吳仲和

教學背景

1.愛德華是美國加州具有7年教齡、非洲裔的初中數(shù)學和科學教師。他對數(shù)學教學的信念是，教師必須相信每一個學生都能學好數(shù)學，作為教師，重要的是給每個學生提供足夠的學習機會。他還相信教育的目的不僅是教會學生應會的數(shù)學和科學基本技能，更重要的是教會學生做一個合格的公民。

2.學生情況：八年級，全班共29名學生（16男13女），其中有2個白種人，12個拉丁裔人，13個非洲裔人，2個亞裔人。英語作為第二語言的學生占25%以上。3個學生的數(shù)學成績高于平均水平，2個學生的數(shù)學成績低于平均水平。

3.教學內容：未知數(shù)和簡單方程。授課時間：60分鐘。

課例

愛德華老師首先告訴學生此課的目的以及如何達到這個目的：我們首先要復習一下預備知識，新課的內容是未知數(shù)和簡單方程，我們還要闡述方程的解法和驗算方程的解。

1.復習預備知識。

（1）愛德華老師的課從復習新課的預備知識（POD）開始：學生在已有格式的紙上大約用了5分鐘的時間來完成下列練習題。

①求值：3y-13，當y=7時。

②求值：7w+4-w，當w=2時。

③寫出代數(shù)式：比20小的數(shù)。

愛德華老師先選擇3個學生在黑板上回答問題，然后讓其他學生有充分的機會表達不同的答案，愛德華老師接著解釋為什么有的是正確的答案，為什么其他的是錯誤答案。他讓學生們特別觀察POD的第1、2題，并特別解釋求值與代入未知數(shù)的關系以導入新課的內容。

2.教授新課。

愛德華老師開始今天的新課內容。他特別強調要每個學生拿出數(shù)學筆記本來記錄今天的學習內容，并確認都準備好了。

（1）設立框架打基礎。

a.與實際生活相聯(lián)系。愛德華老師先讓學生表達“什么是等式”后，用專門用于教學的計算機投影（聰明小白板）給出了等式的正式定義，即等式是用等號連接的數(shù)學表達式。他還要求學生能夠舉出數(shù)學表達和日常生活中的例子，以便進一步理解等式的概念和在實際生活中的應用。他還讓學生與鄰座互相討論，相互闡述等式的內容和日常生活的例子，然后隨機選擇學生在全班進行闡述。例如，一組學生給出表達等式，并舉出與實際生活有關的例子：杰夫需要$38來購買自己需要的電子軟件，他利用周末幫助鄰居清除院子里的雜草。如果杰夫已有$3，清除雜草1小時可得$5，那么杰夫將工作幾小時，才能有$38？

b.用實物建模來幫助學生建立直觀的思維，懂得概念。當學生對直觀等式的概念有了明確的理解后，愛德華老師立即用代數(shù)等式將一般等式予以升華。他舉出這樣的等式例子：9+2=11，x+7=37，a+（-3）=2a+5，并用代數(shù)天平秤（圖2）來闡述代數(shù)等式的特點：開放等式（含未知數(shù)的等式）和兩邊相等，同時用3種代數(shù)式來說明代數(shù)式的特點。

愛德華老師指出天平秤的中桿相當于等式的等號，紅盤子里的砝碼代表正數(shù)，黃盤子里的砝碼代表負數(shù)。愛德華老師用不同重量的小砝碼來演示代數(shù)等式。他這樣做的目的是使學生們能直觀地感受代數(shù)式的意義。

●3+4是否等于5？愛德華老師將3個小砝碼放入左邊的紅盤子里，又將4個小砝碼放入左邊的紅盤子里，讓學生們設想一下，如果他將5個小砝碼放入右邊的紅盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？（學生小聲地議論，有的說平衡，有的說不平衡。）這時，愛德華老師在右邊的紅盤子里放入5個小砝碼，學生們從數(shù)學天平秤可以直觀地感受到天平秤不平衡。愛德華老師進一步解釋為什么不平衡：因為左邊是7而右邊是5，其數(shù)學解釋是：7≠5。

●（-2）+5是否等于-3？愛德華老師將2個小砝碼放入左邊的黃盤子里，再將5個小砝碼放入左邊的紅盤子里，他讓學生們設想一下，如果將3個小砝碼放入右邊的黃盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？在學生們議論后，愛德華老師在右邊的黃盤子里放入3個小砝碼，學生們可以直觀地感受到天平秤不平衡。愛德華老師進一步解釋為什么不平衡：因為左邊是3而右邊是-3，其數(shù)學解釋是：3≠-3。

