教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)識目標(biāo)：掌握函數(shù)單調(diào)性的概念；會(huì)判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納和總結(jié)能力；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動(dòng)變化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義思想。

情感目標(biāo)：營造親切、活躍的課堂氣氛，實(shí)施多元化評價(jià)，激勵(lì)學(xué)生，使學(xué)生嘗試成功，以點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念和函數(shù)單調(diào)性的判斷。

難點(diǎn)：判斷函數(shù)的單調(diào)性。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)與分析

創(chuàng)設(shè)問題情境

多媒體：學(xué)校的簡介。（利用Flash進(jìn)行演示）

提出問題：學(xué)校準(zhǔn)備建造一個(gè)長方形的花壇，面積設(shè)計(jì)為16平方米。由于周圍環(huán)境的限制，其中一邊的長度長不能超過10米，短不能少于4米，求花壇半周長的最小值和最大值。

教師說明：此環(huán)節(jié)為創(chuàng)設(shè)情境。我們學(xué)校是上海市投資新建的郊區(qū)四所寄宿制重點(diǎn)高中之一，有著一流的硬件設(shè)施，綠化建設(shè)正在進(jìn)行之中。抓住這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了這節(jié)課的引例，切合實(shí)際，讓學(xué)生有種親切感。提出問題后，讓學(xué)生思考、討論下列問題：如何把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題？經(jīng)過思考、討論，估計(jì)學(xué)生可以把問題歸結(jié)為：設(shè)受限制一邊長為x米，4≤x≤10，則另一邊為16/x米，求半周長y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——運(yùn)用基本不等式。如何求最大值？經(jīng)過思考、討論，最后大家一致認(rèn)為利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的圖像可以得出結(jié)論。

多媒體：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的圖像,如圖1所示。

教師說明：利用Flash給出函數(shù)的圖像，從函數(shù)圖像可以直觀地得出結(jié)論，但是缺乏理論依據(jù)。指出缺乏理論依據(jù)的結(jié)論是站不住腳的，所以問題轉(zhuǎn)化為尋找其理論依據(jù)，從而引入課題。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

揭示課題，引入新課

1.幾何畫板演示，點(diǎn)明課題。

多媒體：利用幾何畫板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的動(dòng)態(tài)的變化過程。用鼠標(biāo)從左向右緩慢拖動(dòng)y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化情況（隨著自變量x的增大，函數(shù)值y也在增大），如圖2所示。

2.請學(xué)生根據(jù)自己的理解給出增函數(shù)定義。

一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)：如果對于屬于這個(gè)區(qū)間的自變量的任意兩個(gè)值x₁和x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就說函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。

3.請學(xué)生通過類比得出減函數(shù)的定義。

教師說明：在減函數(shù)定義的教學(xué)過程中，我改變了以往“灌輸結(jié)論”的做法，讓學(xué)生通過對增函數(shù)定義的理解從而得到減函數(shù)的定義，培養(yǎng)了學(xué)生的類比的重要數(shù)學(xué)思想方法，對于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識、新概念有很大的幫助。

鞏固新知，深化擴(kuò)展

1.一次函數(shù)的單調(diào)性問題。

[例1]證明函數(shù)f(x)＝3x＋2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)。

引申：探索一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的單調(diào)性。

2.二次函數(shù)的單調(diào)性問題。

[例2]判斷函數(shù)f(x)＝x₂－2x的單調(diào)區(qū)間，并加以證明。

教師說明：例題的給出由簡單的一次函數(shù)到二次函數(shù)，遵循了學(xué)生一般的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生容易接受，易于理解。在二次函數(shù)f(x)＝x²－2x的單調(diào)性的證明中，分工合作，第一、二組的學(xué)生完成函數(shù)在[1，＋∞)上的證明；第三、四組的學(xué)生完成函數(shù)在(－∞，1]上的證明，倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的新的學(xué)習(xí)方式。通過例1、例2的解決，讓學(xué)生歸納判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納和總結(jié)的能力。

判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

第一步，設(shè)x₁、x₂是區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂。

第二步，比較f(x₁)、f(x₂)的大小。

第三步，給出結(jié)論。

自主解決——[引例]的解決

教師說明：有了上述理論作基礎(chǔ)，一開始提出的問題就能迎刃而解：證明函數(shù)y＝x＋16/x在區(qū)間[4，10]上是增函數(shù)；得出結(jié)論，當(dāng)x=10時(shí)，y_max=11.6。此環(huán)節(jié)起到了首尾呼應(yīng)的作用，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，并指出，函數(shù)單調(diào)性的研究為解決函數(shù)的最值問題提供了又一重要方法，可見研究函數(shù)的單調(diào)性是非常有必要的。那么我們?yōu)楹尾怀藙僮窊簦剿鞲话愕那闆r，研究函數(shù)y=x+k/x(k∈Ｒ)的單調(diào)性。

多媒體：利用Authorware進(jìn)行探索、總結(jié)y=x+k/x(k∈Ｒ)圖像，尋找一般的結(jié)果。（從特殊到一般）如圖3、4所示。

學(xué)生總結(jié)、教師歸納

教師說明：提出問題，這節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？學(xué)生一一羅列：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法、證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟。進(jìn)一步提出問題：整堂課體現(xiàn)了哪些重要的數(shù)學(xué)思維？自問自答：從特殊到一般的研究方法；從大膽的猜想到嚴(yán)格的證明；數(shù)形結(jié)合、類比的思想。利用計(jì)算機(jī)使我們探索數(shù)學(xué)問題的過程更加直觀、簡潔和生動(dòng)。

（作者單位：上海市南匯中學(xué) 201300）

點(diǎn)評

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。一個(gè)好的問題能引起學(xué)生興趣，啟迪學(xué)生的思考，將思維引向深刻。閔麗紅老師的“學(xué)?；▔瘑栴}”是一個(gè)很好的實(shí)際問題：在學(xué)校綠化建設(shè)中，如何建造其費(fèi)用最??？閔老師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究和解決問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，以培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)觀，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

這節(jié)課最大的特點(diǎn)是貫穿始終的現(xiàn)代軟件技術(shù)的應(yīng)用，嫻熟地運(yùn)用了PowerPoint、Authorware、Flash和幾何畫板等多種教學(xué)媒體和手段，通過直觀的畫面和動(dòng)態(tài)的影像，將數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展淋漓盡致地展現(xiàn)在學(xué)生面前。尤其在利用Authorware進(jìn)行探索、總結(jié)圖像的過程中，首先，研究特殊情況（當(dāng)k=2時(shí)）,使用列表描點(diǎn)、幾何繪圖兩種方法，利用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)地繪畫出它的圖像。緊接著，探索、總結(jié)其一般結(jié)果：隨機(jī)地輸入k的值，隨即電腦顯示相應(yīng)函數(shù)的圖像。最后，顯示所有情況，一目了然，使每位學(xué)生對于圖像都有了清晰的、精確的認(rèn)識。利用多媒體處理這一部分達(dá)到的效果，是傳統(tǒng)教學(xué)所不及的，充分地體現(xiàn)了現(xiàn)代技術(shù)的優(yōu)越性。

現(xiàn)代建構(gòu)主義的教學(xué)觀認(rèn)為，知識并不能簡單地由老師傳授給學(xué)生，而主要由每個(gè)學(xué)生依據(jù)自身已有知識和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)。閔老師理解了這一觀點(diǎn)的精髓，改變了以往單一被動(dòng)的學(xué)習(xí)模式，提倡主動(dòng)探索、合作學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了上海市二期課改的精神，是一節(jié)成功的公開展示課。