張　雷

近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，與等腰三角形有關(guān)的探索型問(wèn)題已成為熱點(diǎn)之一.現(xiàn)舉例予以說(shuō)明.

一、條件補(bǔ)充型

例1（濟(jì)南）如圖1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個(gè)條件是__.

簡(jiǎn)析：從確定△ADE是等腰三角形著眼，應(yīng)添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等條件.

二、結(jié)論判斷型

例2（南通）如圖2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等邊三角形.試判斷EC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

簡(jiǎn)析：因△ACE、△CBD都是等邊三角形，故∠ECA=∠DCB=60°.又因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°.連接EB、ED，如圖3.又EC=EC，CB=CD，則△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC.由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)知EC⊥BD.

三、辨別改錯(cuò)型

例3（江西）如圖4，D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn).EB=EC，∠1=∠2.求證：AD⊥BC．

請(qǐng)你先閱讀下面的證明過(guò)程．

證明：在△AEB和△AEC中，EB=EC，AE=AE，∠1=∠2，

∴△AEB≌△AEC.（第一步）

∴AB=AC， ∠BAE=∠CAE.（第二步）

∴AD⊥BC.（等腰三角形的“三線(xiàn)合一”）

上面的證明過(guò)程是否正確？如果正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步，并寫(xiě)出你認(rèn)為正確的證明過(guò)程．

簡(jiǎn)析：第一步錯(cuò)誤．在△AEB和△AEC中，有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，并不能判定它們?nèi)龋C明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB.再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC.下同上面證法．

四、條件組合型

例4（揚(yáng)州） 如圖5，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O. 給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？用序號(hào)寫(xiě)出所有情形.

（2）請(qǐng)選擇（1）題中的某一種情形，證明△ABC是等腰三角形.

簡(jiǎn)析：（1）有兩種情形：①、③，②、③.

（2）以①、③為例.

∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，

∴△EBO≌△DCO（AAS）.

∴BO=CO.∠OBC=∠OCB.

由條件∠EBO=∠DCO，

∴∠ABC=∠ACB.△ABC為等腰三角形.

五、實(shí)驗(yàn)操作型

例5（天門(mén)）在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過(guò)嘗試，列表表示如下.請(qǐng)閱讀下表后再回答問(wèn)題.

問(wèn)：（1）4根火柴能搭成三角形嗎？

（2）8根、12根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？請(qǐng)?jiān)谙卤碇挟?huà)出它們的示意圖.

簡(jiǎn)析：（1）因?yàn)?根火柴只能搭成長(zhǎng)為1，1，2的三條線(xiàn)段，而長(zhǎng)為1，1，2的三條線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形.

（2）在搭的同時(shí)要注意三條線(xiàn)段長(zhǎng)必須滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理.8根火柴可以搭成一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為4，4，4的等邊三角形，還可以搭成一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的直角三角形.示意圖略.

說(shuō)明：這類(lèi)搭三角形的題可運(yùn)用列舉法解.先畫(huà)三個(gè)方框.在最左邊的第一個(gè)方框中依次填上1，2，3，…，在第二個(gè)方框中再填入不小于第一個(gè)方框的數(shù)，然后在第三個(gè)方框中填入不小于第二個(gè)方框的數(shù).這三個(gè)數(shù)如果滿(mǎn)足前兩個(gè)之和大于第三個(gè)，且這三個(gè)數(shù)之和為（火柴）總數(shù)，那么就可以搭成三角形，否則不能.

六 圖形分割型

例6（無(wú)錫）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°.試畫(huà)一條直線(xiàn)，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．請(qǐng)你選用下面給出的備用圖（圖6），把不同的分割方法都畫(huà)出來(lái)．只需畫(huà)圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù).

簡(jiǎn)析：如圖7，有2種不同的分割方法.

說(shuō)明：此題的解決也提示我們: 遇到與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要避免多解、漏解.

七 猜想探究型

例7（南充）如圖8，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN.直線(xiàn)BN與AM相交于Q點(diǎn)．

（1）請(qǐng)問(wèn)：∠BQM等于多少度？

（2）如果M、N兩點(diǎn)分別在線(xiàn)段BC、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，如圖9所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

簡(jiǎn)析：隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，會(huì)出現(xiàn)不少規(guī)律探究題.這些題目要求同學(xué)們?cè)谶\(yùn)動(dòng)變化中探求圖形某些不變的性質(zhì)或變化的規(guī)律．（1）題通過(guò)猜想、測(cè)量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)△ABM≌△BCN，從而∠BMQ=∠BNC，∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠BAQ=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立．（2）題的證明思路如下：先證△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°.