了一個(gè)僅含三角形邊長(zhǎng)和面積的不等式[1]:在?ABC中, 角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c, ?是它的面積,則有不等式①也曾作為1961 年第3 屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(ⅠMO)試題.Weitzenb?ck 不等式是一個(gè)很經(jīng)典的幾何不等式, 百余年來(lái),關(guān)于它的各種證法、加強(qiáng)和推廣的研究一直是初等數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究的熱點(diǎn),本文再給出幾個(gè)新的僅含三角形邊長(zhǎng)和面積的優(yōu)美不等式,并指出這些新的幾何不等式均是Weitzenb?ck 不等式的加強(qiáng).定理1在?AB

面需要2000塊邊長(zhǎng)為15厘米的方磚，實(shí)際鋪時(shí)改用邊長(zhǎng)為20厘米的方磚鋪地，實(shí)際少用了多少塊？思路分析：由邊長(zhǎng)15厘米的方磚改為邊長(zhǎng)20厘米的方磚，磚的大小發(fā)生了變化，但鋪地的總面積沒有變。根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系，可以用比例來(lái)解答。解：設(shè)實(shí)際用了x塊磚。20×20x=15×15×2000400x=450000x=11252000-1125=875（塊）也可用算術(shù)方法解答：2000-2000×15×15÷（20×20）=875（塊）答：實(shí)際少用了875塊。

那么裁出的正方形邊長(zhǎng)最大是多少厘米？一共可以裁出多少個(gè)這樣的正方形？思路點(diǎn)睛：細(xì)讀題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，裁出的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該既是15的因數(shù)，又是9的因數(shù)，也就是15和9的公因數(shù)；又因?yàn)橐?span id="syggg00" class="hl">邊長(zhǎng)最大，所以本題其實(shí)就是求15和9的最大公因數(shù)。15和9的最大公因數(shù)是3，因此裁出的小正方形的邊長(zhǎng)就是3厘米。畫圖分一分，可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)15厘米里有5個(gè)3厘米，即長(zhǎng)邊可以分出5個(gè)，同理寬邊可以分出3個(gè)，把兩個(gè)數(shù)相乘，得到5×3=15，即一共可以裁出15個(gè)這樣的正方形。問題

. 已知e與c的邊長(zhǎng)差? ? ? E. 已知e的面積試題2 中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來(lái)，形成一個(gè)數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)，如圖2，為某班35名學(xué)生參加數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽答對(duì)題目數(shù)量的條形圖. 現(xiàn)條形圖被部分損壞導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不完全，已知最少的答對(duì)了12題，最多的答對(duì)了20題，答對(duì)題目數(shù)量的中位數(shù)是17. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，可以確定的有 .①答對(duì)16題以下的人數(shù)? ? ②答對(duì)16題的人數(shù)? ? ? ③答對(duì)17題以下的人數(shù)④答對(duì)17題的人數(shù)? ?

，可以合并成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，如圖5.由此不需要借助上述例題中冗長(zhǎng)的證明過程，可以直接得到∠B=∠C=60°，即邊長(zhǎng)為3，8與邊長(zhǎng)為5，8的夾角都是60°.即以后碰到三角形的邊長(zhǎng)是3，7，8和5，7，8時(shí)，可拼成一個(gè)大的等邊三角形，高為43，面積分別為63，103，且邊長(zhǎng)為3，8的夾角與邊長(zhǎng)為5，8的夾角均為60°.

的每塊正方形板的邊長(zhǎng)各是多少。可是在下面沒辦法測(cè)量呀，我們就派了幾只勇敢的小螞蟻沿著墻壁爬上去。結(jié)果，好幾只小螞蟻都在半路上跌了下來(lái)，摔得頭破血流。最后，只有一只最靈巧、最有智慧的小螞蟻爬到了中間那個(gè)小正方形上，測(cè)出了邊長(zhǎng)是2厘米。他正要去測(cè)其他正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，手一松，也摔了下來(lái)?！彪m然蟻方朔只是淡淡地說(shuō)著，但蘆果聽得驚心動(dòng)魄。小小的螞蟻們要爬上這垂直的墻壁，然后又從那么高的地方摔下來(lái)，該是多么危險(xiǎn)啊！“這只小螞蟻從最高的地方摔下來(lái)了，沒受傷嗎？”蘆果著急

