潘亦寧

在初等數學的教學當中，無理數是一個非常重要的內容. 從數學發(fā)展的歷史來看，無理數的發(fā)現也具有極其重大的意義. 因此，在教學中適當介紹無理數的發(fā)展歷史是十分必要的.

1 畢達哥拉斯學派與無理數的發(fā)現

無理數最早是由古希臘的畢達哥拉斯學派發(fā)現的. 畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—前497)是希臘演繹數學的鼻祖之一，生于靠近小亞細亞海岸的薩摩島. 據說他曾跟隨著名的泰勒斯(Thales of Miletus， 約公元前625—前547)學習過，青年時還到埃及和巴比倫游歷，回到希臘后定居于今天意大利南部沿海的克洛托內，并在那里建立了一個秘密會社，也就是今天所說的畢達哥拉斯學派. 這是一個宗教、科學和哲學性質的會社，會員人數是限定的，由領導人傳授知識，會員必須對學派中所傳授的知識保密. 后來，畢達哥拉斯本人由于參與政治斗爭而于公元前497年被害，但是學派的其他成員仍然活躍在希臘的各個學術中心.

畢達哥拉斯本人沒有著作傳世，今天所說的畢達哥拉斯學派的數學成就是該學派成員的共同成果. 這些成果的大部分后來都收錄在歐幾里得(Euclid of Alexandria， 約公元前300)的《幾何原本》. 盡管我們今天把很多幾何成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派最基本的信條卻是“萬物皆數”. 他們認為人們所知道的一切事物都包含數，如果沒有數就既不可能表達也不可能理解任何事物. 事實上，畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數，分數則被看成兩個整數之比. 他們相信任何量都可以表示成兩個整數的比，這在幾何上相當于說，對任何兩條給定的線段，總能找到某第三線段，以它為單位線段可以將給定的兩條線段劃分為整數段. 這樣的兩條給定線段被稱為可公度量，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，相應的，不能這樣表達的量被稱為不可公度量. 后來畢達哥拉斯學派發(fā)現并不是任何兩條線段都是可公度的，例如單位正方形的對角線與邊長就不可公度，即與1不能公度. 據說不可公度量最早是由學派成員希帕蘇斯(Hippasus， 公元前470年左右)發(fā)現的. 當時學派成員正在海上集會，因為這一發(fā)現而將希帕蘇斯投到海里，因為他在宇宙間搞出這樣一個東西，否定了畢達哥拉斯學派萬物皆數的信條.

2與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的. 據亞里士多德記載，他們用的是反證法. 假設2是有理數，那么2可以表示為a∶b，a、b為互素的整數. 又由2a2=b2輇為偶數，設b=2c2a2=4c2輆2=2c2輆為偶數. 這與a、b互素矛盾!這與今天的證明是一致的.

很快人們就發(fā)現了除2以外的其它一些無理數，這些發(fā)現動搖了古希臘數學信仰的基礎，因此有時也被稱為第一次數學危機. 這一危機因為歐多克斯重新定義比例論而得到暫時的緩解.

2 歐多克斯比例論

公元前408年，歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)出生于小亞細亞的奈達斯，跟隨畢達哥拉斯學派的阿契塔斯(Archytas， 約公元前375)學習過，曾到埃及游歷過，回到希臘后創(chuàng)立了自己的學派，即今天所說的歐多克斯學派. 公元前368年他帶領自己的門徒一起加入了著名的柏拉圖學派. 歐多克斯是古希臘時代偉大的天文學家、幾何學家、醫(yī)生和地理學家. 他在數學上的重大貢獻是引入了關于比例的一個新理論.

越來越多無理數的發(fā)現迫使希臘數學家不得不研究這些數. 它們確實是數嗎?以前用于可公度的長度、面積和體積的證明怎樣才能推廣到不可公度的這些量呢?為了解決這些問題，歐多克斯首先引入了“量”的概念. 這里的量不是數，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等. 量與數的不同在于，數是離散的，即可數的，而量可以是連續(xù)的. 歐多克斯由量的概念出發(fā)給出了一種新的比例論. 歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論. 其定義為：設A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類. 如果對于任何兩個正整數m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相應地取決于mC大于、等于、小于nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即A，B，C，D四量成比例.

通過這一新的比例論，希臘數學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾，但這樣做也帶來了一些其它的后果. 歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數當作數. 這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據，但是也將數同幾何截然分開，而且使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數. 在此后的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位. 我們可以看出，歐多克斯的比例論實際上并沒有給無理數提供可靠的算術理論基礎，在很長的時間里，西方數學家都必須用幾何來嚴格處理連續(xù)量.

3 東方數學中的無理數

與希臘人不同，中國古代數學家是在開方(即解方程)的過程中遭遇無理數的. 最早記錄無理數發(fā)現的是《九章算術》. 這是中國古典數學中最重要的一部數學著作，至遲在公元前1世紀已經成書. 該書由西漢張蒼、耿壽昌等人對當時流傳的自先秦以來的數學知識進行刪補而成. 全書采用問題集的形式，共246個問題，分為九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股. 其中“少廣”章中的“開方術”和“開立方術”給出了開平方和開立方的算法. 在這種對整數開方的過程中必然會遇到開方不盡的情況. 《九章算術》對開方不盡的數起了一個新的名字，叫做“面”. 例如面積為2的正方形求邊長時，應對2開平方，而結果是開不盡的，于是稱面積為2的正方形的邊長為2“面”. 這是中國傳統數學中對無理數的最早記載.

