朱　哲

1 問題的提出

ス垂啥ɡ碓詡負衛(wèi)錁哂蟹淺Ｖ匾的地位，是解三角形的重要基礎，也是整個平面幾何的重要基礎，其在現(xiàn)實生活中也具有普遍的應用性. 在數(shù)學教科書中，勾股定理一般出現(xiàn)在八年級，而八年級被認為是學生學習數(shù)學的一個重要發(fā)展階段，也即具體思維向形式化思維轉變的時期. 所以可以說，勾股定理教學也處于學生數(shù)學思維轉折階段. 但另一方面，勾股定理的教學卻始終是一個難點. 雖然勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，但是讓學生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學生體驗知識發(fā)現(xiàn)過程的角度講，要想讓學生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難.^[1]所以有人說，看一個國家的數(shù)學教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.

ザ雜詮垂啥ɡ淼慕萄В黃榮金博士從上海和香港所做的19個勾股定理教學的現(xiàn)場實錄，以及由第三次國際數(shù)學和科學重復錄象研究項目提供的12個勾股定理教學錄象（包括實錄文稿）中，選取澳大利亞、捷克、中國香港和上海四地勾股定理的課堂教學進行研究，其研究表明澳大利亞是把勾股定理作為一個事實（已知）告訴學生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實上只是通過演示手段，讓學生直觀地確認所發(fā)現(xiàn)的關系. 文^[2]表明滬港兩地教師在教學中對勾股定理證明的處理有許多不同之處：香港課堂主要通過直觀或具體的活動來確認定理的真實性，而上海教師至少介紹一種數(shù)學證明，而且四分之三多的教師介紹 2 種以上方法；上海教師比香港教師更加緊扣教科書，而香港教師使用的教科書可以是不同的；香港教師總是將探索問題的過程或證明的步驟程序化.

ソ淌νǔＲ讕萁炭剖槔唇行教學，教科書的不同很有可能影響到教師的教學. 由此，本文從微觀層面來考察滬港兩地數(shù)學教科書“勾股定理”部分的編寫. 上海的教科書，我們選取華東師范大學出版社《數(shù)學》（事實上，此套教材在內地被廣泛使用），而香港教科書我們選取玂xford University Press的《Exploring Mathematics》^[3].

2 《數(shù)學》和《獷xploring Mathematics》中的“勾股定理”

オ《數(shù)學》第十四章為《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的應用》，其中14.1由《直角三角形三邊的關系》和《直角三角形的判定》兩小節(jié)組成. 《Exploring Mathematics（2^ndEdition）2B》第10章為《勾股定理（Pythagoras Theorem）》，該章有三節(jié)為勾股定理的內容：10.2《勾股定理(Pythagoras Theorem)》，由《直角三角形三邊的關系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介紹勾股定理（Introduction to Pythagoras Theorem）》和《數(shù)學的美妙：勾股定理的證明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras Theorem）》三小節(jié)組成；10.3《勾股定理的應用（Applications of Pythagoras Theorem）》，由《簡單平面圖形的應用（Applications to Simple Plane Figures）》和《現(xiàn)實生活應用（Real Life Applications）》兩小節(jié)組成；10.4《勾股定理的逆定理及應用（Converse of Pythagoras Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分別為平方根和無理數(shù). ）

ケ疚拇庸垂啥ɡ淼姆⑾幀⒐垂啥ɡ淼鬧っ鰲⒐垂啥ɡ淼哪娑ɡ硨凸垂啥ɡ淼撓τ盟母齜矯娑粵街紙?zhí)科书叫薪榻B，而這里的介紹涉及對兩種教科書的簡單比較.

2.1 勾股定理的發(fā)現(xiàn)

ァ妒學》通過三個活動引導學生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 第48頁安排了“試一試”：

ゲ飭磕愕牧嬌櫓苯僑角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.