；穩(wěn)定性；本質(zhì)；邊長(zhǎng)；全等［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）32-0024-03如何理解三角形具有穩(wěn)定性這一性質(zhì)？通過查閱詞典，筆者發(fā)現(xiàn)三角形穩(wěn)定性中的“穩(wěn)定”即“不易發(fā)生形變”的意思，與“松動(dòng)”“易變形”的意思相對(duì)。一、“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)1979年，美國(guó)兩位學(xué)者發(fā)表了題為《圖形的穩(wěn)定性》的數(shù)學(xué)論文，對(duì)具有穩(wěn)定性的幾何圖形做了系統(tǒng)的梳理和詳細(xì)介紹：由一個(gè)頂點(diǎn)O引出兩條邊后能得到一個(gè)幾何角，如果邊可

]線段;三角形;邊長(zhǎng);兩邊之和;操作[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0028-02一次，筆者要上一節(jié)公開課。為了與教學(xué)進(jìn)度同步，筆者選擇了正要上的新課——蘇教版教材第八冊(cè)第三章“三角形”?；叵肫鹨酝虒W(xué)“三角形”，筆者用課件呈現(xiàn)由紅、綠、紫三種顏色的小棒圍成的三角形，從“紅+紫>綠”、“紅+綠>紫”到“綠+紫>紅”，說(shuō)得口干舌燥之后，學(xué)生終于開竅了，他們?cè)诠P者的提示下，連蒙帶猜地說(shuō)出“兩邊的長(zhǎng)

，其中大正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。現(xiàn)在要求拆解這兩個(gè)正方形，用8根木棍正好構(gòu)成3個(gè)面積相等的正方形，你能做到嗎？把大正方形的4條邊兩兩垂直相交，且交點(diǎn)在邊的中點(diǎn)，這樣剛好在中間構(gòu)成1個(gè)正方形。由于大正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，所以新構(gòu)成的正方形的邊長(zhǎng)為大正方形邊長(zhǎng)的一半，即4厘米，剛好是小正方形的邊長(zhǎng)。然后，把小正方形的4條邊分成2條一組，兩兩構(gòu)成一個(gè)直角，置于剛剛構(gòu)成的正方形的左右兩側(cè)，且分別與大正方形的兩條邊相交，如此，就構(gòu)成了3個(gè)面積相

，其中大正方形的邊長(zhǎng)為8 厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為4 厘米?，F(xiàn)在要求拆解這兩個(gè)正方形，用8 根木棍正好構(gòu)成3 個(gè)面積相等的正方形，你能做到嗎？答案解析把大正方形的4 條邊兩兩垂直相交，且交點(diǎn)在邊的中點(diǎn)，這樣剛好在中間構(gòu)成1 個(gè)正方形。由于大正方形的邊長(zhǎng)為8 厘米，所以新構(gòu)成的正方形的邊長(zhǎng)為大正方形邊長(zhǎng)的一半，即4厘米，剛好是小正方形的邊長(zhǎng)。然后，把小正方形的4 條邊分成2 條一組，兩兩構(gòu)成一個(gè)直角，置于剛剛構(gòu)成的正方形的左右兩側(cè)，且分別與大正方形的兩條邊相交

1，2 的正方形邊長(zhǎng)分別為x，y。（1）用含有x，y的代數(shù)式表示這10 個(gè)正方形邊長(zhǎng)；（2）當(dāng)x=5 時(shí)，求此時(shí)完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積?！窘忸}過程】根據(jù)正方形4 條邊長(zhǎng)相等這一幾何性質(zhì)，逐一求各個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。（1）根據(jù)題意：第3 個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x+y；第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+y+y=x+2y；第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+2y+y=x+3y；第6 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（x+3y）+（y-x）=4y；第7 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4y-x；第8 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（4y-x）

