吳文獻

教學背景

《面積與代數(shù)恒等式》是義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》（華東師大版）八年級上冊第14章《整式的乘法》后面安排的課題學習。學生已經(jīng)知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式，也從幾何圖形的面積關(guān)系中認識了一些代數(shù)恒等式。他們以前參加過用硬紙片設(shè)計包裝盒、設(shè)計旋轉(zhuǎn)對稱圖形等話動。課前要求學生用硬紙片盡可能多地制作邊長為a的大正方形、邊長為b的小正方形和長為a、寬為b的長方形。

教學目標

1.探索如何從一些幾何圖形面積的不同表示法得出代數(shù)恒等式，來說明某些冪的運算性質(zhì)和乘法法則的正確性以及一些代數(shù)恒等式的正確性，體會代數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，初步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。

2.體會數(shù)學的應用價值，發(fā)展自己的數(shù)學思維能力.獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗和方法;體驗戰(zhàn)勝困難和獲得成功的喜悅：體會探究與合作的重要性，增強應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)團結(jié)協(xié)作的精神，形成良好的個性品質(zhì)。

課堂實錄

一、導入。

師：今天我們進行課題學習《面積與代數(shù)恒等式》（板書），從標題可知，本節(jié)課將探索如何從圖形面積的不同表示法中得到代數(shù)恒等式（代數(shù)恒等式的概念在前面的教學中已提及）以及如何用拼圖的方法來說明代數(shù)恒等式的正確性。這節(jié)課我們將利用課前準備好的硬紙片來研究圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系。

二、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題。

師：下面大家先思考幾個問題（在白磁板上展示事先設(shè)計好豹問題）。

問題1：從你們所在小組6張課桌排列成的長方形中，利用面積的不同表示方法寫出一個代數(shù)恒等式。（課桌排列如圖：）

學生思考了一會兒，教師觀察到一部分同學有點困惑，適時提示：我們可以設(shè)每張課桌椅的長為a.寬為b.則6張課桌排列成的長方形的面積如何表示？

這時，學生的思路頓開，紛紛舉手。

生1：設(shè)6張課桌排列成的長方形的長為2a，寬為3b，則面積為2a· 3b。

生2：因為每張課桌的面積為ab.所以6張課桌排列成的長方形的面積為6ab。

師：回答得很好。剛才得到的兩個代數(shù)式2a -3b與6ab都表示同一個圖形的面積，它們有什么關(guān)系呢？

學生（齊聲）：相等。

師：由此我們從6張課桌面積的不同表示法中得出一個代數(shù)恒等式：2a·3h=6ah（畫圖板書），它驗證了什么法則呢？

學生（齊聲）：單項式乘以單項式的法則。

教師走到鋁合金窗旁，提出第二個問題。

問題2：設(shè)鋁臺金窗的長為a。寬為b，推開鋁合金窗一部分，設(shè)推開的距離為c.根據(jù)剩下的鋁合金窗的面積不同表示方法寫出一個代數(shù)恒等式。

學生思考了一會兒，有同學舉手回答。

生：剩下的鋁合金窗可以看作長為a.寬為（b-c）的長方形，所以面積為a （b-c），也可以看作是原來的面積減去推開部分的面積，就是ab-ac。所以可以得到一個代數(shù)恒等式a（b-c） =ab-ac。

教室里不由自主地響起一片掌聲。

師：從掌聲中可以說明她回答得非常好，值得我們學習。上面的過程又驗證了什么法則呢？

學生（齊聲）：單項式乘以多項式法則。

師：剛才我們提出的兩個問題都是我們身邊所熟悉的，體能否列舉出日常生活中類似的例子.從中寫出一些代數(shù)恒等式（問題3）？

學生陷入深思，沒有人舉手，過了一會兒，我適時引導：可以仔細觀察我們的教室周圍，或者思考我們所熟悉的一些建筑。

片刻，有學生舉手回答。

生1：我們教室的玻璃窗（如圖：），設(shè)每扇的長為a.寬為b，則四扇玻璃窗組成的圖形可看作走長為2a，寬為2b的長方形，它的面積為2a-2b.也可以看作是四扇玻璃窗面積的和，即4ab，所以可以得到一個代數(shù)恒等武2a·2b=4ab。

生2：我們教室的鋁合金窗（如圖：）設(shè)下面的矩形長為b，寬為a，上面的矩形寬為c.則它的面積可以表示為b（a+c），也可以表示為ab+bc，所以可得代數(shù)恒等或：b（a+c）=ab+bc。

