萬樹林　王洪龍

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“概率”作為新增加的學(xué)習(xí)內(nèi)容后，課改區(qū)的中考試題中就出現(xiàn)了大量與概率有關(guān)的題目，這類問題緊密聯(lián)系生活實(shí)際，生動(dòng)有趣，但題型千變?nèi)f化，解題思維靈活. 同學(xué)們?cè)诮獯鹚鼈儠r(shí)，首先要認(rèn)真審題，弄清楚其結(jié)構(gòu)；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理的、恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚? 列表法和樹狀圖法是解答概率問題最基本、最常的方法. 下面我們通過列舉例題(所選例題均為2007年各地的中考題)來說明概率的常用計(jì)算方法.

1 利用總概率為1計(jì)算

例1 (貴陽市)在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率是0.12，則不中獎(jiǎng)的概率是.

分析 因?yàn)橹歇?jiǎng)與不中獎(jiǎng)的總概率為1，知道了中獎(jiǎng)的概率，不中獎(jiǎng)的概率可直接用減法求出.

解 因?yàn)橹歇?jiǎng)的概率是0.12，所以不中獎(jiǎng)的概率為1-0.12=0.88.

2 利用概率的計(jì)算公式計(jì)算

例2 (青島市)隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( ).

分析 為分析方便，我們記正面朝上為1，反面朝上為0，則隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況有四種：(1，0)、(0，1)、(1，1)、(0，0). 在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，所以根據(jù)概率的計(jì)算公式可求出.

解 從上面的分析可看出，則隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況共有四種，在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，根據(jù)概率的定義可知，落地后至少有一次正面朝上的概率P=正面朝上的次數(shù)所有情況=34. 故應(yīng)選A.

3 用頻率估計(jì)概率

例3 (河北省)在一個(gè)暗箱里放有a個(gè)除顏色外其他完全相同的球，這a個(gè)球中紅球只有3個(gè).每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色再放回暗箱. 通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是( ).

A.12 B.9 C.4 D.3

分析 根據(jù)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，可以估計(jì)摸到紅球的概率. 根據(jù)概率的計(jì)算公式可求出暗箱中紅球的個(gè)數(shù).

解 因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在25%，所以可知摸到紅球的概率為25%，從而得到3a=25%，解得a=12. 故選A.

4 列表法

例4 (江西省)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫著如圖所示的圖示的圖形，活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式：

①AB=CD；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張. 請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列兩個(gè)問題：

(1)當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形嗎?說說你的理由；

(2)請(qǐng)你用樹狀圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號(hào)表示)，并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片的等式為條件，使△BEC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.

分析 (1)根據(jù)等腰三角形的判定條件可以判定當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形. 要證明△BEC是等腰三角形，只要證明BE=CE即可.(2)用列表法列出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，根據(jù)等腰三角形的判定條件可求出不能夠成等腰三角形的結(jié)果數(shù)，這樣根據(jù)概率的計(jì)算公式可得.

解 (1)能.

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE怠鱀CE.

所以BE=CE，所以△BEC是等腰三角形.

(2)抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：

說明 本題的第二問也可以用樹狀圖法表示出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而得到答案.

5 樹狀圖法

例5 (金華市)水果種植大戶小方，為了吸引更多的顧客，組織了觀光采摘游活動(dòng). 每一位來采摘水果的顧客都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四張外形完全相同的卡片，抽獎(jiǎng)時(shí)選隨機(jī)抽出一張卡片，再?gòu)暮凶又惺Ｏ碌?張中隨機(jī)抽取第二張.

(1)請(qǐng)利用樹狀圖(或列表)的方法，表示前后兩次抽得的卡片所有可能的情況；

(2)如果抽得的兩張卡片是同一種水果圖片就可獲得獎(jiǎng)勵(lì)，那么得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是多少?

分析 (1)直接畫出樹狀圖；(2)根據(jù)樹狀圖可知抽得卡片的情況總數(shù)，在這些情況中先判斷出獲得獎(jiǎng)勵(lì)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率的計(jì)算公式可解.

(2)從上面的樹狀圖可以看出，抽得卡片的情況共有12種，在這12種情況中，只有4種情況可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，故獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率：P=獲獎(jiǎng)的情況數(shù)總的情況數(shù)=412=13.

另外，此題也可以用列表的方法求得.

從上面所舉的例題可以看出，有關(guān)概率的題目立意新穎，都有著一定的生活背景，這些背景取材于學(xué)生的生活實(shí)際，符合學(xué)生的認(rèn)知和心理特點(diǎn)，對(duì)于這樣的問題，學(xué)生是非常感興趣的.在解答的過程中學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行說理的方法，如，例4的第(1)問實(shí)際上是證明一個(gè)三角形是等腰三角形. 本題改變了傳統(tǒng)的命題方式，并沒有讓學(xué)生直接證明在AB=DC和∠ABE=∠DCE的條件下△BEC是不是等腰三角形，然后再給出證明. 這種方式比以前的命題方式要好得多. 學(xué)生在解答的同時(shí)經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展了他們的合情推理能力和初步的演繹推理能力，這種“以理服人”的好習(xí)慣、好品質(zhì)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)都是有益的.

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