注1，2的正方形邊長(zhǎng)分別為x，y。（1）用含有x，y的代數(shù)式表示這10個(gè)正方形邊長(zhǎng);（2）當(dāng)x=5時(shí)，求此時(shí)完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積。【解題過程】根據(jù)正方形4條邊長(zhǎng)相等這一幾何性質(zhì)，逐一求各個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。（1）根據(jù)題意：第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x+y;第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+y+y=x+2y;第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+2y+y=x+3y;第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（x+3y）+（y-x）=4y;第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4y-x;第8個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（4y-x）+[（4y-x

壇，如果把花壇的邊長(zhǎng)加長(zhǎng)3米，花壇的面積就增加39平方米，那么原來(lái)正方形花壇的面積是多少？正方形的面積計(jì)算公式是邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)，需要知道邊長(zhǎng)才能求出它的面積。于是，我絞盡腦汁思考怎么先求出正方形的邊長(zhǎng)。我先嘗試畫了一個(gè)小正方形（空白部分），代表原來(lái)的正方形花壇，然后畫了一個(gè)比它大一點(diǎn)的正方形，代表邊長(zhǎng)增加3米以后的正方形花壇，綠色部分就表示增加后的面積（如圖1），也就是39平方米。小正方形在大正方形的正中間，怎么求小正方形的邊長(zhǎng)呢？邊長(zhǎng)增加3米之后就有了大正方

分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積和半周長(zhǎng)，則文[3]給出一個(gè)加強(qiáng)不等式：設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則文[4]刊出一個(gè)拓展不等式：設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、半周長(zhǎng)，pa=p-a，pb=p-b,pc=p-c，則文[5]進(jìn)一步給出如下加強(qiáng)不等式：≤∑a2-∑(a-b)2定理設(shè)a,b,c,S,r,R,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面

方形的面積等于其邊長(zhǎng)的平方，我們可以把a(bǔ)2、b2、c2理解為三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形的面積。當(dāng)a、b、c分別為3、4、5時(shí)，將這三個(gè)正方形在直角三角形上畫出來(lái)，如圖①所示。圖中的每一個(gè)正方形都被分割成一個(gè)個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形——邊長(zhǎng)為3的正方形被分成了9個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，邊長(zhǎng)為4的正方形則被分成了16個(gè)，而邊長(zhǎng)為5的正方形被分成了25個(gè)。9+16=25，等號(hào)兩邊擁有的邊長(zhǎng)為1的正方形個(gè)數(shù)是相等的。讓我們不禁猜想，是否可以將面積較小的兩個(gè)正方形通過某

圖l中大正方形的邊長(zhǎng)嗎？設(shè)圖1中大正方形的邊長(zhǎng)為x，則X2=2.由算術(shù)平方根的定義得x=√2.因此得到大正方形的邊長(zhǎng)為√2dm.【反思2】同上分析，不難得到上面的兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1dm這里有一個(gè)疑問：能用邊長(zhǎng)不相等的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形嗎？（面積為前兩個(gè)小正方形的面積和）先從邊長(zhǎng)為比較小的兩個(gè)整數(shù)開始試驗(yàn).不妨設(shè)兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為1 dm和2 dm，如圖2.先將兩個(gè)小正方形按照?qǐng)D3所示方式擺放并剪裁，然后按照?qǐng)D4所示方式拼接，得到一個(gè)面積

爾賓斯基三角形（邊長(zhǎng)）”。首先判斷如果邊長(zhǎng)>4就繼續(xù)執(zhí)行，因?yàn)槔碚撋虾竺娴牟襟E2和3可以無(wú)限重復(fù)下去，就代碼而言，必須要保證算法的有窮性，通過設(shè)置邊長(zhǎng)的最小值，程序就可以按需要終止。根據(jù)Scratch畫筆的精度，最小的三角形邊長(zhǎng)大于4時(shí)，圖形效果較好。你可以自行試驗(yàn)最小邊長(zhǎng)為3的效果，最小的三角形成實(shí)心的了。如圖3從左到右，不斷細(xì)分的謝爾賓斯基三角形（如圖3）。2. 重復(fù)執(zhí)行3次，移動(dòng)“邊長(zhǎng)”，左轉(zhuǎn)120度，畫出一個(gè)三角形。3. 為了畫出更小一級(jí)的三角形，