●（-7）+2是否等于-5？愛德華老師用上述方式引導學生先設想，然后議論，再直觀感受天平秤是否平衡，最后愛德華老師進一步解釋為什么平衡。

c.建立抽象思維，用實物建模來驗證抽象思維并讓學生有充分的時間來練習鞏固。當學生對等式有了直觀的理解后，為了進一步幫助學生們建立對代數(shù)式的抽象理解，愛德華老師在黑板上寫出了下列題目并移開代數(shù)天平秤，要求學生用對應的代數(shù)天平秤對這些等式的正誤作出判斷。

①9-7=3

②4×5=20

③3（-5）+4=11

在學生做題期間，愛德華老師來到兩個低于平均水平的同學旁邊，確認他們對以上內容是否跟得上和是否需要進一步的幫助。個別學生做得快的，愛德華老師或讓他們幫助別人，或讓他們思考一下如何用代數(shù)天平秤來展示代數(shù)等式。當全班同學都完成了課堂練習，愛德華老師除了讓學生們做出解釋外，自己還將所有的題都重新解釋一遍，以便所有的學生都能懂得課堂上所涵蓋的內容。當學生理解等式概念后，愛德華老師再一次使用代數(shù)天平秤來連接代數(shù)等式（方程式）以使學生能有直觀的感受并建立抽象思維。

●（-7）+2=x，當x等于什么數(shù)時，才能使等式正確？愛德華老師將7個小砝碼放入左邊的黃盤子里，再將2個小砝碼放入左邊的紅盤子里，讓學生們設想一下，在右邊什么顏色的盤子里放入幾個小砝碼才能使代數(shù)天平秤平衡？如果他將5個小砝碼放入右邊的紅盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？（學生小聲地議論，有的說應放入紅盤子里，有的說應放入黃盤子里。）在學生們議論之后，愛德華老師在右邊的黃盤子里放入5個小砝碼，學生們可以直觀地觀察到當x等于（-5）時天平秤平衡。愛德華老師進一步解釋為什么平衡：因為左邊是-5而右邊也是-5，其數(shù)學解釋是（-7）+2=-5，即x=-5。

●x+4=-2，當x等于什么數(shù)時，才能使等式正確？愛德華老師按照以上差不多的程序邊放砝碼，邊讓學生們設想答案、討論，最后在正確的盤子里放入6個小砝碼，讓學生們直觀地觀察到，當x等于（-6）時天平秤平衡，等式正確。其數(shù)學解釋是-6+4=-2，即x=-6。

d.實際應用。愛德華老師特別強調開放等式，即代數(shù)等式的重要性，并給出定義：開放等式（方程式）就是包含有一個或多個變量的等式。然后讓每個學生自己創(chuàng)造一到兩個與現(xiàn)實生活有聯(lián)系的含有一個未知數(shù)等式的例子，并要求學生能夠將他們創(chuàng)造的方程式與鄰座的同學分享和討論。然后，愛德華老師讓學生將他們創(chuàng)造的含有一個未知數(shù)的方程式在全班與其他同學分享，并用學生們的實例作為討論的基礎。這里是部分學生的例子：

①w-11=34：杰克有一些鉛筆，他將11支鉛筆給了其他同學，還余34支鉛筆，問杰克原來有幾支鉛筆？

②6y+3=27：珊德娜已有$3，她利用周末幫助鄰居清掃院子每小時可得$6，問幾小時后，珊德娜可有$27？

③x/3=12：如果一個玩具的價格是$12，問喬治需要有多少錢才能購買3個玩具？

（2）引入新的內容：解方程。

a.當確定學生們對于代數(shù)等式在概念、計算和應用三個方面有所了解后，愛德華老師這時將重點放在對方程的解上。什么是方程的解？愛德華老師讓學生充分討論，然后他歸納出方程的解的定義：方程的解是當你將其代入原方程，使得這個方程的等式成立的那個數(shù)。愛德華老師先給出簡單方程解的例子：

①x+3=10，x=7是方程的解，因為7+3=10。

②110+y=115，y=15不是方程的解，因為110+15≠115。

b.愛德華老師在學生對于基本的代數(shù)等式即方程的解有比較深的理解后，將代數(shù)等式與現(xiàn)實生活連接起來。他一再告訴學生們不要急于求快，要等到完全懂得變量的關系后再列方程和解方程。他要求學生們將下列應用題轉換成代數(shù)等式：

