時(shí)學(xué)頂

平方根?算術(shù)平方根是實(shí)數(shù)中兩個(gè)比較重要的概念.因?yàn)樗鼈兊亩x相近,聯(lián)系緊密,所以初學(xué)的同學(xué)很容易混淆.為幫助同學(xué)們區(qū)分這兩個(gè)概念,現(xiàn)將它們的區(qū)別與聯(lián)系總結(jié)如下.

一?區(qū)別

1.概念的區(qū)別

平方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根,也就是說(shuō),如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 例如:32=9,3是9的平方根,(-3)2=9,-3也是9的平方根,即3和-3都是9的平方根.

算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)非負(fù)數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.例如:32=9,正數(shù)3是9的算術(shù)平方根.雖然(-3)2=9,但-3不是9的算術(shù)平方根.

2.書寫方法的區(qū)別

平方根:一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根記做±.例如,3的平方根記做±.

算術(shù)平方根:一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根記做.例如,3的算術(shù)平方根記做.

3.個(gè)數(shù)的區(qū)別

平方根:一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,并且它們互為相反數(shù).例如,25的平方根有兩個(gè),一個(gè)是5,另一個(gè)是-5.

算術(shù)平方根:一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè),且這個(gè)數(shù)是正數(shù).例如,25的算術(shù)平方根只有一個(gè),是5.

注意,0是一個(gè)特殊的數(shù).因?yàn)橹挥?的平方等于0,所以0的平方根和算術(shù)平方根都只有一個(gè),即它本身.

二?聯(lián)系

1.包含關(guān)系

一個(gè)正數(shù)的平方根包含了這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,一個(gè)正數(shù)的正的平方根即是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根.例如,的兩個(gè)平方根是±,其中是的算術(shù)平方根.

2.取值范圍相同

只有非負(fù)數(shù)才有平方根,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根;只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.一個(gè)數(shù)沒(méi)有平方根,它也一定沒(méi)有算術(shù)平方根.

三?常見(jiàn)題型

例1 求下列各數(shù)的平方根.

(1) 144;(2) ; (3) 0;(4) (-4)2.

解析:(1)因?yàn)?±12)2=144,所以144的平方根是±12.

(2)因?yàn)椤?=,所以的平方根是±.

(3)因?yàn)?2=0,所以0的平方根是0.

(4)因?yàn)?-4)2=16=(±4)2,所以(-4)2的平方根是±4.

點(diǎn)撥:解第(4)題時(shí)要慎重.對(duì)于這類有運(yùn)算的題目,不妨先計(jì)算出來(lái)再求平方根.

例2 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1) 256; (2) ; (3) (-0.9)2; (4) .

解析:(1)因?yàn)?±16)2=256,所以256的平方根是±16.取正的平方根,則256的算術(shù)平方根是16.

(2)因?yàn)椤?=,所以的平方根是±.取正的平方根,則的算術(shù)平方根是.

(3)因?yàn)?-0.9)2=0.81,而0.81的平方根是±0.9,取正的平方根,則(-0.9)2的算術(shù)平方根是0.9.

(4)因?yàn)?9,而(±3)2=9,所以的算術(shù)平方根是3.

點(diǎn)撥:解(3)?(4)題要小心,不要想當(dāng)然,要算出結(jié)果后再計(jì)算.

例3 判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由.

(1)4是16的平方根;(2)16的平方根是4.

解析:(1)正確,因42=16,所以4是16的平方根.

(2)不正確,因(±4)2=16,所以16的平方根是±4.

例4 下列說(shuō)法中正確的是().

A. -6是(-6)2的算術(shù)平方根B. 64的平方根是±8

C. 3是-9的算術(shù)平方根 D. 16的算術(shù)平方根是±4

解析:只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根,所以選項(xiàng)C是不對(duì)的;一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,其中正的平方根才叫算術(shù)平方根,所以選項(xiàng)A ?D是不對(duì)的.故應(yīng)選B.

點(diǎn)撥:解答本題的關(guān)鍵,是理解?掌握平方根和算術(shù)平方根的概念與意義.

求下列各式的值.

(1)±; (2);(3)-; (4)-.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文