3cm，如果只用邊長(zhǎng)1cm的骰子裝滿整個(gè)盒子，需要的骰子數(shù)是5×3×3=45個(gè)。將邊長(zhǎng)2cm的骰子放入盒子，最多只能放2個(gè)。1個(gè)邊長(zhǎng)2cm的骰子的體積是2×2×2=8cm3，相當(dāng)于8個(gè)邊長(zhǎng)1cm的骰子。所以，按照陳老師的要求，盡可能少放邊長(zhǎng)1cm的骰子，那么一共需要45-（8×2）=29個(gè)邊長(zhǎng)1cm的骰子和2個(gè)邊長(zhǎng)2cm的骰子。

假設(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，那么：（1）邊長(zhǎng)為1的正方形每行6個(gè)，有3行，共6×3=18（個(gè)）；（2）邊長(zhǎng)為2的正方形每行5個(gè)，有2行，共5×2=10（個(gè)）；（3）邊長(zhǎng)為3的正方形每行4個(gè)，有1行，共4×1=4（個(gè)）。一共有18+10+4=32（個(gè)）正方形。數(shù)一數(shù)后，我們還發(fā)現(xiàn)，要想很快地?cái)?shù)出有多少個(gè)正方形，先用橫向的個(gè)數(shù)乘以縱向的個(gè)數(shù)，然后把橫向、縱向的個(gè)數(shù)依次減少1再相乘，一直乘到其中一邊是1為止，再將幾個(gè)積相加?！纠?】下圖中一共有多少個(gè)三角形？【思路

轉(zhuǎn)過程中，三角形邊長(zhǎng)也逐漸變小，直至為0。(一)狗追擊所需時(shí)間1.法一設(shè)經(jīng)過很短的時(shí)間Δt，三角形旋轉(zhuǎn)縮小為A1B1C1，此時(shí)邊長(zhǎng)A1B1長(zhǎng)度為L(zhǎng)1。邊長(zhǎng)AB變?yōu)锳1B1，縮短來(lái)源于A點(diǎn)處狗的貢獻(xiàn)和B點(diǎn)處狗的貢獻(xiàn)。其中，A點(diǎn)處狗的貢獻(xiàn)為vΔt，B點(diǎn)處狗的貢獻(xiàn)為vΔtcos∠B=1/2vΔt。由此得同理，再經(jīng)過Δt，此時(shí)邊長(zhǎng)變?yōu)長(zhǎng)2，有由此類推由此得圖1 三狗追戲問題追擊結(jié)束，三角形邊長(zhǎng)Ln=0，得追擊所用時(shí)間2.法二設(shè)經(jīng)過Δt，三角形旋轉(zhuǎn)縮小為A1B1C1

相 輝題目：用邊長(zhǎng)15厘米的正方形方磚鋪教室的地面，需要3000塊；如果改用邊長(zhǎng)25厘米的正方形方磚鋪地，需要多少塊？解法一：由方磚的邊長(zhǎng)是15厘米，可以求出每塊方磚的面積是15×15=225（平方厘米），則3000塊方磚的面積是225×3000=675000（平方厘米），也就是教室的面積。改用邊長(zhǎng)是25厘米的方磚來(lái)鋪，但教室的面積不變，用教室的面積除以每塊磚的面積，就能求出需要的塊數(shù)。675000÷（25×25）=1080（塊）解法二：因?yàn)榉酱u的面積×

的C 邊比D 邊長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)，不是一個(gè)正方形。與圖A 相比，圖B中除了直角三角形、L 形和一字形的面積沒變，另外兩塊圖形的面積都變了。假設(shè)圖A 中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖A 的邊長(zhǎng)為7，被分割的5 小塊的邊長(zhǎng)如圖所示。圖A圖B假設(shè)圖A 中EF 的長(zhǎng)度為x，因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形是等比例的相似三角形，所以3÷7=x÷2，x=6/7。圖B的C 邊 長(zhǎng) 度 應(yīng) 該 是2+（7-1-6/7）=2+36/7=7+1/7，而不是7。圖B 的面積為7×（7+1/7）=50

