王文清

大家都知道，基本不等式中的等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)諸數(shù)都相等時(shí)成立.事實(shí)上，我們遇到的要證明的絕大多數(shù)不等式的條件與結(jié)論都是關(guān)于所含字母的輪換對(duì)稱式，這就預(yù)示著這些字母在解題中的地位是相同的，因此，當(dāng)他們?nèi)≈迪嗤瑫r(shí)，等號(hào)可能成立.于是，可以先猜測(cè)并驗(yàn)證要證明的不等式中等號(hào)成立的條件，然后，結(jié)合已知，通過(guò)拆添項(xiàng)、配湊等手段構(gòu)造一系列基本不等式，最后通過(guò)同向不等式的運(yùn)算給出證明.下面舉例說(shuō)明.

利用對(duì)稱思想解決例7，用時(shí)不會(huì)超過(guò)60秒，運(yùn)算量小得都沒(méi)有出錯(cuò)的機(jī)會(huì)．

綜上所述，當(dāng)題設(shè)條件和研究結(jié)論的形式都是關(guān)于題設(shè)全部元素對(duì)稱的時(shí)候，就沒(méi)有理由認(rèn)為某個(gè)元素比其它的大或小，它們對(duì)結(jié)論的貢獻(xiàn)是相同的，因而地位平等，誰(shuí)也無(wú)特權(quán)，故諸元素均相等時(shí)，結(jié)論不等式中的等號(hào)成立(如，例1～例5）．

這種“一視同仁”地、“公正”地看待某些對(duì)象的“非充分理由”原理，用來(lái)監(jiān)控對(duì)稱問(wèn)題的結(jié)論是很有效的，即條件和研究對(duì)象的形式是對(duì)稱的，結(jié)論也應(yīng)該符合對(duì)稱要求，否則可判斷結(jié)論或者不完整，或者根本就是錯(cuò)誤的.對(duì)稱思想告訴我們：“沒(méi)有充分理由區(qū)別的，可能是不必區(qū)別的.”

當(dāng)題設(shè)條件或研究結(jié)論至少有一個(gè)不具有對(duì)稱性時(shí)，盡力把題設(shè)條件和研究結(jié)論同時(shí)化歸為具有對(duì)稱性，也是解決這類問(wèn)題的一個(gè)策略(如例6、例7）.

龐卡萊指出“在解題中、在證明中，給我們美感的東西是什么呢?是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱，是它們的巧妙、平衡．”對(duì)稱給人以美的感受，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)中最普通的美.對(duì)稱的條件能夠?qū)е聦?duì)稱的結(jié)論以及可能用對(duì)稱變換的方法去求解.使分散的條件相對(duì)集中，以溝通已知和未知的關(guān)系，打通解題途徑，起到事半功倍的效果.

利用諸元素相等時(shí)，結(jié)論不等式中的等號(hào)成立，是證明條件不等式的一種極為有效的策略和方法，是對(duì)稱思想用于指導(dǎo)解題的具體體現(xiàn).發(fā)現(xiàn)或制造對(duì)稱，并利用對(duì)稱性解題，是解題者對(duì)稱思想成熟的標(biāo)志！

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