王　峰

1. (南寧市)如圖1,A是一枚硬幣圓周上的一點(diǎn),硬幣與數(shù)軸相切于原點(diǎn)0(即A點(diǎn)與0表示的點(diǎn)重合).假設(shè)硬幣的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度.若將硬幣沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)一周后,點(diǎn)A恰好與數(shù)軸上的點(diǎn)A′重合,則點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是 .

2. (沈陽(yáng)市)估算+3的值().

A. 在5和6之間B. 在6和7之間

C. 在7和8之間D. 在8和9之間

3. (浙江)沈老師在講“實(shí)數(shù)”時(shí),畫(huà)了一個(gè)圖(如圖2):以數(shù)軸上單位長(zhǎng)度的線段為邊作一個(gè)正方形,然后以原點(diǎn)為圓心,正方形對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交數(shù)軸于點(diǎn)A.作這樣的圖是用來(lái)說(shuō)明 .

4. (荊州市)有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器,原理如下:

當(dāng)輸入的x為64時(shí),輸出的是().

A. 8B. 2C. 2 D. 3

5. (杭州市)在圖3中的兩個(gè)橢圓內(nèi)各有一些實(shí)數(shù),請(qǐng)你從中分別選出2個(gè)有理數(shù)和2個(gè)無(wú)理數(shù),再用“+?-?×?÷”中的3種符號(hào)將選出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行3次運(yùn)算,使得運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)正整數(shù).

6. (北京)定義新運(yùn)算“☆”:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a?b,都有a☆b=b2+1.例如,7☆4=42+1=17.那么5☆3= ;當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí),m☆(m☆2)= .

7. (無(wú)錫市)在實(shí)數(shù)原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下:當(dāng)a≥b時(shí),ab=b2;當(dāng)a

8. (嘉興市)定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F ”運(yùn)算:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),結(jié)果為3n+5;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),結(jié)果為其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù).并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如取n=26,則:

若n=449,則第449次“F ”運(yùn)算的結(jié)果是.

9. (大連市)試先用計(jì)算器計(jì)算:,,,…

請(qǐng)你猜測(cè)的結(jié)果為 .

10. (南昌市)請(qǐng)?jiān)谟蛇呴L(zhǎng)為1的小正三角形組成的虛線網(wǎng)格中(如圖4),畫(huà)出1個(gè)所有頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,且至少有一邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的等腰三角形.

11. (齊齊哈爾市)如圖5,在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形OABC.

(1)請(qǐng)你畫(huà)出此圖案繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°?180°?270°的圖案,你會(huì)得到一個(gè)美麗的圖案,千萬(wàn)不要將陰影位置涂錯(cuò).

(2)若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為A1,A2,A3,求四邊形AA1A2A3的面積.

(3)這個(gè)美麗的圖案能夠說(shuō)明一個(gè)著名結(jié)論的正確性,請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論.

12. (山西)關(guān)于勾股定理的研究還有一個(gè)很重要的內(nèi)容——勾股數(shù)組(也叫勾股數(shù)),在課本中我們已經(jīng)了解到,“能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)”.下面是確定勾股數(shù)組的兩種方法.

方法1:若m為奇數(shù)(m≥3),則a=m,b=(m2-1)和c=(m2+1)是勾股數(shù)組.

方法2:任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m>n),則a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股數(shù)組.

(1)從以上兩種方法中任選一種,證明以a?b?c為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

(2)請(qǐng)根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫(xiě)下列表格:

(3)某園林管理處要在一塊綠地上植樹(shù),使之構(gòu)成如圖6所示的圖案景觀,該圖案由四個(gè)全等的直角三角形組成.要求每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一棵樹(shù),各邊上相鄰兩棵樹(shù)之間的距離均為1 m.如果每個(gè)三角形最短邊上都植樹(shù)6棵,那么這四個(gè)直角三角形的邊上共需植樹(shù)多少棵?

參考答案

2. C 提示:我們先把問(wèn)題的著眼點(diǎn)放在帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)上,找到兩個(gè)相鄰的整數(shù),使這個(gè)無(wú)理數(shù)處在這兩個(gè)整數(shù)間.由16<24<25,故有4<<5,然后再利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形,得出4+3<+3<5+3,從而容易發(fā)現(xiàn)+3是在7和8之間的一個(gè)無(wú)理數(shù),故選C.

