劉厚卓　張德英

梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形的“綜合”.可以通過(guò)適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)去解決梯形問(wèn)題.下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹，供參考.

[一、平移一腰]

過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，能使分散的條件集中起來(lái)，為解決梯形問(wèn)題創(chuàng)造條件.

例1如圖1，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長(zhǎng)，那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是（）.

A. 90° B. 60° C. 45°D. 30°

解析：由條件“兩底之差等于一腰的長(zhǎng)”，可平移一腰.如圖2所示，平移DC到AE，AE交BC于E.可知BE=BC-AD=AB.又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，△ABE是等邊三角形.所以∠B=60°.故選B.

[二、平移兩腰]

平移兩腰，使兩腰交于短底上一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題.

例2如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

解析：要證∠B=∠C，可把它們移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)加以證明.

過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，EG∥DC，分別交BC于H、G（如圖4）.

∵AD∥BC，∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形（兩組對(duì)邊平行）.

∴ AE=BH，ED=GC.

又E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，所以AE=ED，BF=FC.

∴BH=GC，BF-BH=FC-GC，從而HF=FG.

又EF⊥BC，所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF，得∠B=∠C.

評(píng)析：題目中若有連接兩底上點(diǎn)的線段，通常要平移兩腰.

[三、平移對(duì)角線]

過(guò)梯形底邊的一個(gè)端點(diǎn)作某一條對(duì)角線的平行線，可以構(gòu)造出一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，引出解題思路.

例3在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，則梯形中位線的長(zhǎng)等于（）.

A. 7.5 cmB. 7 cmC. 6.5 cmD. 6 cm

解析：由對(duì)角線垂直，可平移一條對(duì)角線（比如AC），構(gòu)造出Rt△BDE和?ACED（如圖5）.由勾股定理可知BE=13 cm，從而得到梯形中位線的長(zhǎng)即[(AD+BC)/2]等于BE的一半，即為6.5 cm.故選C.

[四、延長(zhǎng)兩腰]

延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可構(gòu)造兩個(gè)三角形，再利用這兩個(gè)三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

例4在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC.求梯形的周長(zhǎng).

解析：延長(zhǎng)兩腰相交于點(diǎn)E，如圖6，因∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°.△BCE為等邊三角形.又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE.

所以CD=BC.又AD∥BC，故△ADE為等邊三角形.AD=ED=CD.由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10.

∴梯形的周長(zhǎng)為30+AB+CD=30+2CD=50.

[五、作梯形的高]

過(guò)梯形短底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的高，把梯形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，可使解題思路明朗化.

例5已知等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角為60°，它的上底是3 cm，腰長(zhǎng)是4 cm，則下底是______.

解析：如圖7，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3 cm，AB=DC=4 cm.過(guò)點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F.則有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=1/2AB=2 cm，

∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即為所求.

[六、連接兩腰中點(diǎn)]

若題目中有一個(gè)或兩個(gè)腰的中點(diǎn)，可嘗試連接梯形兩腰的中點(diǎn)，得到梯形的中位線，利用中位線的性質(zhì)解題.

例6在梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC.求證：AM平分∠DAB.

解析：如圖8，取DA的中點(diǎn)N，連接MN，則MN∥CD，MN∥AB.所以∠NMD=∠MDC=∠MDN.故NM=ND=AN，∠NAM=∠NMA=∠MAB.故AM平分∠DAB.

練習(xí)1. 等腰梯形兩底差的一半等于它的高，那么這個(gè)梯形的一個(gè)內(nèi)角是（）.

A. 75° B. 60°C. 45° D. 30°

2. 如圖9，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).求證：MN=（AB-CD）.

3. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高.

4. 如圖10，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥DC，AB=25，BC=24.將該梯形折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，BE為折痕.那么，AD的長(zhǎng)為_(kāi)________.

5. 例6變式練習(xí)：條件不變，結(jié)論改變.求證：（1）AM⊥DM；（2）AB+CD=AD.

提示：1.利用第五種作法.2.利用第二種作法，并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3.利用第三種作法，由勾股定理逆定理得出直角三角形，并利用面積公式S=1/2ab=1/2hc（a、b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，h是斜邊上的高）.4.先在Rt△BCD中求出DC，再自D作DF⊥AB于F.在Rt△ADF中求AD.