ケ收呷銜，這個活動設計得并不十分合理. 因為一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù). 讓學生由三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已經(jīng)不是十分容易的事（比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到3²+4²=5²；也有學生由3²=4+5和5²=12+13猜想a²=b+c），更何況來猜想三個非整數(shù)之間的平方關系. 第49頁安排了“試一試”，通過數(shù)或計算三個正方形的面積來尋找直角三角形三邊長度之間的關系. 這個活動比前面那個活動目標明確、步驟清晰、難度降低，學生容易找到要求的關系. 第50頁又安排了“做一做”. 由這三個活動概括出勾股定理.

ァ丟獷xploring Mathematics》的處理方式似乎與《數(shù)學》有些類似，事實上又有很大的區(qū)別. 教科書安排了兩個“班級探險（獵lass Exploration）”，第一個活動是出示一個直角三角形，要學生測量三邊的長度，然后計算三邊的平方，再思考a²+b²與c²的關系. 第二個活動是讓學生填表格，已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，8和6，15和8，畫出圖形，測量斜邊，計算a²、b²和c²，再確定a²、b²和c²之間的關系. 很顯然，這兩個活動的目標很明確，而且臺階已經(jīng)鋪好，學生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.

プ苤，兩種教科書都通過若干個活動引導學生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 從難度上講，《獷xploring Mathematics》比《數(shù)學》要小，因為已經(jīng)把“探索問題的過程或證明的步驟程序化”.

2.2 勾股定理的證明

ァ妒學》在勾股定理的證明這一環(huán)節(jié)安排了“試一試”：將四個完全相同的直角三角形拼成一個正方形，然后計算邊長為c的正方形面積，通過運算得到勾股定理，這是一種代數(shù)方法. 拼法有兩種，第一種拼法（圖1）有運算c²=(a+b)²-4×1/2ab=a²+b²，第二種拼法（圖2）有運算c²=(a-b) ²+4×1/2ab=a²+b². 這里的圖2是歷史上趙爽“弦圖”的簡圖，教科書隨后在“讀一讀”中對其做了簡單介紹.

此外，第54頁習題14.1的第1題其實是勾股定理的總統(tǒng)證法，第58頁的“讀一讀”其實是勾股定理的“風車證法”，而本章的最后安排“課題學習”：勾股定理的“無字證明”. 可以說，《數(shù)學》對勾股定理的證明非常重視，通過不同的活動形式展現(xiàn)給學生；而且更多地，不是直接告訴學生方法，而是引導學生自己去探索，去查找資料主動獲取證明方法.

《Exploring Mathematics》在《數(shù)學的美妙：勾股定理的證明》這一小節(jié)中，給出兩種“簡單而優(yōu)雅的證明（two simple and elegant proofs）”. 證明1通過四個直角三角形拼成正方形的兩種不同擺放形式（圖3），從直觀上驗證定理（沒有代數(shù)運算），這是一種幾何方法. 證明2與《數(shù)學》“試一試”中的第二種方法一致，通過代數(shù)運算來證明；而且教科書在證明2旁邊也放了一則“歷史注解（Historical Note）”簡單介紹趙爽的弦圖及其證明方法. 不過除了這兩種證明方法，教科書中沒有再出現(xiàn)其他的方法.

總之，兩種教科書對勾股定理證明的處理有一致也有區(qū)別之處. 《數(shù)學》“試一試”中的兩種方法都是代數(shù)方法，而《獷xploring Mathematics》采用一種幾何方法和一種代數(shù)方法. 而且，兩書的第二種方法都與趙爽的弦圖有關，都配有簡要的數(shù)學史知識. 此外，與《獷xploring Mathematics》不同，《數(shù)學》還涉及其他證明方法，其中第58頁“做一做”中的“風車證法”也是一種幾何方法.

2.3 勾股定理的逆定理

ザ怨垂啥ɡ淼哪娑ɡ?！稊?shù)學》用古埃及人畫直角的方法來引入；而《Exploring Mathematics》則開門見山，提出問題：交換勾股定理的條件與結論，“如果a²+b²=c²，那么∠C=90°”，這個結論成立嗎？然后學生探索，驗證，得到結論. 《獷xploring Mathematics》也用“歷史注解”的形式簡單介紹了古埃及人畫直角的方法.

