單麗娟

數(shù)學就在你的身邊,數(shù)學與日常生活?自然?社會有著密切的聯(lián)系.二次函數(shù)應用題備受中考命題者的青睞.現(xiàn)舉幾例,供同學們參考.

一?圖表信息題

例1 在2008年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕,某果品批發(fā)公司為指導今年的櫻桃銷售,對往年市場銷售情況進行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

(1) 在直角坐標系內(nèi),作出各組有序數(shù)對(x,y)所對應的點.連接各點并觀察所得的圖形,判斷y與x之間的函數(shù)關系,并求出y與x之間的函數(shù)關系式.

(2) 若櫻桃進價為每千克13元,試求銷售利潤P(元)與銷售價x(元/千克)之間的函數(shù)關系式,并求出當x取何值時,P的值最大.

解:(1) 從表中提取四個點:(22,3 500),(23,3 000),(24,2 500),(25,2 000),描點后連線,如圖1.由圖象可知,y是x的一次函數(shù).

設解析式為y=kx+b,將點(25,2 000),(24,2 500)代入.

可得2 000=25k+b,2 500=24k+b.解得k=-500,b=14 500.

∴y=-500x+14 500.

(2) P =(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)

=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.

∴P與x的函數(shù)關系式為P=-500x2+21 000x-188 500.

當銷售價為每千克21元時,能獲得最大利潤.

二?方案設計問題

例2 農(nóng)民張大伯為了致富奔小康,大力發(fā)展家庭養(yǎng)殖業(yè).他準備用40 m長的木欄圍一個矩形的羊圈,為了節(jié)約材料,同時要使矩形的面積最大,他利用了自家房屋一面長25 m的墻,設計了如圖2一個矩形的羊圈.

(1) 請你求出張大伯矩形羊圈的面積.

(2) 請你判斷他的設計方案是否合理.如果合理,直接答合理;如果不合理,又該如何設計?并說明理由.

解:(1) 40-25=15,故矩形的寬為7.5 m,S矩形 =7.5×25=187.5(m2).

(2) 設利用x m的墻作為矩形羊圈的長,則寬為m.

設矩形的面積為y m2,則y=x? =- x2+20x.

當x=20時,y=- ×202+20×20=200(m2).

因200>187.5,故張大伯的設計不合理.應設計為長20 m,寬10 m,利用20 m墻的矩形羊圈.

三?說理問題

例3 甲車在彎路進行剎車試驗,收集到的數(shù)據(jù)如下表所示:

(1) 請用上表中的各對數(shù)據(jù)(x,y)作為點的坐標,畫出甲車剎車距離y(m)與速度x(km/h)的函數(shù)圖象,并求函數(shù)的解析式.

(2) 在一個限速為40 km/h的彎路上,甲?乙兩車相向而行,同時剎車,但還是相撞了.事后測得甲?乙兩車的剎車距離分別為12 m和10.5 m.又知乙車的剎車距離y(m)與速度x(km/h)滿足函數(shù)y= x,請你就兩車的速度方面分析相撞的原因.

解:(1) 設函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

由圖象經(jīng)過點(0,0),(10,2),(20,6),可知c=0.

∴2=100a+10b+0,6=400a+20b+0. 解得 a= ,b= .

∴函數(shù)的解析式為y= x2+ x.

畫圖如圖3(只畫出一部分).

(2) 因y甲=12,由 x2+ x=12,解得x1=30,x2=-40(舍去).

因y乙=10.5,故 x=10.5,解得x=42.

乙車剎車時速度為42 km/h,大于40 km/h;甲車開始剎車的速度為30 km/h,不超速.所以事故是乙車超速所致.

四?體育運動問題

例4 某同學推鉛球時,鉛球行進的路線是拋物線的一段.已知鉛球出手時距離地面的高度是1.4 m,鉛球水平前進1.5 m后到達最高點,此時距離地面2 m.問鉛球從出手到落地行進的水平距離是多少米.

解:如圖4,鉛球行進的路線是拋物線的一部分,其中A為鉛球出手時的位置,B為鉛球行進中的最高點,C為鉛球落地時的位置.以地面為x軸?過點A垂直于x軸的直線為y軸建立直角坐標系,則拋物線經(jīng)過點A(0,1.4),頂點B為(1.5,2).可設其解析式為y=a(x-1.5)2+2.

把x=0,y=1.4代入,可得a=- .

故y=- (x-1.5)2+2.由y=0,得x=1.5± .

所以OC=1.5+ ≈4.2(m).

因此,鉛球從出手到落地水平前進約4.2 m.

五?經(jīng)濟預算問題

例5 圖5表示近5年來某市的財政收入情況.圖中x軸上1,2,…,5依次表示第1年?第2年?…?第5年,即2003年?2004年?…?2007年,可以看出,圖中的折線近似于拋物線的一部分.

(1) 請你求出過A,C,D三點的二次函數(shù)的解析式.

(2) 分別求出當x=2和x=5時,(1)中的二次函數(shù)的函數(shù)值,并分別與B,E兩點的縱坐標相比較.

(3) 利用(1)中二次函數(shù)的解析式預測2008年該市的財政收入.

解:(1) 所求的函數(shù)解析式為y=0.2x2-0.2x+2.6.

(2) 當x=2時,y=3,所求函數(shù)值與B點縱坐標的差為0(億元).

當x=5時,y=6.6,所求函數(shù)值與E點縱坐標的誤差為0.3(億元).

(3) 把x=6代入解析式,得y=8.6.預計今年的財政收入為8.6億元.

責任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”?