約翰.艾倫.保羅斯

在目前世界上的大多數(shù)國(guó)家中,政府執(zhí)政的官員大部分是以投票方式產(chǎn)生的,如何讓每一張選票發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值,做到讓選舉制度公平與合理是一個(gè)難題. 而在解決這個(gè)難題中,一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想就發(fā)揮了很大的作用,這就是班杰夫權(quán)力指數(shù). 它由班杰夫·F·約翰律師在1965年提出,并以他的名字命名.

在給出班杰夫權(quán)力指數(shù)的定義前,我們?cè)賮?lái)討論一個(gè)例子.

如果一家小公司有3個(gè)股東,假定這3個(gè)股東分別擁有公司47%,44%和9%的股份. 若想通過(guò)任何一項(xiàng)議案,則需要達(dá)到簡(jiǎn)單多數(shù)即51%股份所有者的同意. 很明顯,雖然里面有一個(gè)股東擁有的股份是那么的不起眼,只有9%,但是所有的3個(gè)股東擁有的權(quán)力是同等的. 那是因?yàn)?人中的任意2人聯(lián)合起來(lái)都可以通過(guò)一項(xiàng)提議.

而如果是一家有4位股東的企業(yè),各位股東分別擁有27%、26%、25%和22%的股份. 要通過(guò)一項(xiàng)議案,需要簡(jiǎn)單多數(shù)的股份同意. 在前3位股東中,任何兩位聯(lián)合都可以通過(guò)一項(xiàng)措施,而最后一位股東的投票對(duì)任何結(jié)果都不重要(最后一位股東的22%加到前3位股東中的任何一位上,都不足51%,而前3位的任何聯(lián)盟也都不再需要最后一位22%的支持). 這種時(shí)候,我們把最后一位股東稱作“傀儡”. 這個(gè)詞兒恰當(dāng)?shù)匦稳萘思炔荒軒椭》揭矡o(wú)法阻止勝利方的投票方. 傀儡沒(méi)有任何權(quán)力,其他3人擁有同等的權(quán)力.

從政治上來(lái)說(shuō),一個(gè)群體、黨派或個(gè)人的班杰夫權(quán)力指數(shù)定義為:群體、黨派或個(gè)人使失敗聯(lián)盟變成勝利聯(lián)盟或使勝利聯(lián)盟變成失敗聯(lián)盟的途徑數(shù). 在上面,我只討論了那些擁有權(quán)力的團(tuán)體分享同等權(quán)利的情形,但是實(shí)際上還有更多更復(fù)雜的情形.

比如一家公司,甲、乙、丙和丁——他們分別掌握著40%、35%、15%和10%的選票. 我們?cè)囍匆欢ǖ姆椒?列出所有可能出現(xiàn)的投票情形(比如說(shuō)甲、丙、丁贊同,乙反對(duì);乙和丁贊同,甲和丙反對(duì);等等). 我們會(huì)發(fā)現(xiàn),其中共有10種情況下,甲的表決是決定性的,共有6種情況乙是決定性的,6種情況丙是關(guān)鍵的,而只有2種情況中丁的表決才是決定性的. 這時(shí)我們說(shuō)這些人擁有的權(quán)力指數(shù)分別為10、6、6、2. 這個(gè)指數(shù)表明,甲擁有的權(quán)力是丁的5倍之多,同時(shí)乙和丙擁有的權(quán)力同等,并且都是丁的3倍. 在這個(gè)例子中沒(méi)有出現(xiàn)傀儡.

還有很多種方案可以保證用班杰夫權(quán)力指數(shù)衡量的群體權(quán)力,能更準(zhǔn)確地反映它擁有選票的百分比. 例如,在紐約州的多個(gè)郡,投票系統(tǒng)都會(huì)根據(jù)對(duì)應(yīng)的人口數(shù)量,對(duì)選票進(jìn)行相應(yīng)的加權(quán),使選票能夠行使相應(yīng)的權(quán)力,從技術(shù)上避免有代表成為傀儡的可能.

在選舉的初期,在這種情況下,每一位選民都可以選擇或贊成很多自己看好的候選人. 這時(shí)“一人投一票”的原則就變成了“給每個(gè)候選人都投一票”,而此時(shí)獲得最多贊成票的候選人就是贏家. 這就保證不會(huì)出現(xiàn)以下情況:兩個(gè)自由候選人平分了自由人士的投票,而保守派的一位候選人得到所有選票的40%從而獲勝.