教師用目光巡稅一下，發(fā)現(xiàn)沒有其他學生舉手。

師：剛才兩住同學回答得很好，說明同學們平時有較強的問題意識爭應用數(shù)學的意識，我們用掌聲表示贊賞（師生鼓掌）。課后我們再繼續(xù)探索這個問題，好嗎？

學生（一起回答）：好！

三、組織掌生活動。

活動一

摔：課前我們每個同學都準備了三種不同形狀的硬紙片（出示）.請利用這些硬紙片拼成一些長方形或正方形，利用所拼成的圖形面積的不同表示方法寫出一些代數(shù)恒等式來。要求每位同學都至少要拼一十圖形并寫出相應的代數(shù)恒等式，再把各自的成果在小組內(nèi)交流。如果拼成的圖形自己寫不出代數(shù)恒等式，可由小組討論解決，也可以請教老師。

學生在活動過程中，教師來回巡視指導。每個學生參與的積極性都很高，各小組活動都很有序。如，第四小組同學把各自的成果介紹給其他成員;有一個同學利用多項式乘以多項式法則進行驗證，結(jié)果是正確的，這位同學露出滿意的笑容，教師讓他寫在磁性板上.再拿到臺上展示;第八小組中有一個同學拼出的圖形（如右圖l），自己只能寫出一個面積表示法，正在問聽課老師另一種表示式;還有幾個小組正在組間交流……可以說每個同學都真正動了起來，不同的學生拼出不同的圖形，即使基礎(chǔ)較差的同學也可以用一張長方形與一張正方形或四張正方形等拼成簡單的圖形，井寫出恒等式。等每個小組合作得差不多了，教師就選了4個結(jié)果在黑板上展示（如下圖）。

師：請同學們停下來，這個活動我們課后再繼續(xù)探索交流?，F(xiàn)在我們一起來看板展示的四個圖形，思考一下相應的代數(shù)恒等式如何得到，并且驗證一下寫出的式子是否正確，不清楚的地方可以提問，聽不明白的也可以要求重新回答。

經(jīng)過一番思考后，有一學生提問。

生：我想請問第八小組，等式右邊的代數(shù)或是如何得到的？

第八小組的一個代表回答：整個圖形是由1張大的正方形，3張長方形.2張小的正方形拼成的，所以它的面積是a²+3ab+2b²。

師：清楚了嗎？

生：清楚了。

師：同學們還有什么疑問？

學生（齊聲）;沒有了。

接著師生對四個圖形簡要地加以分析。

師：我們利用圖形面積的不問表示法寫出的代數(shù)恒等式如何加以驗證呢？

生：可以用冪的運算性質(zhì)或整式乘法法則進行計算驗證。

活動二

師：回答得很好。剛才有幾十小組的同學拼出這樣一個圖形（把圖l展示在黑板上），請同學們思考一下，如何用a、b的代數(shù)式表示它的面積？

學生思考交流了一會兒，有學生舉手，我請舉手的同學上臺講解。

生1：可以看作是大正方形面積減去小正方形面積，而大正方形連長為（a+b）。面積為（a+b）²，小正方形邊長為（a-b）.面積為（a-b）²（邊講解邊用手在圖上比劃），所以圖形的面積就是（a+b）²-（a-b）²（邊講解邊在圖形的下方板書）。

生2：因為這個圖形是由四塊長方形圍成的，所以它的面積是4ab。

師：兩位同學都講得很好，由此我們可以得到一個代數(shù)恒等式——

學生（齊聲）：（a+b）²-（a-b）²=4ab。

活動三

要求學生思考用硬紙片拼成圖形面積來說明（a+2b） （2a+b）=2a²+5ab+2b²的正確性，各小組積極操作，很快有幾個小組拼出來了，圖形如右圖所示，解釋也是正確的。我繼續(xù)問道：“如果代數(shù)恒等式換成是（a+2b）（2a-b）=2a²+3ab-2b²呢？還記得我們什么時候用硬紙片演示過‘一（減）的例子？其中的‘一（減）如何處理？”“學習乘法公式（a-b）²=a²-2ab+b²演示過，其中‘一可用紙片重疊。”于是師生一起完成拼圖并講解驗證方法。此時，下課鈴響了。我要求大家課后繼續(xù)本活動的探索，下節(jié)課再繼續(xù)研究。