3. 略.提示:本題是表明如何在數(shù)軸上找到表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).從所給的圖形容易知道正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為,根據(jù)同圓的半徑相等可知點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為.這從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).

4. B

5. 答案不唯一.例如:3+(-6)-(-×)=3.

6. 10 26

7. -2 提示:關(guān)鍵是理解提供的運(yùn)算法則,根據(jù)數(shù)之間的大小關(guān)系選擇相應(yīng)的運(yùn)算.(1x)·x-(3x)=(12)·2-(32)=1×2-22=-2.

8. 8 提示:首先弄清楚“F ”運(yùn)算的意義,然后對(duì)正整數(shù)n分情況(奇數(shù)?偶數(shù))循環(huán)計(jì)算.由于n=449為奇數(shù),應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算,即3×449+5=1 352(為偶數(shù)),需再進(jìn)行F②運(yùn)算1 352÷23=169(奇數(shù)),再進(jìn)行F①運(yùn)算得到3×169+5=512(為偶數(shù)),再進(jìn)行F②運(yùn)算512÷29=1(奇數(shù)),再進(jìn)行F①運(yùn)算得到3×1+5=8(偶數(shù)),再進(jìn)行F②運(yùn)算得到8÷23=1(奇數(shù)),再進(jìn)行F①運(yùn)算得到3×1+5=8(偶數(shù))……這樣循環(huán)計(jì)算一直到第449次“F ”運(yùn)算,得到的結(jié)果為8.(反思上面運(yùn)算,第1次運(yùn)算結(jié)果為1 352,……,第4次運(yùn)算結(jié)果為1,第5次運(yùn)算結(jié)果為8,第6次運(yùn)算結(jié)果為1,第7次運(yùn)算結(jié)果為8……可以發(fā)現(xiàn)從第6次運(yùn)算結(jié)果開(kāi)始循環(huán),且奇數(shù)次皆為8,偶數(shù)次皆為1,而第449次是奇數(shù)次,結(jié)果應(yīng)為8)

9. 10n 提示:這是一道關(guān)于算術(shù)平方根的規(guī)律探索型問(wèn)題,容易計(jì)算出,,的結(jié)果分別為10,100,1 000,從而猜想=10n.

10. 如圖7.提示:本題答案不唯一,只要符合要求即可.

11. (1)畫(huà)出圖案如圖8.畫(huà)圖時(shí)注意旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O,找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)90°?180°?270°后點(diǎn)A?B?C所處的位置,標(biāo)上相應(yīng)的字母,另外還應(yīng)注意是按順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)的.

(2)觀察畫(huà)出的旋轉(zhuǎn)后的圖形,可以知道:四邊形AA1A2A3的面積等于四邊形BB1B2B3的面積減去4個(gè)△ABC的面積,又因四邊形BB1B2B3為正方形,所以四邊形AA1A2A3的面積為(3+5)2-4××3×5=34.

(3)這個(gè)著名的結(jié)論就是勾股定理,即直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,也即AB2+BC2=AC2(∠B=90°).

這可由(AB+BC)2=AC2+4××AB×BC證得.

12. (1)選取方法1給出證明.

由給出的a?b?c的表達(dá)式及m的取值范圍容易判斷c最大,因?yàn)閏2-b2=(m2+1)2-(m2-1)2=(m2+1)+(m2-1)(m2+1)-(m2-1)=m2·1=a2,變形得a2+b2=c2,所以以a?b?c為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

(2)略.

(3)由條件可知三角形的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)米.根據(jù)每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一棵樹(shù),各邊上相鄰兩棵樹(shù)之間的距離均為1 m,且每個(gè)三角形最短邊上都植樹(shù)6棵,可知最短直角邊長(zhǎng)為5 m.從表格中不難發(fā)現(xiàn)另外兩條邊長(zhǎng)分別為12 m?13 m,因而一個(gè)直角三角形的邊上植樹(shù)為6+13+14-3=30(棵).故四個(gè)直角三角形的邊上共需植樹(shù)30×4=120(棵).

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文