蘭立力

(新疆農(nóng)一師塔里木高級中學(xué)843300)

抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號表示的函數(shù)叫抽象函數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，也是各種考試的熱點問題之一。研究抽象函數(shù)問題的解法，對教師的教學(xué)，學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容尤為重要。

1.賦值法

抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得直接求解析式比較難。解決這類函數(shù)可以通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)倪\算和推理加以解決。下面舉例加以說明。

例1若玣(x+y)=f(x)+f(y)對于任意實數(shù)玿，y均成立，且玣(x)不恒為0，請判斷函數(shù)玣(x)的奇偶性。

解：令玿=y=0則有玣(0)=f(0)+f(0)，故有玣(0)=0

令珁=-x，則有玣(0)=f(x)=f(-x)，故有玣(-x)=-f(x)，又因為玣(x)不恒為0，所以函數(shù)玣(x)是奇函數(shù)。

所以函數(shù)玣(x)是減函數(shù)。

例2函數(shù)玣(x)(x∈R)，對任何實數(shù)玜、b恒有玣(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ，且存在常數(shù)玞>0 ，使玣(c2）=0，求證：玣(x)為周期函數(shù)。

證明：令玜=x+c2，b=c2

則玣(a+b)+f(a-b)=f(x+c)+f(x)=2f(x+c2)?f( c2)＝0

即 玣(x+c)=-f(x)

又玣(x+2c)=f［(x+c)+c］=-f(x+c)=f(x)

所以函數(shù)玣(x) 是周期函數(shù)，最小正周期為2c。

例3設(shè)x≠0，函數(shù)玣(x)滿足2f(x)+f(1x)=10瑇，求函數(shù)玣(x)的解析式。

解：由題意知2f(x)+f(1x)=10瑇

用x換1x代入上式得：2f (1x)+f(x)=101x

則①×2－②得：3f(x)=2 ?10瑇-101x

所以玣(x)=23 ?10瑇-13?101x

2.化歸法

所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。如玣(x)=kx(k≠0)有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

可抽象為f(x+y)=f(x)+f(y)。那么珁=kx就叫做抽象函數(shù)玣(x)滿足玣(x+y)=f(x)+f(y)的“原型”（函數(shù)）。

下面給出中學(xué)階段常用的“原型”（函數(shù)）并舉例說明“原型”解法。

2.1中學(xué)階段常用抽象函數(shù)的“原型”（函數(shù)）

1、………… y=kx(k 為常數(shù))

2、f(x+y)=f(x)+f(y)…………y =ax(a ＞0且a ≠1)

3、f(xy)=f(x)+f(y)…………y =loga x( a＞0且 a≠1)

4、f(xy)=f(x)f(y)…………y =xn( n為常數(shù))

5、f(x+y)=………… =y=tanx

3.“原型”解法例析

［例1］設(shè)函數(shù)玣(x)滿足，玣(x)+f(y)=2f(x+y2).f (x-y2)且玣(π2)=0

x、y∈R；求證：玣(x)為周期函數(shù)，并指出它的一個周期。

分析與簡證：由玣(x)+f(y)=2f(x+y2).f (x-y2)且玣(π2)=0

聯(lián)想：玞osx1+cosx2=2cosx1+x22.cosx1-x22

原型：珁=cosx為周期函數(shù)且2π為它的一個周期 。

猜測：玣(x)為周期函數(shù)，2π為它的一個周期

令玿1=x+π且玿2=x則玣(x+π)+f(x)=2f(x+π2).f(π2)=0

∴ f(x+π)=-f(x)f(x+2π)=f(x)

∴f(x)為周期函數(shù)且2π是它的一個周期。

［例2］已知函數(shù)玣(x)滿足玣(x+1)=1+f(x)1-f(x)若玣(0)=2008，試求f(2009)

分析與略解：由玣(x+1)=1+f(x)1-f(x)

想：玹an(x+ π4)=1+tanx1-tanx

原型：珁=tanx為周期函數(shù)且周期為4× π4=π

猜測：玣(x)為周期函數(shù)且周期為4 ×1＝4

∵玣(x+2)=f［(x+1)+1］=1+f(x+1)1-f(x+1)

=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x+1)1-f(x+1)=-1f(x)

∴f(x+4)=f［(x+2)+2］=1f(x+2)

=f(x)f(x+4)=f(x)

∴玣(x)是以4為周期的周期函數(shù)

又∵玣(0)=2008

∴玣(2009)=f(2008+1)=1+f(2008)1-f(2008)=1+f(0)1-f(0)

=1+20081-2008=-20092007

f(2009)-20092007

由抽象函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法可使抽象函數(shù)不再抽象。

收稿日期：2009-03-10