古希臘數學家從不可公度性發(fā)現了無理數，歐多克斯為了解決不可公度在邏輯上的矛盾而重新定義了比例，但是這樣做的結果是避免承認無理數是真正的數. 中國人則從一開始就很坦然地接受了這種新的數，并且在計算中也很隨意地使用它們. 在無理數的表示方面做出重大貢獻的是中國古代數學泰斗劉徽. 劉徽是三國時期魏國人，他在數學上的主要成就是對《九章算術》做注釋. 《九章算術注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨立的著作，它奠定了劉徽在中國數學史上的不朽地位. 劉徽在注釋《九章算術》少廣章中的開方術時提出了用十進分數求無理數近似值的方法. 當某一整數單位(例如尺)開方不盡時，可以用該單位的110，1100等為新單位繼續(xù)開方. 這種方法被稱為求微數. 正是使用求微數的方法，劉徽才將圓周率精確到3.1416的較好結果. 唐代以后，十進小數獲得了廣泛的應用，到宋元時期秦九韶等人已經可以用十進小數求高次方程無理根的近似值. 中國古代數學家正是通過無理數的近似表示來對其進行各種運算的. 印度和阿拉伯的數學家也認為無理數是真正的數，并且用有理數的運算法則來計算無理數.

4 無理數的發(fā)展與定義

中世紀過后，歐洲數學逐漸復蘇. 受到東方數學的影響，算術和代數的發(fā)展首先取得了突出成就. 到16、17世紀，歐洲人對無理數的使用已經越來越廣泛了，但對無理數究竟是不是真正的數卻產生了分歧. 德國數學家斯蒂弗爾(M. Stifel， 1487—1567)在其著作《整數算術》中討論用十進小數的記號表示無理數的問題時，認為無理數不能被準確掌握，因而不是真正的數. 其后的帕斯卡和牛頓等人仍持這一觀點. 其他一些人則肯定認為無理數是獨立存在的數. 荷蘭數學家史蒂文(S. Stevin， 1548—1620)承認無理數是數，并用有理數來逼進它們. 笛卡兒也承認無理數是能夠代表連續(xù)量的抽象的數. 然而直到18世紀數學家們都沒有弄清楚無理數的概念，無理數理論的真正建立要到19世紀才完成.

在19世紀，最早對無理數進行處理的是愛爾蘭數學家哈密頓(W. R. Hamilton， 1805—1865). 他在1833—1835年發(fā)表《代數學作為純時間的科學》，把有理數和無理數的全體一起放在時間概念的基礎上. 他還提出用劃分有理數的方法來定義無理數，遺憾的是最終沒能完成. 在魏爾斯特拉斯(K. Weierstrass， 1815—1897)建立完善的無理數理論以前，柯西(Cauchy， 1789—1851)關于無理數是有理數列極限的概念被廣泛采用. 然而，除非無理數已經有了定義，否則這樣一個數列的極限在邏輯上是不存在的. 1859年魏爾斯特拉斯在柏林的授課中建立了無理數的理論，但是長期以來并沒有發(fā)表. 1869年法國數學家梅雷(H. C. R. Meray， 1835—1911)在有理數的基礎上給出了無理數的一個定義，這個定義與康托爾(G. Cantor， 1845—1918)所給的定義相同. 目前為大家廣泛接受的是德國數學家戴德金(R. Dedekind， 1831—1916)1872年在《連續(xù)性與無理數》中給出的無理數定義.

無理數的各種定義在實質上是十分相似的，這里僅介紹戴德金的定義. 戴德金是在直線劃分的啟發(fā)下來定義無理數的，其核心是“分割”的概念. 一個分割把所有的有理數分成兩類，使得第一類中的每一個數都小于第二類中的每一個數. 若干用A1與A2表示這兩類，則(A1，A2)表示這個分割. 在一些分割中，或者A1中有最大數，或者A2中有最小數，這樣的分割是由有理數確定的. 但是存在著不是由有理數確定的分割. 例如，把所有平方小于2的有理數放在第一類，其它放在第二類，這個分割就不是由有理數確定的. 從而每一個這樣的分割對應于唯一的一個無理數. 接著戴德金又定義了兩個分割的大小關系及其運算. 除了這種定義外，史托爾茨(Otto Stolz， 1842～1905)在《一般算術教程》中證明了每一個無理數可以表達成無限不循環(huán)小數. 這也是我們今天定義無理數的常用方法.

至此，在古希臘時期就被發(fā)現的無理數終于有了嚴格的定義. 從上述定義我們可以看出，無理數的邏輯定義是頗有些不自然的. 邏輯地定義出來的無理數是一個智慧的怪物. 這也正是長期以來數學家們覺得無理數難以掌握的真正原因. 事實上，直到19世紀一些保守的數學家仍然不接受這樣的無理數理論，例如克洛耐克和漢克爾就持反對意見. 雖然如此，嚴格的無理數理論的建立仍然是現代分析學和幾何學發(fā)展的基礎，是數學發(fā)展史上一次重大的進步.

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