丁鳳云

同學(xué)們都知道猴子摘桃子的方法很多.例如，直接爬到樹上去，用棒子打，使勁搖晃樹，跳起來摘等等.猴子吃到自己從樹上摘的桃子總覺得非常甜，非常高興.學(xué)習(xí)不也是如此嗎？你遇到一道題會找到幾種解法呢？成功解決一個問題，是不是特別快樂呢？下面讓我們一起來享受快樂時(shí)光吧！

例如圖1，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，∠A=100°，求∠BDC的度數(shù).

思路1：要求∠BDC的度數(shù)，由于它在三角形BDC中，所以可以考慮先求出圖1中∠1與∠2兩個角的和.由于BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，因此∠1與∠2這兩個角又分別是∠ABC和∠ACB的一半，故可以轉(zhuǎn)而求∠ABC、∠ACB的度數(shù).而由已知條件不能分別求出這兩個角的度數(shù)，只能求出這兩個角的度數(shù)之和.

解法1：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=180°-（∠1+∠2）=140°.

評注：本題考查了我們?nèi)绾芜\(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求角的大小的內(nèi)容.因此本題中如果已知∠1和∠2兩角之和，也能求出∠BDC的度數(shù).另外由于∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，所以∠BDC=180°-90°

-∠A=90°+∠A.因此無論∠A的度數(shù)怎么變化，在本題的條件下，∠A和∠BDC的關(guān)系都是一定的，我們都能很快算出∠BDC的度數(shù).

思路2：求三角形中的角度問題，我們還可以運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和來解決.但本題中的∠BDC不是哪個三角形的外角，因此我們要設(shè)法構(gòu)造一個三角形使得其外角為∠BDC.

解法2：如圖2，延長CD，交AB于點(diǎn)E.

∵∠BDC是三角形BED的一個外角，

∴∠BDC=∠1+∠3.

∵∠3是三角形AEC的一個外角，

∴∠3=∠A+∠2.

∴∠BDC=∠A+∠2+∠1.

∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=100°+40°=140°.

評注：本題同樣可以延長BD，解法與解法2類似.

思路3：本題中如果連接AD再延長，便可將已知圖形分成幾個小三角形，也將∠BDC分成兩個角，它們分別是三角形ABD和三角形ACD的兩個外角，再運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)可以解決問題.

解法3：連接AD并延長，交BC于點(diǎn)E，如圖3.

∵∠BDE和∠CDE分別是三角形ABD和三角形ACD的兩個外角，

∴∠BDE=∠1+∠3，∠CDE=∠2+∠4.

∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=∠3+∠4=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠3+∠4+∠1+∠2=140°.

評注：解法2、解法3都是通過構(gòu)造三角形的外角來求出∠BDC的度數(shù)的.

在平時(shí)的練習(xí)中，只要我們善于運(yùn)用一題多解，便能使我們的解題思路非常靈活，同時(shí)也能在解決一類問題中得心應(yīng)手.另外通過多種解法來解決一個問題時(shí)，我們還能非?？斓氐贸瞿姆N解法最為簡便，也能夠選擇一種最簡捷的思路來解決問題，可以有效提高解題的效率.

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