熊志新

一?選擇題

1. 已知△ABC的三邊長分別為20 cm,50 cm,60 cm,現(xiàn)要利用長度分別為30 cm和60 cm的細(xì)木條各一根,做一個(gè)三角形木架與原三角形相似,要求其中一根為一邊,將另一根截?cái)?允許有余料)作為另兩邊,那么另兩邊的長度分別為().

A. 10 cm,25 cm B. 10 cm,36 cm,或12 cm,36 cm

C. 12 cm,36 cm D.10 cm,25 cm,或12 cm,36 cm

2. 在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)P的直線交AB于點(diǎn)Q,若以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形和以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形相似,則AQ的長為().

A. 3B. 3或 C. 3或 D.

3. 如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC,BD交于點(diǎn)O,若S△ODC =S△OAB,則S△ODC ∶ S△ODA等于().

A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5

4. 中央電視臺《開心辭典》欄目曾有這樣一道題:圓的半徑增加了1倍,那么圓的面積增加了().

A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍

5. 下列說法:① 相似圖形一定是位似圖形;② 位似圖形一定是相似圖形;③ 全等的圖形一定是位似圖形;④ 放幻燈片時(shí),底片上的圖形和銀幕上的圖形是相似圖形.其中正確的說法有().

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

6. 如圖2,梯形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O,有以下四個(gè)結(jié)論:① △AOB∽△COD;② △BOC∽△BAD;③ S△DOC∶S△AOB=DC∶AB;④ S△AOD=S△BOC;⑤ S△AOB∶S△BOC=AO∶OC.其中始終正確的有().

A. ①②③④ B. ①④⑤

C. ③④⑤ D. 全正確

7. 如圖3,把△PQR沿著PQ的方向平移到△P ′Q′R′的位置,它們重疊部分的面積是△PQR的面積的一半,若PQ= ,則此三角形移動的距離PP ′等于().

A. 2 B. 2

C.+1 D.-1

二?填空題

8. 如圖4,在等邊△ABC中,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),且∠APD=60°,BP=1,CD= ,則△ABC的邊長是 .

9. 如圖5,AD是圓內(nèi)接△ABC的高,AE是圓的直徑,AB= ,AC= ,則AE·AD= .

10. 雨后初晴,一學(xué)生在運(yùn)動場上玩耍,他從前面2 m遠(yuǎn)的一小塊積水處看到旗桿頂端的倒影,如果旗桿底端到積水處的距離為40 m,該學(xué)生眼部的高度是1.5 m,那么旗桿的高度是 .

11. 如圖6,DE∥FG∥BC,且DE,FG把△ABC的面積三等分.若BC=12,則FG的長為 .

12. 如圖7,在長為8 cm,寬為6 cm的矩形中,截去一個(gè)矩形(即陰影部分),若留下的矩形與原矩形相似,那么留下的矩

形面積是 .

13. △ABC和△A1B1C1位似,位似中心是點(diǎn)O,且OA=3OA1,又知△A1B1C1∽△A2B2C2,且S△A1B1C1∶S△A2B2C2=1 ∶ 4,則△ABC和△A2B2C2的周長之比為 .

14. 如圖8,四邊形ABCD中,點(diǎn)M在AC上,MQ∥CD,MP∥AB,則 = = .

15. 邊長為2的等邊三角形被平行于一邊的直線分成等面積的兩部分,其中一部分是梯形,這個(gè)梯形的中位線長為 .

三?解答題

16. 已知x∶y∶z=3∶4∶5,求 的值.

17. 如圖9,△ABC中,∠CAB=90°,BC的中垂線DE交BC于E,交CA的延長線于D,交AB于F.求證:AE 2=EF·ED.

18. 在△ABC中,已知DE∥BC,S△ADE ∶ S梯形BDEC =1∶ 4.求AD ∶ BD的值.有兩個(gè)同學(xué)是這樣做的:

小紅:因?yàn)镾△ADE ∶ S梯形BDEC =1 ∶ 4,所以AD∶DB=1∶2.

小蘭:因?yàn)镾△ADE ∶ S梯形BDEC =1 ∶ 4,所以S△ADE ∶ S△ABC=1∶5.

∴AD ∶ AB=1∶25,則AD ∶ DB=1∶24.

你同意他們的解法嗎?若不同意,請寫出你認(rèn)為正確的解題過程.

19. 如圖10,四邊形ABGH,BCFG,CDEF都是正方形,邊長都為1.

(1) 求HD,HC,HB的長.

(2) △HBC與△DBH相似嗎?證明你的結(jié)論.

(3) 求∠HCB+∠HDB的度數(shù).

20. 如圖11,把矩形紙片ABCD對折后展平,得折痕MN,再把B點(diǎn)疊在折痕上得到△ABE,過B點(diǎn)折疊紙片,使D點(diǎn)仍在直線AD上,得折痕PQ.

(1) 求證:△PBE ∽△QAB.

(2) 你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎?如果相似,給出證明;如果不相似,請說明理由.

(3) 如果沿直線EB折疊紙片,點(diǎn)A是否能疊在直線EC上?為什么?

21. 在平面直角坐標(biāo)系中,將下列各點(diǎn)順次連接:A(0,1),B(4,1),C(5,4),D(1,4).

(1) 你得到一個(gè)什么圖形?

(2) 將各點(diǎn)橫?縱坐標(biāo)都乘以2,再順次連接,所得圖形與原圖形有什么關(guān)系?

(3) (1)(2)中兩圖形的周長?面積各有什么關(guān)系?

22. 如圖12,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動,點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動.如果P,Q同時(shí)出發(fā),用t(s)表示移動的時(shí)間(0≤t≤6).

(1) 當(dāng)t為何值時(shí),△QAP為等腰直角三角形?

(2) 求四邊形QAPC的面積,得出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果相關(guān)的結(jié)論.

(3) 當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)Q,A,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

一?1. D 2. B 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D

二?8. 3 9. 310. 30 m 11. 412. 27 cm2 13. 3∶2

14. 15.

三?16. 6 17. 提示:證∠D=∠EAF,進(jìn)而證△AEF ∽△DEA.

18. 不同意他們的解法.正確答案是 = .

19. (1) HD= ,HC= ,HB= . (2) 相似, 證明略. (3) 45°.

20. (1) 略. (2) 提示:相似. = ,BQ=PB, = .

(3) 點(diǎn)A能疊在直線EC上,由(2)可得∠AEB=∠CEB.

21. (1) 四邊形ABCD為平行四邊形. (2) 所得圖形與原圖形相似. (3) 周長是原來的2倍,面積是原來的4倍.

22. 提示:(1) AP=2t cm,QA=(6-t) cm,6-t=2t,得t=2(s).

(2) S△QAC = QA·DC,S△APC = AP·BC.

S四邊形QAPC = S△QAC + S△APC = (36-6t)+6t=36(cm2).

在P,Q兩點(diǎn)移動的過程中,四邊形QAPC的面積始終不變.

(3) 在矩形ABCD中:

① 當(dāng) = 時(shí),△QAP ∽△ABC,此時(shí) = .解得t=1.2(s).

② 當(dāng) = 時(shí),△PAQ ∽△ABC,此時(shí) = .解得t=3(s).

責(zé)任編輯/馮 琦

注:“本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”?