摘要：解決復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題時(shí)，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算是解題中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，而優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升解題效益成為解題的關(guān)鍵之一.結(jié)合一道復(fù)數(shù)模擬題，合理挖掘?qū)?yīng)的技巧與策略，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，歸納優(yōu)化運(yùn)算思維的技巧與策略，幫助學(xué)生全面提升數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；性質(zhì)；方程；待定系數(shù)；三角形式

復(fù)數(shù)及其綜合應(yīng)用問題，往往離不開復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.而實(shí)際進(jìn)行復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算時(shí)，關(guān)鍵在于合理挖掘題設(shè)條件及問題內(nèi)涵，抓住復(fù)數(shù)的基本概念與基本性質(zhì)，契合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，合理發(fā)散數(shù)學(xué)思維，從復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)思維、方程思維、待定系數(shù)思維以及三角思維等方式切入，合理優(yōu)化相應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算，有時(shí)可以使得復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題的解決更加簡捷、合理，提升解題效益.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·13〕若復(fù)數(shù)z滿足z+z=2，z·z=2，則|z－2z|=.

立足以上典型的模擬題，通過復(fù)數(shù)自身與對(duì)應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)的加法、乘法運(yùn)算創(chuàng)設(shè)問題場景，進(jìn)而求解涉及復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)共軛復(fù)數(shù)的線性運(yùn)算的模的求值問題，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

在實(shí)際求解與應(yīng)用中，有效發(fā)散數(shù)學(xué)思維，從復(fù)數(shù)運(yùn)算的基本策略與技巧、方法入手，從不同的數(shù)學(xué)思維方式切入與應(yīng)用，借助性質(zhì)思維、方程思維、待定系數(shù)思維與三角思維、幾何思維等，合理選用相應(yīng)的知識(shí)與方法切入，展開優(yōu)化復(fù)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)對(duì)策略與技巧、方法，實(shí)現(xiàn)問題的解決與應(yīng)用.

2 問題破解

2.1 性質(zhì)思維

解決一些與復(fù)數(shù)的模有關(guān)的綜合應(yīng)用問題時(shí)，往往離不開復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)的應(yīng)用.借助模的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，從而簡化過程，優(yōu)化運(yùn)算.

解法1：性質(zhì)法.

由題意可得|z－2z|2=（z－2z）·z－2z=（z－2z）·（z－2z）=5z·z－2（z2+z2）=5z·z－2[（z+z）2－2z·z]=9z·z－2（z+z）2=9×2－2×22=10.

所以|z－2z|=10.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z的代數(shù)運(yùn)算與相關(guān)應(yīng)用問題時(shí)，經(jīng)常利用與之相關(guān)的基本性質(zhì)加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.比較常見的性質(zhì)有|z|2=z·z，z1±z2=z1±z2，z=z等，關(guān)鍵是合理聯(lián)系題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系.這些基本性質(zhì)比較容易證明，也經(jīng)常直接加以記憶與應(yīng)用.

2.2 方程思維

在復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題中，化復(fù)數(shù)為與之對(duì)應(yīng)的方程問題，有時(shí)是解決問題的一個(gè)突破口.要熟練理解并掌握與之相關(guān)的重要結(jié)論“實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)”，可以對(duì)此重要結(jié)論加以多層面分析與應(yīng)用.而復(fù)數(shù)問題方程化是突破的關(guān)鍵所在.

解法2：方程法.

由于z+z=2，z·z=2，因此z，z可以看作是方程x2－2x+2=0的兩個(gè)根.

利用求根公式，解方程可得x=1+i或x=1－i.

不妨設(shè)z=1+i，z=1－i，于是可得|z－2z|=|1+i－2（1－i）|=|－1+3i|=（-1）2+32=10.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及已知兩數(shù)之積與兩數(shù)之和的復(fù)數(shù)問題時(shí)，可以將問題轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，借助實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的虛根來分析與應(yīng)用.解方程時(shí)，要能靈活運(yùn)用韋達(dá)定理與一元二次方程的求根公式.

2.3 待定系數(shù)思維

在處理一些復(fù)雜的復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題時(shí)，經(jīng)常可以借助設(shè)z=a+bi（a，b∈R），巧妙利用待定系數(shù)法進(jìn)行換元處理，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，使得抽象的復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為熟悉的實(shí)數(shù)化場景下的問題，借助方程（組）或不等式（組）的構(gòu)建來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

解法3：待定系數(shù)法1.

設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z=a－bi.

由z+z=2，可得2a=2，解得a=1.由z·z=2，可得a2+b2=2.結(jié)合a=1，解得b=±1.

所以z=1+i，z=1－i，或z=1－i，z=1+i.

