房延華

探索型問(wèn)題有助于我們?cè)诜治?、推理、探索中提高?shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力．下面以2007年的幾道中考題為例，講解一下與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的探索型題目．

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），其順序按圖中“→”方向排列，即（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索，可得第100個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

解析：觀察圖1中點(diǎn)的坐標(biāo)的排列規(guī)律可知，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為偶數(shù)時(shí)，其排列順序是按縱坐標(biāo)由小到大的順序排列；當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為奇數(shù)時(shí)，其排列順序是按縱坐標(biāo)由大到小的順序排列．再觀察每一縱列，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)有1個(gè)，橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)有2個(gè)，橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)有3個(gè)，…，橫坐標(biāo)為n的點(diǎn)有n個(gè)．

因1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 13 ＝ 91 ＜ 100 ＜ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 14 ＝ 105，故第100個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為14，而其縱坐標(biāo)應(yīng)為8，即第100個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，8）．

點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵，是從圖形中找出關(guān)于點(diǎn)的排列順序和每列點(diǎn)的個(gè)數(shù)的規(guī)律．

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP0繞O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到線段OP1；再將線段OP1繞O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP1的2倍，得到線段OP2．如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數(shù)）．

（1） 求點(diǎn)P6的坐標(biāo)．

（2） 我們規(guī)定：把點(diǎn)Pn（xn，yn）（n ＝ 0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)xn，縱坐標(biāo)yn都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)（xn，yn）稱為點(diǎn)Pn的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)Pn的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)Pn的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫(xiě)出來(lái)．

解析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P6落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)Pn到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于Pn－1點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故P6的坐標(biāo)為（0，－ 26），即P6（0，－ 64）．

（2）由題意知，OP0旋轉(zhuǎn)8次后回到x軸正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)Pn分別落在象限的角平分線上或x軸、y軸上，但各點(diǎn)“絕對(duì)坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)Pn可分為三類(lèi)情況：

①當(dāng)n ＝ 8k或n ＝ 8k ＋ 4時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)Pn落在x軸上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對(duì)坐標(biāo)為（2n，0）．

②當(dāng)n ＝ 8k ＋ 1或n ＝ 8k ＋ 3或n ＝ 8k ＋ 5或n ＝ 8k ＋ 7時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)Pn落在象限的角平分線上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對(duì)坐標(biāo)為

·2n，

·2n，即（2n － 1，2n － 1）．

③當(dāng)n ＝ 8k ＋ 2或n ＝ 8k ＋ 6時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)Pn落在y軸上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對(duì)坐標(biāo)為（0，2n）．

點(diǎn)評(píng)：本題尋找Pn點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，要充分利用兩個(gè)條件：①OPn長(zhǎng)度為OPn － 1長(zhǎng)度的2倍；②旋轉(zhuǎn)角為45°．所以在做題時(shí)，首先要從題目中提煉有用的信息，這樣再做題就容易多了．

例3實(shí)驗(yàn)與探究．

（1）在圖3、圖4、圖5中，?ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)已給出．圖 3、圖4、圖5中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是，，．

（2）在圖6中，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)已給出，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a、b、c、d、e、f的代數(shù)式表示）．

（3） 通過(guò)對(duì)圖3～圖6的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論?ABCD處于平面直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間都存在著某個(gè)不變的關(guān)系．如圖6，當(dāng)?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）時(shí)，4個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a、c、m、e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b、d、n、f之間的等量關(guān)系為．（不必證明）

解析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求出圖3、圖4、圖5中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（5，2），（e ＋ c，d），（c ＋ e － a，d）．

（2）如圖7，分別過(guò)點(diǎn)A、B、C、D作x軸的垂線，垂足分別為A1、B1、C1、D1．分別過(guò)A、D作AE⊥BB1于點(diǎn)E，DF⊥CC1于點(diǎn)F．在?ABCD中，CD ＝ BA，又因?yàn)锽B1∥CC1，所以∠EBA ＝ ∠FCD．

因?yàn)椤螧EA ＝ ∠CFD ＝ 90°，所以△BEA ≌ △CFD．

所以AE ＝ DF ＝ a － c，BE ＝ CF ＝ d － b．

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．由e － m ＝ a － c，得m ＝ e ＋ c － a．由n － f ＝ d － b，得 n ＝ f ＋ d － b．所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（e ＋ c － a， f ＋ d － b）．

（3）由（1）、（2）易得4點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系為m ＋ a ＝ c ＋ e，n ＋ b ＝ d ＋ f，或表示為 m ＝ c ＋ e － a，n ＝ d ＋ f － b．Y