宋聯(lián)初

整數(shù)解問(wèn)題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與整式性質(zhì)、方程知識(shí)、平面幾何及函數(shù)有機(jī)結(jié)合，涉及范圍廣，方法靈活，綜合性強(qiáng)，題型多變，難度大.但其解法仍然是有章可循的，本文就這類問(wèn)題的解法用實(shí)例加以說(shuō)明.

1.整數(shù)與代數(shù)式

【例1】 若100a+64和201a+64均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，則整數(shù)a的值是______.

解析：設(shè)100a+64=m²，201a+64=n²，則32≤m，n<100，兩式相減得整理得101a=n²-m²=（n+m）?（n-m）,因?yàn)?01是質(zhì)數(shù)，且m+n<200,n-m≠101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.代入201a+64=n²,整理得n²-402n+20237=0,解得n=59,或n=343（舍去）.所以a=2n-101=17.

評(píng)析：本例巧妙地利用參數(shù)m、n來(lái)解決，引入?yún)?shù)m、n使問(wèn)題明朗化，代數(shù)式的性質(zhì)直接用數(shù)量關(guān)系表示了，利用整數(shù)理論逐步轉(zhuǎn)化了數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題得到解決.

2.整數(shù)解與方程

（1）分解因式法

【例2】 設(shè)關(guān)于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的兩根都是整數(shù)．求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值．

解析：（k-2）（k-4）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）?（k+2）=0.

分解因式得［（k-2）x+k+2］［（k-4）x+k-2］=0.