所以|z－2z|=|1+i－2（1－i）|=|－1+3i|=（-1）2+32=10，或|z－2z|=|1－i－2（1+i）|=|－1－3i|=（-1）2+（-3）2=10.

解法4：待定系數(shù)法2.

設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z=a－bi.

由z+z=2，可得2a=2，解得a=1.由z·z=2，可得a2+b2=2.結(jié)合a=1，解得b2=1.

又z－2z=a+bi－2（a－bi）=－a+3bi，所以|z－2z|=（-a）2+（3b）2=10.

點(diǎn)評(píng)：解決此類復(fù)數(shù)的求解與綜合應(yīng)用問題時(shí)，待定系數(shù)法是比較常用的一種方法，通過待定系數(shù)法將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，是解決問題的基本思維方式.借助待定系數(shù)法，通過復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)等加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

2.4 三角思維

巧妙借助復(fù)數(shù)的三角形式，綜合相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則、運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義等內(nèi)容，合理聯(lián)系復(fù)數(shù)與代數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、平面解析幾何等知識(shí)，解決一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)綜合問題，有效開拓解題思路，發(fā)散解題思維.

解法5：三角形式法.

設(shè)z=r（cos α+isin α），rgt;0，α∈[0，2π），則z=r（cos α－isin α）.

結(jié)合z+z=2，z·z=2，可得2rcos α=2，r2=2，解得r=2，cos α=22.

結(jié)合平方關(guān)系可知sin α=±22，所以z=1+i，z=1－i，或z=1－i，z=1+i.

所以|z－2z|=|1+i－2（1－i）|=|－1+3i|=（-1）2+32=10，或|z－2z|=|1－i－2（1+i）|=|－1－3i|=（-1）2+（-3）2=10.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z的加減與乘除運(yùn)算及相關(guān)應(yīng)用問題時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式也是切入與應(yīng)用時(shí)比較常用的基本思維方法.復(fù)數(shù)的三角形式是基于復(fù)數(shù)的模與幅角背景常用的一種表達(dá)方式，在解決一些涉及復(fù)數(shù)問題的模或幅角，或與之相關(guān)的運(yùn)算與性質(zhì)等問題時(shí)，經(jīng)常借助復(fù)數(shù)的三角形式來切入與應(yīng)用.

2.5 幾何思維

借助復(fù)數(shù)的幾何意義，通過復(fù)數(shù)自身所涉及的幾何要素與幾何直觀來分析與解決問題，也是解決復(fù)數(shù)計(jì)算與綜合應(yīng)用問題時(shí)比較常用的基本思維方式.

解法6：幾何法.

由z·z=2，得|z|2=2，可知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，如圖1所示.

由z+z=2，可知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1.設(shè)z=a+bi（a，b∈R），可知a=1，數(shù)形結(jié)合可知1+b2=2，解得b2=1.

而z－2z=a+bi－2（a－bi）=－a+3bi，所以|z－2z|=（-a）2+（3b）2=10.

點(diǎn)評(píng)：依托復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的向量等之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，往往是解決一些復(fù)數(shù)綜合應(yīng)用問題的一種方法.幾何法的應(yīng)用更加直觀形象，特別是對(duì)于處理一些動(dòng)點(diǎn)或最值等問題更加有效.

3 變式拓展

3.1 概念性變式

變式1若復(fù)數(shù)z滿足z+z=2，z·z=2，則z的虛部是（）.

A.1B.±iC.±1D.－1

3.2 應(yīng)用性變式

變式2若復(fù)數(shù)z滿足z+z=2，z·z=2，則zz2 024=.

4 教學(xué)啟示

其實(shí)，解決復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題，本質(zhì)上是圍繞復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算等進(jìn)行的，關(guān)鍵是應(yīng)用復(fù)數(shù)的基本概念，抓住復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，充分挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵，結(jié)合問題的基本類型與基本形式，合理應(yīng)用相應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算技巧與基本策略，或借助復(fù)數(shù)模的性質(zhì)加以應(yīng)用，或通過實(shí)系數(shù)方程求根轉(zhuǎn)化，或利用待定系數(shù)法處理，或巧妙利用三角形式變形，或結(jié)合幾何意義直觀求解等.

根據(jù)復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問題的場景創(chuàng)設(shè)與題設(shè)條件，合理選擇與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略與技巧方法，使得復(fù)數(shù)的一些相關(guān)式子更加易于變形與轉(zhuǎn)化，巧妙發(fā)散數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)，合理減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量，巧妙優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，從而可以更加快捷地處理相應(yīng)的運(yùn)算問題，進(jìn)而得以正確運(yùn)算，巧妙解答，達(dá)到全面提升數(shù)學(xué)能力、優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.