2.4 勾股定理的應用

ザ雜詼ɡ淼撓τ茫兩種教科書都給出了一定數(shù)量的例題和習題. 我們來看兩書中的典型題目. 《數(shù)學》14.2《勾股定理的應用》例1：

ト繽14.2.1（圖略），一圓柱體的底面周長為20玞m，高AB為4玞m，BC是上底面的直徑. 一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程.

ケ冉嫌幸饉嫉氖牽這一題目我們可以在內地其他版本的教科書中看到. 比如，人民教育出版社《數(shù)學》第十八章《勾股定理》復習題的第8題就是類似一題；北京師范大學出版社《數(shù)學》八上第一章《勾股定理》第3節(jié)就以“螞蟻怎樣走最近”為標題，研究這個“螞蟻問題”. 為什么這些教科書都采用這一題目，它有什么深刻背景嗎？事實上，它是由一道歷史名題改編而來的，原題為：

如圖4，在一個長、寬、高分別為30、12、12英尺的長方體房間里，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的A處，蒼蠅則在對面墻的中間離地面1英尺的B處，蒼蠅是如此地害怕，以至于無法動彈. 試問，蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？（提示：它少于42英尺）

フ庖弧爸┲胗氬雜”問題最早出現(xiàn)在1903年的英國報紙上，它是獺.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的謎題之一. 杜登尼是19世紀英國著名的謎題創(chuàng)作者，他創(chuàng)作的這一問題對全世界難題愛好者的挑戰(zhàn)，長達四分之三個世紀.^[4]這就不難明白，教科書為什么對這“螞蟻問題”偏愛有加了.

コ例1外，《數(shù)學》還安排3個例題. 在例2下面有一“做一做”，其實是證明勾股定理的“風車證法”，與上下文似乎沒有太大的聯(lián)系，放在這一節(jié)里并不合理.

ァ丟獷xploring Mathematics》中例題和習題給人的第一感覺是，離學生的生活很近. 比如《現(xiàn)實生活應用》這一小節(jié)一開始安排了“班級探險”：

ゼ偕枰凰倚〈離開大嶼山的梅窩碼頭，航行2.8公里達到喜靈洲碼頭. 然后左轉90度并航行3.1公里到達坪洲碼頭. 尋找一種可以獲知梅窩碼頭到坪洲碼頭的直線距離的方法.

ゴ笥焐絞竅愀鄣囊桓齙海ǖ纖鼓嶗衷熬徒ㄔ謖飧齙荷希，喜靈洲和坪洲是大嶼山附近的兩個小島，它們都是香港學生熟悉的. 所以這一題設計得非常好，它取材于學生的現(xiàn)實生活，給人一種“身邊的數(shù)學”的感覺，富有生活氣息. 把現(xiàn)實中的問題轉化為數(shù)學問題，讓學生通過數(shù)學化和數(shù)學地思維去解決問題. 解決了這一問題，又能讓學生感覺到數(shù)學不僅是有趣的而且還是有用的.

ピ儔熱紓同一小節(jié)的例7，大意是說玃atrick從學校到公交車站要穿過一個長124米寬93米的足球場，那么他走最短路線要走多遠. 其后練習10獵的14題又把場景放到一個籃球場，獶avid沿邊跳，獼ohn沿對角線跳，然后問他們跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及應用》中的例9關注兩位學生的家與學校的距離，這樣的情境讓學生感覺到很親切. 相比而言，《數(shù)學》第58頁的例2，卡車通過工廠的大門，這樣的問題情境就不是十分貼近學生的生活.

プ苤，《數(shù)學》取材于歷史數(shù)學名題，《獷xploring Mathematics》在問題情境的設計上下足工夫，兩書各具特色. 此外，從習題數(shù)量上看，《獷xploring Mathematics》明顯要比《數(shù)學》多，而且每一個例題都標明它屬于水平1還是水平2，其后的習題也按水平1和水平2分開編排；《數(shù)學》除章末的復習題按難度和水平分成A、B、C三組，其他的例題、練習和習題沒有標注其對應的水平.

3 兩種教科書引發(fā)的思考

ネü對《數(shù)學》和《獷xploring Mathematics》在“勾股定理”內容的考察、比較和分析，也引起了我們對一些問題的思考.

