趙國(guó)瑞

匈牙利著名數(shù)學(xué)家保羅·埃杜斯教授，聽(tīng)說(shuō)有一個(gè)叫路易·波沙的少年，聰明過(guò)人，擅長(zhǎng)解數(shù)學(xué)題．埃杜斯教授心想，這是一個(gè)難得的人才，我要親自考驗(yàn)考驗(yàn)他．

埃杜斯教授到了波沙的家中，見(jiàn)到了12歲的波沙．教授給他提了個(gè)問(wèn)題：“從1，2，3直到100中任意取出51個(gè)數(shù)，那么至少有兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的．你能說(shuō)出其中的道理嗎？”（兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，指的是它們沒(méi)有大于1的公約數(shù)，比如4和9）

波沙稍微想了一下，把父母和教授面前的杯子都移到自己的面前.他指著這些杯子說(shuō)：“這幾只杯子就算50個(gè)吧．我把1和2這兩個(gè)數(shù)放進(jìn)第1個(gè)杯子，把3和4兩個(gè)數(shù)放進(jìn)第2個(gè)杯子……這樣兩個(gè)兩個(gè)地往杯子里放，最后把99和100兩個(gè)數(shù)放進(jìn)第50個(gè)杯子里．我這樣放可以吧？”

教授點(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)：“可以，當(dāng)然可以這樣放了．”

波沙又說(shuō)：“因?yàn)槲乙獜?到100中挑出51個(gè)數(shù)，所以至少有一只杯子里的兩個(gè)數(shù)會(huì)全部被我挑走，對(duì)吧？而這同一只杯子里的兩個(gè)數(shù)是緊挨著的、連續(xù)的，兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)必然互質(zhì)．”

埃杜斯教授笑著說(shuō)：“你的杯子能喝酒、喝咖啡，還能做題，你這可是多用杯呀！”教授幾句幽默話(huà)，把大家都逗笑了．

埃杜斯教授追問(wèn)：“為什么相鄰的正整數(shù)一定互質(zhì)呢？”

波沙說(shuō)：“假設(shè)a、b為兩個(gè)相鄰的正整數(shù)而又不互質(zhì)（且b>a），那么a和b必存在著大于1的公約數(shù)c.于是a=mc，b=nc，m≠n，從而b-a=（n-m）c.所以c一定是b-a的約數(shù)．因?yàn)閎-a=1，故b-a存在大于1的約數(shù)是不可能的！因此，兩個(gè)相鄰的正整數(shù)必然互質(zhì)．”

埃杜斯教授夸獎(jiǎng)小波沙：“答得很好！”

……

小波沙在解答埃杜斯教授的問(wèn)題時(shí)，使用了兩個(gè)數(shù)學(xué)原理：抽屜原理和反證法．

什么是“抽屜原理”呢？

如果將n+1件物體放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放著2件或2件以上的物體．

這就是抽屜原理.這個(gè)抽屜原理是顯而易見(jiàn)的，也幾乎是不言自明的．

抽屜原理也叫做“鴿籠原理”或“鞋盒原理”，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的原理．請(qǐng)看下面的問(wèn)題：

在一所有400名學(xué)生的小學(xué)里，會(huì)有兩個(gè)小學(xué)生的生日相同嗎？

1月1日到12月31日可以看做365（或366）個(gè)抽屜，而要把400個(gè)人的生日往這365（或366）個(gè)抽屜里“放”，那么至少有兩個(gè)人的生日是在同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)人的生日相同．

當(dāng)然，這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，直接一說(shuō)就明白了．如果問(wèn)題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，在使用抽屜原理時(shí)，就要講究一些方法了．請(qǐng)看下面的問(wèn)題：

現(xiàn)有9個(gè)人，每個(gè)人都有一支紅藍(lán)雙色圓珠筆．每個(gè)人用雙色圓珠筆寫(xiě)下“愛(ài)科學(xué)”三個(gè)字，每個(gè)字必須用同一種顏色寫(xiě)，各個(gè)字的顏色是隨意的.試說(shuō)明其中至少有兩個(gè)人寫(xiě)字顏色是完全相同的（即所寫(xiě)的每個(gè)字的顏色都一樣）．

如果用0代表紅色字，用1代表藍(lán)色字，那么用紅藍(lán)兩種顏色寫(xiě)“愛(ài)科學(xué)”三個(gè)字，會(huì)出現(xiàn)如下8種可能情況：

0，0，0，即紅，紅，紅；1，1，0，即藍(lán)，藍(lán)，紅；

1，0，0，即藍(lán)，紅，紅；1，0，1，即藍(lán)，紅，藍(lán)；

0，1，0，即紅，藍(lán)，紅；0，1，1，即紅，藍(lán)，藍(lán)；

0，0，1，即紅，紅，藍(lán)；1，1，1，即藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)．

這8種可能可以看做是8個(gè)抽屜.現(xiàn)在有9個(gè)人寫(xiě)字，可以看成是要在8個(gè)抽屜中裝進(jìn)9件物體．由抽屜原理可知，至少有兩個(gè)人所寫(xiě)的字的顏色完全相同．