形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？”這是三年級(jí)《長(zhǎng)方形和正方形》單元的一道數(shù)學(xué)習(xí)題，旨在讓學(xué)生通過練習(xí)進(jìn)一步了解長(zhǎng)方形和正方形的特征及聯(lián)系。從低年級(jí)整體直觀感知到三年級(jí)深入建構(gòu)長(zhǎng)方形和正方形的特征，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一個(gè)質(zhì)的變化，需要強(qiáng)大的空間觀念作為支撐。事實(shí)上，三年級(jí)學(xué)生的空間觀念有限，遇到這樣的實(shí)際問題往往束手無(wú)策，不知從哪里開始思考。所以，分析練習(xí)時(shí)往往教師講得口干舌燥，學(xué)生還是一頭霧水。等到下次遇到這種類型的習(xí)題，又有一大批學(xué)生舉“白旗”投降，隨便填寫

，圖B的C邊比D邊長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)，不是一個(gè)正方形。與圖A相比，圖B中除了直角三角形、L形和一字形的面積沒變，另外兩塊圖形的面積都變了。假設(shè)圖A中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖A的邊長(zhǎng)為7，被分割的5小塊的邊長(zhǎng)如圖所示。假設(shè)圖A中EF的長(zhǎng)度為x，因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形是等比例的相似三角形，所以3÷7=x÷2，x=6/7。圖B的C邊長(zhǎng)度應(yīng)該是2+（7-1-6/7）=2+36/7=7+1/7，而不是7。圖B的面積為7×（7+1/7）=50，比圖A的面積多1，這多出來(lái)的面積剛

個(gè)最小的三角形的邊長(zhǎng)為1。按邊的長(zhǎng)度來(lái)分類計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)。邊長(zhǎng)為1的三角形，從上到下一層一層地?cái)?shù)，有1+3+5+7=16（個(gè)）；邊長(zhǎng)為2的三角形，注意，這其中還有一個(gè)朝下的三角形，有1+2+3+1=7（個(gè)）；邊長(zhǎng)為3的三角形有1+2=3（個(gè)），邊長(zhǎng)為4的三角形有1個(gè)。所以，這里共有16+7+3+1=27（個(gè)）?！贝蠹衣犕甓钾Q起了大拇指。喜羊羊總結(jié)說(shuō)：“數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一種有趣的圖形問題。由于圖形千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地?cái)?shù)出其中包含的某種圖形

那么每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是多少厘米？一共能剪成多少個(gè)？思路點(diǎn)睛：由“剪成同樣大小的正方形，且不許有剩余”可知，這是要把長(zhǎng)方形進(jìn)行分割，長(zhǎng)方形變小了，所以是求18和12的公因數(shù)。再由“每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是多少厘米”，我們想到這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是18和12的最大公因數(shù)。求得18和12的最大公因數(shù)是6，即每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米。沿著長(zhǎng)邊剪，可以剪18÷6=3（個(gè)）；沿著寬邊剪，可以剪12÷6=2（個(gè)）。一共能剪3×2=6（個(gè)）。如下圖：?jiǎn)栴}2：一種長(zhǎng)方形

很多。本文將以“邊長(zhǎng)回歸分析法”來(lái)檢驗(yàn)已知點(diǎn)間的兼容性。2 原理邊長(zhǎng)回歸分析法，在國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)或地方坐標(biāo)系統(tǒng)下，固定一點(diǎn)進(jìn)行GPS網(wǎng)平差計(jì)算，因?yàn)楣潭ㄒ稽c(diǎn)只進(jìn)行了GPS整網(wǎng)的平移，沒有考慮網(wǎng)間尺度和方位的變化。經(jīng)單點(diǎn)平差后求得其他已知點(diǎn)的平差坐標(biāo)。根據(jù)平差坐標(biāo)反算邊長(zhǎng)Dn與原坐標(biāo)反算邊長(zhǎng)Do進(jìn)行比較。平差邊長(zhǎng)、原邊長(zhǎng)差值VD與原邊長(zhǎng)值Do相除即得邊長(zhǎng)相對(duì)誤差，邊長(zhǎng)相對(duì)誤差若小于《國(guó)家三角測(cè)量規(guī)范》(如表1所示)中對(duì)控制網(wǎng)相應(yīng)起算等級(jí)的邊長(zhǎng)精度的最低要求的1

