍛煉有理有據(jù)、邏輯連貫地闡明觀點與透過現(xiàn)象看本質(zhì)的理性思維，樹立善于思考的科學(xué)精神.

3.3 閱讀與辨析

歐幾里得編著的《幾何原本》第XI卷中定義：從兩個相交平面的交線上同一點，分別在兩平面內(nèi)各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫做這兩個平面的傾角（也可叫交角）[1].

教學(xué)說明：通過了解歐幾里得在《幾何原本》中對相交平面的傾角的定義，感受厚重的數(shù)學(xué)歷史和輝煌的數(shù)學(xué)文明.本節(jié)課所學(xué)的知識依賴于一代代大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵學(xué)生直面未知、勇敢探索，喚起學(xué)生的科學(xué)奉獻(xiàn)精神.

活動2閱讀課本第37頁二面角的平面角的定義，并在學(xué)習(xí)單上補全定義中的關(guān)鍵詞.

教學(xué)說明：閱讀是重要的課堂活動，可以幫助學(xué)生加深對概念的理解，并通過對定義的辨析，落實、鞏固二面角的平面角的相關(guān)知識，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

二面角的平面角應(yīng)滿足：（1）角的頂點在棱上任取；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)；（3）角的兩邊都垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范圍是［0，π］.

當(dāng)二面角確定時，其平面角就唯一確定，反之亦然.

3.4 練習(xí)與實踐

活動3在正方體ABCDA1B1C1D1中，作出以下二面角的一個平面角，并求它的度數(shù)：

（1）A1ADB；（2）ADD1B；（3）A1DBA.

思考：二面角A1DBC的平面角是哪個角？大小是多少？

在（1）中，二面角的大小等于π2時，其平面角是π2，此時，我們稱這個二面角為直二面角.當(dāng)兩個平面相交所成的二面角是直二面角時，我們就說這兩個平面相互垂直.

教學(xué)說明：正方體是一個直觀的模型，以此為載體幫助學(xué)生掌握二面角的表示方法，學(xué)會構(gòu)造簡單的二面角的平面角并求解大小，使學(xué)生更直觀地認(rèn)識和理解空間對象的位置關(guān)系，培養(yǎng)“空間感”和洞察力.同時，引出下節(jié)課的主題——平面與平面垂直.

3.5 聯(lián)系與綜合

活動4在學(xué)校北邊的天臺上，布置了若干巨大的太陽能光伏板（如圖3），它的支架可以帶動光伏板轉(zhuǎn)動，使光伏板正對太陽光發(fā)電，為校園提供了清潔電能，使綠色低碳科技變得觸手可及.

老師發(fā)現(xiàn)，秋分這天正午，上海的太陽高度角是59°，請結(jié)合圖4求出此時光伏板與水平面所成的二面角的大小.（太陽高度角指太陽光線與水平面所成角.）

教學(xué)說明：從身邊的實例出發(fā)，經(jīng)歷從實際情境到幾何模型的構(gòu)建，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”.題目情境與課堂引入相呼應(yīng)，使本節(jié)課更具整體性.

3.6 小結(jié)與作業(yè)

3.6.1 課堂小結(jié)

本節(jié)課從三個方面總結(jié)如下：

研究問題：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.

研究過程：（1）類比平面內(nèi)的角，得到二面角的概念；（2）將二面角的度量問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平面內(nèi)的角的問題；（3）在折紙活動中感受二面角的平面角構(gòu)造的合理性，經(jīng)歷從直觀感知、操作確認(rèn)到簡單推理論證的過程.

思想方法：（1）聯(lián)系新舊知識的類比思想；（2）將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的降維轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)說明：從研究問題、研究過程、思想方法等方面梳理本節(jié)課內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納總結(jié)，實現(xiàn)知識的內(nèi)化.掃碼看補充題

3.6.2 課后作業(yè)

（Ⅰ）基礎(chǔ)練習(xí)

教材第40頁第6～8題及補充題.

補充題：埃及是歐氏幾何的誕生之地，歐幾里得在此編撰的著作《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ).同樣聞名于世的，還有埃及的金字塔，早在《幾何原本》誕生前的2 300年，金字塔就已建造而成，它的出現(xiàn)展現(xiàn)了古埃及人的才能與智慧.

胡夫金字塔是最古老、最宏偉的金字塔之一.它是由一個正方形底面、四個全等的等腰三角形側(cè)面構(gòu)成的幾何體.其底部邊長為230 m，側(cè)壁三角形的腰（側(cè)棱）長214 m（計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

（1）求胡夫金字塔的側(cè)壁與地面所成的二面角大?。唬?0.42°）

（2）若一只羚羊在金字塔側(cè)壁，沿著與底邊成60°角的直線向上攀行了100 m，此時羚羊所在海拔高度上升了多少m？（66.74 m）

評價建議：（1）正確完成教材第40頁的第6～8題，并能畫出金字塔的直觀圖，可評價為合格；（2）正確完成教材第40頁的第6～8題和補充題的第一問，可評價為良好；（3）能夠全部正確完成，可評價為優(yōu)秀.

（Ⅱ）拓展探究（選做）

本節(jié)課我們用半平面內(nèi)垂直于棱的兩條射線構(gòu)造了二面角的平面角，由等角定理知平面角的大小與頂點的取法無關(guān).某同學(xué)受到啟發(fā)，提出了另一種構(gòu)造平面角的方法：作一個垂直于棱的平面，它與二面角的兩個半平面相交的射線所構(gòu)成的角.用這種方法構(gòu)造的角，與我們今天所學(xué)的平面角是一致的.（1）證明該方法構(gòu)造的平面角的大小與所作平面的位置無關(guān)；

（2）如果所作的平面與棱成30°角，所截得的角的大小是否依然與平面位置無關(guān)？請說明理由.

評價建議：（1）能用等角定理證明第一問，并在第二問中回答出所截得的角與平面位置有關(guān)，可評價為合格；（2）能用等角定理證明第一問，在第二問中能舉出兩個不同位置的截面，使截得的角大小不同，可評價為良好；掃碼看課程視頻（3）能用等角定理證明第一問，并能通過幾何軟件、模型等演示出當(dāng)平面圍繞二面角的棱旋轉(zhuǎn)時所截得的角的變化，可評價為優(yōu)秀.

參考文獻(xiàn)：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.江蘇：譯林出版社，2014：477.