潛水員的設備重17kg，潛水員和設備共重89kg，問潛水員有多重？

在學生思考時，愛德華老師一再告誡學生們，他并不要求他們很快地找出答案，而是把重點放在變量關系上，從而正確地列出方程。在教室觀察一圈后，他發(fā)現(xiàn)有的同學給出了106kg。為此，他帶領學生一同分析：

愛德華老師展示建模并找出抽象代數(shù)式的過程，指出x不可能是106kg，因為17+106≠89。

愛德華老師舉出另一個例子讓學生來建模、列方程和解方程：

一個容器重3kg，你的書包和容器加起來共重16.5kg，問你的書包的重量可否是13.5kg？你需要寫出方程，然后解方程來回答這個問題。你可以與你的同伴一起討論，然后由小組代表來與全班同學分享。

在這個活動中，同學們經(jīng)過討論，基本都能由直觀的方框圖產(chǎn)生出代數(shù)式，即3加上什么數(shù)能得到16.5，學生利用16.5-3=13.5，然后將解x=13.5代入3+x=16.5，得出16.5=16.5。

（3）應用。

愛德華老師讓學生與相鄰同學討論并舉出（或創(chuàng)造）一個將應用題轉換成代數(shù)等式的實際例子。下面的例子是一組學生經(jīng)過討論舉出的：

冰球運動員的設備和球衣重11kg，冰球運動員和他的設備以及球衣共重108kg。問冰球運動員的體重可否是99kg？

此時，學生們列方程、解方程以及檢查方程的解已基本沒有問題了。愛德華老師有意識地選出幾個學習能力較弱的學生來回答這個問題，他們做出了下列回答：

列方程：11+x=108

檢查方程的解：將x=99代入方程得出110≠108。因此冰球運動員的體重不可能是99kg。

需要指出的是，在這個班上，無論是學習能力較強的、較弱的，還是學習能力平均的學生，都能認真地記錄自己的課堂筆記。愛德華老師利用盡可能多的機會與不同學生互動，特別是對學習能力較弱的學生，更是給予盡可能多的和有意識的關心。這在無形中也起到了檢查學生的作用。

3.寫數(shù)學日志。

這節(jié)課最后一項教學內容是讓學生寫今天的數(shù)學日志。日志內容包括：日期、數(shù)學概念（變量和方程式）以及相應的數(shù)學課程標準，最后一項是書面解釋：如何檢查x=7是否是方程3x-10=11的解。愛德華老師要求學生們用自己的語言來闡述他們所學到的知識，并與相鄰的同學交流，然后隨機地抽出幾個學生與全班分享他們所學到的知識。

在學生們專心地寫數(shù)學日志時，愛德華老師再一次走到不同學生的面前，以便確認這些學生確實掌握了今天所教的內容。

最后，愛德華老師用抽簽的方式來讓3個學生在全班闡述他們的數(shù)學日志以達到總結本課內容、復習和鞏固所學知識的目的。

課例評述

這是一堂普通的代數(shù)預備課。由于學生多為少數(shù)族裔，使得教課的節(jié)奏相對較慢，因為愛德華老師知道，教這樣的學生不能快，否則效果會相反。盡管如此，這節(jié)課還是體現(xiàn)了概念、計算和應用三個方面的重點。下面用12條有效教學的內容來討論愛德華老師的課。

（1）相關性：愛德華老師非常明確教學的目的并與課程標準相對應，即學生能夠懂得未知數(shù)和簡單方程的解法。教學內容與學生水平和教學目的相關。

（2）聯(lián)系性：愛德華老師以學生已有的知識為切入點，并使之與新內容相聯(lián)系。更重要的是，他不僅自己聯(lián)系實際進行教學，還要求學生能夠舉出與實際生活相聯(lián)系的例子來加深學生對所學知識的理解。

（3）平衡性：這節(jié)課在數(shù)學概念、熟練計算和實際應用上取得了相對平衡。從時間上統(tǒng)計，愛德華老師用于數(shù)學概念的時間為21分鐘（35%），熟練計算上的時間為16分鐘（27%），實際應用上的時間為19分鐘（32%）。

（4）有序性：愛德華老師兼顧了不同層次的學生，由淺入深從預備知識到概念的引進及框架的設置；從老師的介紹到學生的創(chuàng)造和反饋；從學生的課堂練習到學生與老師的互動，層次分明，邏輯推理由易到難。

