張景中　彭翕成

幾何題千變?nèi)f化，解無定法，這似乎已經(jīng)成為兩千年來人們的共識.但人們還是沒有放棄，一直都在尋找一種“通法”.這里所說的通法，并不是說它能夠解決所有的幾何問題，而是指它能夠解決幾何中的很大一類問題.下面我們要介紹的就是這樣的一種通法——消點法.一般說來，只要題目中的條件可以用尺規(guī)作圖表示出來，并且結(jié)論可以表示成常用幾何量的多項式形式（常用幾何量包括面積、線段及角的三角函數(shù)），那么，就總可以用消點法一步一步地做出解答.

首先，我們用一個例子來介紹什么是消點法.

例1如圖1，在?ABCD中，E、F分別為AD、CD的中點.連接BE、BF，它們分別交AC于點R、T.求證：R、T分別為AC的三等分點.

很多人在做幾何題的時候，即使書本上已經(jīng)畫好了幾何圖形，仍然會在草稿紙上重新畫一遍.這樣做，一是擔(dān)心添加輔助線的時候把書本上的圖形搞亂了，二是重新作圖也有利于理解題目意思.其實，幾何題難就難在不知道如何作輔助線.作輔助線屬于人類獨有的高級智慧，既需要平時大量的積累，更需要解題時的“靈機一動”.能不能避開作輔助線呢？也是可以的.消點法就不需要作輔助線，但要求深入理解題目意思.

下面我們來重新作圖，要特別注意作圖的順序喲！

第一步：在平面上作A、B、C三點.這三個點是任意畫的，不受約束.當(dāng)然，A、B、C三點不能在一條直線上，否則下面的圖形就沒法畫下去了.

第二步：作點D，使得AD∥BC，DC∥AB.

第三步：連接AC，并作出AD中點E和CD中點F.

第四步：連接BE交AC于點R，連接BF交AC于點T.

在該圖形中的所有點中，我們把A、B、C三點稱之為“自由點”，而將其他點稱之為“約束點”.之所以這樣劃分，是因為一旦A、B、C三點位置確定，那么其他點的位置也隨之確定，沒有變動的可能了.

為了證明點T是AC的三等分點，從圖形可以看出需要證明=2.我們的思路是：要證明的等式左端牽涉到好幾個點（A、C、T），但右端卻只有數(shù)字2，如果想辦法把字母A、C、T都消掉，不就水落石出了么？在這種思想的指導(dǎo)下，我們首先著手從式子中消去最晚出現(xiàn)的點T.