歆　康

第27題

題目:在《失樂(lè)園》第一卷中，描寫天神岳夫把伏爾坎從天堂中扔出來(lái)，米爾頓用詩(shī)描述伏爾坎跌到地球上來(lái)的過(guò)程:

他從早晨掉到中午，

又從中午落到帶露水的晚上，

整整一個(gè)夏日；

同落日一起，

象隕星一樣從天頂?shù)湎聛?lái)，……

自然天堂是沒(méi)有的，不過(guò)我們可以根據(jù)米爾頓給的數(shù)據(jù)，計(jì)算出“天神”所在的“天堂”的高度為——千米；伏爾坎跌入大氣層頂部時(shí)的速率為——千米/秒。(設(shè)米爾頓寫書的地方白晝?yōu)?7.5小時(shí))若考慮到加速度與到地球中心的距離的平方成反比，計(jì)算出“天堂”高度的修正值為——；伏爾坎跌入大氣層的速率的修正值為——。

題意:本題主要有兩個(gè)目的，其一是本題引用了圣經(jīng)中有關(guān)天堂的一首詩(shī)，借米爾頓從天堂掉到凡間，讓讀者親自計(jì)算一下天堂的高度。計(jì)算的結(jié)果為1.9×107千米，修正值為9×104千米。根據(jù)有關(guān)天文數(shù)據(jù)，我們知道，1.9×107千米，只是地球到金星的距離(約4.2×107千米)一半不到。所謂天堂，連金星都到不了。事實(shí)上，在金星與地球的中間，則是空空蕩蕩的，根本沒(méi)有什么天堂。今天，我們?nèi)祟愐呀?jīng)能觀察到的最遠(yuǎn)的星體，距我們地球達(dá)150億光年以上?？梢?jiàn)，神秘莫測(cè)的天堂是經(jīng)不起最起碼的科學(xué)推敲的，通過(guò)我們自己的計(jì)算，可以毫不猶豫地得出結(jié)論，天堂是根本不存在的。

其二，本題前后有兩個(gè)部分，前一部分比較容易，要求讀者將從天堂掉下來(lái)的米爾頓看作自由落體，天堂高度和進(jìn)入大氣層的速度均可以用自由落體的公式來(lái)計(jì)算。后一部分難度較大，按正規(guī)解法，勢(shì)必要運(yùn)用積分，最后求解的方程也比較復(fù)雜，但是對(duì)于會(huì)運(yùn)用微機(jī)作科學(xué)計(jì)算的讀者來(lái)說(shuō)，方程的數(shù)值解并不困難。不過(guò)，我們的目的是要求讀者會(huì)巧妙地利用開普勒第三定律，作修正值的估算，這便是一種能力，即要求讀者有類比推理和估算的能力。

運(yùn)用自由落體公式求解:米爾頓從天上掉下來(lái)的問(wèn)題可以看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由落體，因此根據(jù)米爾頓下掉的時(shí)間，可以算出天堂的高度。我們?cè)O(shè)天堂高度為y天堂，米爾頓下落時(shí)間為t，則有

米爾頓進(jìn)入大氣層時(shí)的速度，也就是米爾頓掉了y天堂高度之后的末速度，我們?cè)O(shè)這速度為v，因此有

=(2×9.8米/秒2×1.94×1010米1/2=(2×9.8×1.94×1010)1/2米/秒≈620千米/秒。

修正值的估算:

1.用開普勒第三定律估算y天堂的修正值本題的第2問(wèn)的難度較大，因此我們先利用開普勒定律來(lái)作估算。開普勒第三定律表明行星周期的平方與軌道半徑(或橢圓軌道的半長(zhǎng)軸)的立方成正比，設(shè)周期為T，半徑的長(zhǎng)度為r，則有

其中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，G=6.67×10-11牛頓·米2/千克2，M為太陽(yáng)的質(zhì)量。由上式有，

顯然，此式也應(yīng)同樣適用于地球的衛(wèi)星，因此可以改為:

再根據(jù)地球表面自由落體加速度g，算出GM地。設(shè)R為地球的半徑，即有

雖然此式由衛(wèi)星軌道推出來(lái)的，但我們?nèi)绻O(shè)想有一質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有垂直于半徑的速度分量，沿半徑的速度分量在開始時(shí)也為零。這個(gè)質(zhì)點(diǎn)由于地球的吸引，向地球掉下來(lái)，若地球中間有一個(gè)洞，該質(zhì)點(diǎn)便穿過(guò)地心而去，到了另一端，質(zhì)點(diǎn)的速度最終為零，又往回掉向地球，形成往復(fù)運(yùn)動(dòng)。這一往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期，可由(3)式來(lái)估算。我們假定米爾頓就是這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，他從天堂掉到大氣層的時(shí)間，近似地為周期的1/4，設(shè)△t為米爾頓下落時(shí)間，故由(3)式有:

將各種數(shù)據(jù)代入(4)式，可得:

≈9×107米。

2.進(jìn)入大氣層時(shí)的速度修正值

根據(jù)能量守恒定律，可得:

所以

代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)，得:

∴v≈10千米/秒。

天堂高度的近似計(jì)算:

前面我們采用開普勒第三定律對(duì)天堂高度的修正值作了估算，那樣作，可以獲得數(shù)量級(jí)的估計(jì)?，F(xiàn)在我們給出嚴(yán)格的解法，然后在近似條件下，計(jì)算y天堂。

為此，我們?cè)O(shè)一坐標(biāo)，其原點(diǎn)設(shè)在地球的球心，y天堂為r0，任何時(shí)刻米爾頓的位置為r0于是我們有

通過(guò)運(yùn)算并整理后，再作分離變量得:

再利用三角公式

可得:

整理后積分得:

將各種數(shù)據(jù)代入，可算出r0=y天堂≈11×107米。這個(gè)近似值與估算值極為接近，這是由于(15)式與用開普勒第三定律估算的(4)式僅差的因子。

上述計(jì)算是一個(gè)比較好的近似，如要嚴(yán)格計(jì)算，則應(yīng)使(11)式積分上限為sin=，這樣，所得的方程比較難解。若用微型電子計(jì)算機(jī)，采用迭代法，也是不難求出數(shù)值解的，我們不在此詳述了。