還要看每塊方磚的邊長(zhǎng)是多少?！毙∝i聽完，馬上拿尺量了量院子里方磚的邊長(zhǎng)，說(shuō)：“我家院子里方磚的邊長(zhǎng)都是4米，院子每條邊有4塊方磚，所以，我家院子的邊長(zhǎng)是4×4＝16（米）?！钡诙?，小猴和小熊又來(lái)到小豬家，小熊憨憨地笑著說(shuō)：“我家院子里方磚的邊長(zhǎng)都是3米，院子每條邊有5塊方磚，所以，我家院子的邊長(zhǎng)是3×5＝15（米）?！毙『锏靡獾卣f(shuō)：“我家院子里方磚的邊長(zhǎng)都是4米，院子每條邊有6塊方磚，所以，我家院子的邊長(zhǎng)是4×6＝24（米）。我家的院子最大?！毙∝i聽完，

的問題：“有一塊邊長(zhǎng)1米的立方體木頭，被割成許多每邊長(zhǎng)1毫米的小立方體。這些小立方體一個(gè)挨一個(gè)地連起來(lái)，可以排多長(zhǎng)？比如說(shuō)，能不能繞你的學(xué)校一圈？”多數(shù)學(xué)生說(shuō)能繞學(xué)校一圈，也有的表示懷疑，繞這么大一圈，得要多少小木塊呀？后來(lái)，他們決定先算一算，計(jì)算結(jié)果使他們目瞪口呆！你知道這些小木塊將從上海一直排到哪里嗎？（答案在本期內(nèi)找）《從上海到哪里》參考答案：將邊長(zhǎng)1 毫米的小立方體接排起來(lái)的長(zhǎng)度，真叫人吃驚！小立方體的數(shù)目有：1000×1000×1000=1 00

看成一個(gè)由64個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形格子組成。這樣我們可得出：邊長(zhǎng)為1的正方形格子有64個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形格子有49個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形格子有36個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形格子有25個(gè)；邊長(zhǎng)為5的正方形格子有16個(gè)；邊長(zhǎng)為6的正方形格子有9個(gè)；邊長(zhǎng)為7的正方形格子有4個(gè)；邊長(zhǎng)為8的正方形格子有1個(gè)；加起來(lái)就是204個(gè)正方形格子。第4期第48頁(yè)《腦筋急轉(zhuǎn)彎》答案：芒果的視力最差。（選自北京聯(lián)合出版公司出版的《100HZ非常腦電波·魔鬼邏輯》）腦筋急轉(zhuǎn)彎：既認(rèn)識(shí)自然又

形，共有幾種不同邊長(zhǎng)的正方形？共有幾種不同的拼法？我是這樣解的。對(duì)于這個(gè)問題，許多小朋友會(huì)陷入到無(wú)序操作的沼澤中難以自拔，即采用隨機(jī)試驗(yàn)、盲目拼湊的方法。盡管大多數(shù)人都能拼出幾種，但由于沒有條理，缺乏方向性，對(duì)于問題最終的要求難以形成有說(shuō)服力的解答。因此，要想沒有遺漏，完整合理，就需要首先估計(jì)正方形邊長(zhǎng)的最大值和最小值，確定它的取值范圍后，再進(jìn)行篩選確定。我們可以先計(jì)算出9根木棍的總長(zhǎng)度是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（厘米）；然后進(jìn)行正方形邊長(zhǎng)

看成一個(gè)由64個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形格子組成。這樣我們可得出：邊長(zhǎng)為1的正方形格子有64個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形格子有49個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形格子有36個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形格子有25個(gè)；邊長(zhǎng)為5的正方形格子有16個(gè)；邊長(zhǎng)為6的正方形格子有9個(gè)；邊長(zhǎng)為7的正方形格子有4個(gè)；邊長(zhǎng)為8的正方形格子有1個(gè)；加起來(lái)就是204個(gè)正方形格子。第4期第48頁(yè)《腦筋急轉(zhuǎn)彎》答案：芒果的視力最差。