3.1 弱化對定理的發(fā)現(xiàn)

ザ雜詼ɡ淼姆⑾鄭筆者認為可以做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力. 引導學生探究而發(fā)現(xiàn)勾股定理，處理不當，容易導致學生盲目的探究. 在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a²+b²=c²，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生. 如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現(xiàn)在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數(shù)學史料上，借此拓寬學生的視野. 第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的工作：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協(xié)助，幫助學生完成在現(xiàn)有能力下對高認知學習任務的難度的跨越. 這樣的處理也具有一定的可行性. 不過，筆者更傾向于第一條途徑，弱化發(fā)現(xiàn)，而強化證明、重視應用，把重點放到其后定理的證明和應用上，這樣處理也許對學生的思維更有利.

3.2 呈現(xiàn)多種證明方法

ノ頤強吹健丟獷xploring Mathematics》只介紹了兩種證明方法，而且第一種更多的是借助直觀的幾何驗證；而《數(shù)學》則涉及到好幾種證明方法. 這也可以從某種程度上解釋前文所提及的兩地課堂教學上的差別. 筆者認為，對于定理的發(fā)現(xiàn)，我們可以做弱化處理，而證明則應該強化. 一方面，勾股定理的證明可以訓練學生精致的數(shù)學思維；另一方面，勾股定理的證明方法是體現(xiàn)多元文化數(shù)學的極好題材. 正如前文所述，勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯(lián)系在一起. 我們認為數(shù)學教科書中呈現(xiàn)多元文化數(shù)學的內容是數(shù)學教科書編寫的發(fā)展方向. 通過對不同時期、不同地域數(shù)學成果及其思想方法的比較，可以使學生明白，數(shù)學并不只屬于某個民族、某種文化. 數(shù)學教科書和數(shù)學教學引導學生尊重、分享、欣賞、理解其他文化下的數(shù)學，借此拓寬學生的視野，加深對數(shù)學知識的理解，培養(yǎng)開放的心靈. 那么，在《勾股定理》中，教科書應以適當?shù)姆绞匠尸F(xiàn)若干種經(jīng)典證法. 比如歐幾里得《原本》的證明方法就很值得向學生介紹，與趙爽的方法做一對比，學生能體會到古希臘人對理性的追求；對相關背景做介紹，學生意識到不同的文明產生了不同的數(shù)學. 歐幾里得方法可能對學生而言比較難，不是那么容易理解，教師可以做適當?shù)奶幚?，比如借助計算機做動態(tài)演示，一般學生還是可以接受的.

3.3 問題情境的設計應貼近學生的生活

チ街紙?zhí)科书哆hɡ淼撓τ枚擠淺Ｖ厥. 學習了勾股定理，學生必須會用這個定理，否則學習它就沒有多大意義了. 教科書都安排了不少例題和習題. 在筆者看來，《獷xploring Mathematics》的最大特色就在于問題情境的創(chuàng)設上. 數(shù)學問題本身就來自于生活，數(shù)學方法應應用于現(xiàn)實生活. 數(shù)學并不遠離學生的現(xiàn)實世界，相反，它就在我們身邊. 《獷xploring Mathematics》中的例題和習題，就取材于學生周圍的世界，學校、自己家的房子、球場、公交車站、居住的島嶼，這些都是學生熟悉的場景. 這些熟悉的場景放進數(shù)學題里，學生就有一種親切感. “學數(shù)學”不僅是“做數(shù)學”，而且還是“玩數(shù)學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學問題，而這個過程是充滿樂趣的. 教科書中的數(shù)學問題不能單純圍繞數(shù)學而編寫、杜撰. 比如說，我們在內地某教科書中看到這樣一個問題：

デ看蟮奶ǚ縭溝靡桓旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高？

フ飧鑫侍饃杓撇⒉豢蒲?、簜b恚因為橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量（唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是來自于一個現(xiàn)實生活的問題，實則是很典型的“為數(shù)學而問題”. 從數(shù)學角度講，它也許是嚴謹?shù)?、完美的，但它卻遠離了學生的現(xiàn)實生活. 香港教科書在問題情境創(chuàng)設上對我們很具啟發(fā)和借鑒意義.

參考文獻

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