（5）多元性：愛德華老師的這個班是典型的多元化班級。此多元化不僅體現(xiàn)在種族的多元，還體現(xiàn)在學習能力的多元。不讓一個孩子掉隊是愛德華老師的目標。為此，他將精力用在了學習能力較差的孩子身上，利用一切機會來檢查這些學生的進度。比如，這節(jié)課，愛德華老師利用課堂練習的機會與兩個低于平均水平的學生的互動多達5次，共計使用8分鐘（13%）的時間。他還對高于平均水平的學生提出新的學習要求，即幫助別人和思考超前的學習內容（比如，如何用代數(shù)天平秤來展示代數(shù)等式）。這節(jié)課還體現(xiàn)了教學的多元化，愛德華老師不僅用講授和展示的方法，還用提問、小組討論、學生表達和展示的方法，極大地提高了學生的參與度。

（6）評價性：愛德華老師在講授新課之前，通過POD就已教內容對全班學生做了檢測。這個檢測活動是有目的的，并且是隨課堂教學而進行的，比如，他讓學生與相鄰同學相互闡述等式的內容和日常生活的例子，然后由學生代表在全班進行闡述；再比如，他讓學生與相鄰同學討論并將他們創(chuàng)造的含有一個未知數(shù)的方程式在全班與其他同學分享。結束時，他讓學生用日志來反映學習的情況。這些例子說明，愛德華老師用不同的方法了解學生掌握新知識的程度，以幫助他自己實時調整講課的內容。

（7）創(chuàng)新性：愛德華老師使用代數(shù)天平秤來闡述代數(shù)等式的特點：開放等式和兩邊相等顯得有新意。特別是對負數(shù)在等式中的應用，利用帶有負數(shù)的代數(shù)天平秤來闡述十分直觀，起到了幫助學生從直觀思維到抽象思維過渡的目的。愛德華老師并不是一味地按照教科書的順序來教學，而是按照學生的理解程度來設計教學進度，以使教學材料有新意，有吸引力，使得學生在探究中學習。

（8）互動性：愛德華老師不僅鼓勵學生與其他同學討論問題，給學生創(chuàng)造互動的機會，而且還自己投入到學生中與學生互動。本節(jié)課，學生共有數(shù)次的互動機會，增強了團隊的意識。老師通過與學生的互動，了解了學生，特別是學習能力低的學生對數(shù)學概念的理解程度，從而促進學生自發(fā)參與學習。

（9）反思性：愛德華老師在課中有意識地引導學生互相討論、自我指導、自我反思、自我評價。在課結束時，學生有機會用數(shù)學日志的方式來反思所學的內容。他還用抽卡片的隨機方法來鼓勵學生的參與而不是按照學生成績的好壞來讓學生回答問題，這既體現(xiàn)了公平又使得學生隨時都要集中注意力。

（10）公平性：這個班雖然有不同程度的學生，但愛德華老師竭盡全力建立公平的學習環(huán)境，尊重不同智力孩子的努力，使課堂具有寬容的學習氣氛。比如，用不同的教學手段（運用教學用具來幫助不同程度的學生）；用不同的數(shù)學表達（語言表達、數(shù)學式子表達、實際問題表達、方框圖表達以及書面寫作表達）來展示學生對數(shù)學概念的理解；用不同的方法（老師授課、學生小組討論、老師隨機抽查學生）來鼓勵學生的參與。

（11）責任感：此課體現(xiàn)愛德華老師具有較高的課堂管理藝術。學生具有較強的組織紀律性和責任感。他們知道來到此課堂的目的是學習而不是其他。學生們與他人討論，有助于培養(yǎng)學生的小組合作精神，無論學習好壞，都把自己看作是小組的一員。同時也幫助學生樹立讓每個人都成為學習中的勝利者的非常積極的人生態(tài)度。

（12）有效性：這節(jié)課基本上沒有浪費時間。全課用了56分鐘（93%）在教學內容上。由于學生的投入和參與，全課基本上沒有紀律問題。

說明：本節(jié)課是作者在課堂教學研究中的課例之一，系作者親自觀察得到。為了了解學生的學習情況，課后作者將印有兩個小問題的小紙條交由學生填寫作為學習反饋。這兩個小問題是讓學生創(chuàng)造性地陳述他們從這堂課所學到的知識并給出一個實際例子來說明他們對所學知識的應用。結果表明大多數(shù)學生達到了本課的教學要求。