分別是△ABC的邊長(zhǎng)與面積，則1937年，F(xiàn)insler和Hadwiger建立了一個(gè)更強(qiáng)的不等式如下：[2]定理2設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長(zhǎng)與面積，則近年來(lái)，對(duì)Weitzenb?ck,Finsler-Hadwiger不等式的研究精彩紛呈，文[4]也總結(jié)了一系列研究成果，其中有：定理3設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則(1)本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行加強(qiáng)，得到：定理4設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊

定基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)；邊長(zhǎng)×2；乘法意義；長(zhǎng)方形面積意義；基礎(chǔ)知識(shí)中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）05-0102新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生思考；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握有效的學(xué)習(xí)方法。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程，除了接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、

的題目是：用4個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的小正方形拼成一個(gè)大正方形，拼成的大正方形周長(zhǎng)是多少厘米？顯然，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了如何計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)，解答這道題對(duì)他們來(lái)說(shuō)有一定的難度。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困難時(shí)，教師將課前準(zhǔn)備好的小正方形紙片分發(fā)給每個(gè)學(xué)生，讓他們通過動(dòng)手操作解答這個(gè)問題。學(xué)生用4個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形不成問題，但當(dāng)教師讓學(xué)生說(shuō)出拼成的大正方形邊長(zhǎng)是多少厘米時(shí)，出現(xiàn)了預(yù)設(shè)之外的情況：有的學(xué)生直接用直尺量出拼成的大正方形邊長(zhǎng)是10厘米。原來(lái)，教師為了讓學(xué)生便于操作

少了4條正方形的邊長(zhǎng)，所以每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12€？=3（cm），進(jìn)而得出原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是？=9（cm），寬是3cm，面積是9€？=27（cm2），周長(zhǎng)是（9+3）€？=24（cm）?！景筒级埂恳?yàn)槿サ襞赃叺囊粋€(gè)正方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就減少了3條正方形的邊長(zhǎng)，所以每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12€？=4（cm）。原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4€？=12（cm），寬是4cm，面積是12€？=48（cm2），周長(zhǎng)是（12+4）€？=32（cm）?！驹\斷】?jī)扇硕煎e(cuò)在去掉旁邊的一個(gè)正方形后，

的題目是：用4個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的小正方形拼成一個(gè)大正方形，拼成的大正方形周長(zhǎng)是多少厘米？顯然，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了如何計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)，解答這道題對(duì)他們來(lái)說(shuō)有一定的難度。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困難時(shí)，教師將課前準(zhǔn)備好的小正方形紙片分發(fā)給每個(gè)學(xué)生，讓他們通過動(dòng)手操作解答這個(gè)問題。學(xué)生用4個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形不成問題，但當(dāng)教師讓學(xué)生說(shuō)出拼成的大正方形邊長(zhǎng)是多少厘米時(shí)，出現(xiàn)了預(yù)設(shè)之外的情況：有的學(xué)生直接用直尺量出拼成的大正方形邊長(zhǎng)是10厘米。原來(lái)，教師為了讓學(xué)生便于操作

徑、內(nèi)切圓直徑、邊長(zhǎng)等不同條件時(shí)的正五邊形的繪制方法。關(guān)鍵詞：正五邊形；內(nèi)切圓；外接圓；邊長(zhǎng)由于正五邊形具有一定的實(shí)用性和趣味性，在高等職業(yè)教育中，常把正五邊形的繪制作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的幾何圖形繪制能力和綜合制作能力。綜觀各種教材及實(shí)際生產(chǎn)中關(guān)于正五邊形的繪制，可分為下述三種方法：1 已知正五邊形外接圓直徑來(lái)繪制正五邊形已知正五邊形的外接圓直徑，來(lái)繪制五邊形，實(shí)質(zhì)上就是要根據(jù)作圖法來(lái)求出該正五邊形的邊長(zhǎng)，求出邊長(zhǎng)后，在已知外接圓周上按該邊長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行

1的平方可以表示邊長(zhǎng)為11的正方形的面積，那么5個(gè)不同的乘法算式不就表示5個(gè)不同的長(zhǎng)方形面積嘛！這樣一想，這道趣題就可表示為：把5個(gè)長(zhǎng)方形拼成邊長(zhǎng)為11的正方形。想到這兒，丁丁又拿出紙筆動(dòng)手作起圖來(lái)，嘿，沒想到還真能作出如圖1所示的正方形圖形來(lái)！這還真應(yīng)了我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)的：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家事萬(wàn)休?！弊魍甏藞D，雖然這個(gè)問題不是很難，但丁丁心里還是挺高興的，畢竟這樣的數(shù)形結(jié)合的例子很少。一不做二不休，根據(jù)這個(gè)例

提出了如下三角形邊長(zhǎng)和面積的一個(gè)優(yōu)美不等式：?jiǎn)栴}1設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式此題曾經(jīng)作為1961年國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.圍繞不等式(1)有許多有趣的加強(qiáng)和拓廣.我們知道，早就有加強(qiáng)(1)的Tsintsifas不等式[1]：?jiǎn)栴}2設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式問題3設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式在文獻(xiàn)[2]中，作者將不等式(2)變形為：?jiǎn)栴}4設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，其半周長(zhǎng)和面積

網(wǎng)平差計(jì)算中觀測(cè)邊長(zhǎng)“權(quán)”的確定張玉呆在邊角同測(cè)網(wǎng)中，觀測(cè)值既有角度又有邊長(zhǎng)，由于角度和邊長(zhǎng)兩者量綱不同，觀測(cè)精度不等，傳統(tǒng)邊長(zhǎng)觀測(cè)值定“權(quán)”方法使邊角“權(quán)”的確定存在一定問題。我們可以把邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差換算成與測(cè)角中誤差對(duì)應(yīng)的角量誤差，則邊長(zhǎng)觀測(cè)值的權(quán)為測(cè)角中誤差的平方與邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差對(duì)應(yīng)的角量誤差平方之比。按此法定權(quán)可避免邊長(zhǎng)觀測(cè)值“權(quán)”確定的隨意性，使觀測(cè)角與觀測(cè)邊觀測(cè)值之間“權(quán)”比合理。邊角網(wǎng)；權(quán)；中誤差；相對(duì)中誤差；等量角量誤差1 問題的提出隨著測(cè)

個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,求第三邊長(zhǎng)的平方.錯(cuò)解: 因?yàn)閮?span id="syggg00" class="hl">邊長(zhǎng)分別為3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三邊的長(zhǎng)為5,所以第三邊長(zhǎng)的平方為25.剖析: 題目中并沒有指出3和4是直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng).造成錯(cuò)誤的原因是思維定勢(shì),受“勾三股四弦五”的影響而忽視了分情況討論.正解:應(yīng)分兩種情況:(1)若已知的兩邊長(zhǎng)是直角邊長(zhǎng),則第三邊是斜邊.根據(jù)勾股定理,得斜邊長(zhǎng)為= 5,所以第三邊長(zhǎng)的平方為25.(2)若已知的兩邊長(zhǎng)是一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng),則較大

中間的小正方形的邊長(zhǎng)為1，試求長(zhǎng)方形的面積.解析：給六個(gè)正方形分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6.設(shè)正方形2的邊長(zhǎng)為x，則正方形3的邊長(zhǎng)也為x，正方形4的邊長(zhǎng)為（x+1），正方形5的邊長(zhǎng)為（x+2），正方形6的邊長(zhǎng)為（x+3）.根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，可得方程:x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3）.解得x=4.從而得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x+1=13，寬為2x+3=11.所以長(zhǎng)方形的面積為13×11=143.例2圖2是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小

先估計(jì)一下正方形邊長(zhǎng)的最大值和最小值，確定它的取值范圍。先計(jì)算出9根木棍的總長(zhǎng)度：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（厘米）。因?yàn)椋?1×4＜45＜12×4，所以組成的正方形邊長(zhǎng)最大不能超過11厘米。其次，因?yàn)楦鞲竟鞯拈L(zhǎng)度不相等，所以正方形四條相等的邊中，至少有三條邊是由兩根或更多根木棍連成的，由此可知，至少要取出7根木棍，因而其中至少有一根木棍的長(zhǎng)度大于或等于7厘米。因此，所組成的正方形的邊長(zhǎng)取值范圍是從7厘米到11厘米。在這個(gè)范圍內(nèi)可拼出全部可